Банк задач по математике

Задача 27.10

В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти скалярные произведения векторов

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ ;

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+2i \\ -1+2i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ 2+i \end{smallmatrix}\right]$

(4)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]$

(5)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 1+i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1-i \\ 1-i \\ 1-i \end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\mathbf{c}_{222}, \mathbf{c}_{223}$ . $\mathbf{c}_{222} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 5-2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{223} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2+i \\ 0 \\ 6+i \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{c}_{221}; \mathbf{c}_{215}$ . $\mathbf{c}_{221} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 3-i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{215} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 - i \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 27.11

В задаче 27. 10 для каждой пары векторов найти длину первого вектора:

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ ;

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+2i \\ -1+2i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ 2+i \end{smallmatrix}\right]$

(4)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]$

(5)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 1+i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1-i \\ 1-i \\ 1-i \end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\mathbf{c}_{222}, \mathbf{c}_{223}$ . $\mathbf{c}_{222} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 5-2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{223} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2+i \\ 0 \\ 6+i \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{c}_{221}; \mathbf{c}_{215}$ . $\mathbf{c}_{221} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 3-i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{215} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 - i \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 27.12

Найти скалярное произведение векторов унитарного пространства по их координатам в базисе $e$ и матрице Грама $\Gamma$ этого базиса:

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i \\ - i & 2\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1-i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 + i \\ 1 - i & 1\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\mathbf{c}_{40}, \mathbf{c}_{41}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{87}$ . $\mathbf{c}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{41} = \left[\begin{smallmatrix} 1+2 i \\ 6+2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{c}_{44}, \quad \mathbf{c}_{40}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{86}$ . $\mathbf{c}_{44} = \left[\begin{smallmatrix} i \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\left[\begin{smallmatrix} 2+i \\ 0 \\ 1+2i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ 1 \\ 2+i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & i & 0 \\ - i & 2 & - i \\ 0 & i & 2\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i & 0 \\ - i & 2 & - i \\ 0 & i & 2\end{smallmatrix}\right]$

(7)

$\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 - i & 0 \\ 1 + i & 3 & i \\ 0 & - i & 2\end{smallmatrix}\right]$

(8)

$\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} -2+i \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 - i & 0 \\ 1 + i & 3 & i \\ 0 & - i & 2\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 27.13

В задаче 27. 12 для каждой пары векторов найти длину первого вектора:

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i \\ - i & 2\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1-i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 + i \\ 1 - i & 1\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\mathbf{c}_{40}, \mathbf{c}_{41}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{87}$ . $\mathbf{c}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{41} = \left[\begin{smallmatrix} 1+2 i \\ 6+2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{c}_{44}, \quad \mathbf{c}_{40}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{86}$ . $\mathbf{c}_{44} = \left[\begin{smallmatrix} i \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\left[\begin{smallmatrix} 2+i \\ 0 \\ 1+2i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ 1 \\ 2+i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & i & 0 \\ - i & 2 & - i \\ 0 & i & 2\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i & 0 \\ - i & 2 & - i \\ 0 & i & 2\end{smallmatrix}\right]$

(7)

$\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 - i & 0 \\ 1 + i & 3 & i \\ 0 & - i & 2\end{smallmatrix}\right]$

(8)

$\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} -2+i \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 - i & 0 \\ 1 + i & 3 & i \\ 0 & - i & 2\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 27.14

Доказать, что эрмитова матрица $\Gamma$ может служить матрицей Грама в унитарном пространстве тогда и только тогда, когда для любого ненулевого столбца $\xi$ выполнено $\xi^{T}\Gamma \bar{\xi } > 0$ .

?

Задача 27.15

Доказать, что квадратная матрица $\Gamma$ порядка $n$ может служить матрицей Грама в $n$ -мерном унитарном пространстве тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица $S$ , что $\Gamma = S^{T} \bar{S}$ .

?

Задача 27.16

Выбрать из банка эрмитовы матрицы (за исключением вещественных симметричных) и среди них те, которые могут служить матрицами Грама в унитарном пространстве.

?

Задача 27.17

В матрице Грама некоторого базиса в унитарном пространстве все ненулевые элементы по модулю равны 1. Доказать, что базис ортонормированный.

?

Задача 27.18

(1)(2)(3)(4)

В матрице Грама некоторого базиса:

?

(1)

ко всем элементам главной диагонали прибавили вещественное число $\alpha$

(2)

к некоторым элементам главной диагонали прибавили положительное число $\alpha$

(3)

переставили две строки

(4)

переставили две строки, а также два столбца с теми же номерами, что и у строк.

Осталась ли матрица эрмитовой, может ли она быть матрицей Грама какого-либо базиса?

Задача 27.19

Доказать, что детерминант матриџы, составленной из попарных скалярных произведений некоторой системы векторов — вещественное неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда эта система векторов линейно зависима.

?

Задача 27.20

Доказать, что для любой комплексной матрицы $\operatorname {Rg} A^{T} \bar{A} = \operatorname {Rg} A$ .

?

Задача 27.21

Выбрать из банка унитарные матрицы, не являющиеся вещественными ортогональными матрицами.

?

Задача 27.22

Написать какую — нибудь унитарную матрицу третьего порядка.

?

Задача 27.23

Описать все треугольные унитарные матрицы.

?

Задача 27.24

(1)(2)(3)

Может ли унитарная матрица четвертого порядка содержать строку:

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} i & -i & i & -i \end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} \frac{1 + i}{2} & 0 & 0 & \frac{1 - i}{2} \end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\left[\begin{smallmatrix} \frac{1 + i}{\sqrt{8}} & \frac{1 - i}{\sqrt{8}} & \frac{ - 1 + i}{\sqrt{8}} & \frac{ - 1 - i}{\sqrt{8}} \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 27.25

(1)(2)

Пусть $A$ и $B$ — вещественные квадратные матрицы порядка $n$ . Из них можно составить комплексную матрицу $C = A + iB$ и вещественную матрицу порядка $2n$

D =\left[\begin{smallmatrix} [c|c] A & -B \\ \hline B & A \end{smallmatrix}\right]^{\square }

Доказать, что:

?

(1)

$C$ эрмитова тогда и только тогда, когда $D$ симметрична

(2)

$C$ унитарна тогда и только тогда, когда $D$ ортогональна.

Скалярное произведение в координатах (27.10-27.25)