Определение (27.1-27.9)

Будет ли комплексное двумерное линейное пространство унитарным, если в нем задать скалярное произведение следующей функцией от координат векторов:

Унитарной нормой матрицы называется ее длина при скалярном произведении, определенном в задаче 27.2(1). Доказать, что унитарная норма равна квадратному корню из суммы квадратов модулей всех элементов матрицы.

Пусть $e$ — базис в комплексном линейном пространстве $\mathcal{E}$. Доказать, что в $\mathcal{E}$ существует одно и только одно унитарное скалярное произведение, относительно которого базис $e$ — ортонормированный.

Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два унитарных скалярных произведения $(x, y)_{1}$ и $(x, y)_{2}$. Доказать, что для любых вещественных положительных чисел $\lambda$ и $\mu$ функция $(x, y) = \lambda (x, y)_{1} + \mu (x, y)_{2}$ — также унитарное скалярное произведение.

Доказать, что в унитарном пространстве равенства из задачи 25. 13 выполняются не для любых пар векторов.

Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два скалярных произведения $(x, y)_{1} = (x, y)_{2}$ и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: $(x, x)_{1} = (x, x)_{2}$. Доказать, что скалярные произведения совпадают.

Доказать, что треугольник со сторонами $x, y$ и $z$ в унитарном пространстве прямоугольный, если $\left|z\right| = \left|x\right| \cos (\widehat{x, z})$, и может не быть прямоугольным, если $\left|z\right| = \left|x\right| \cos (\widehat{z, x})$.

Доказать, что в унитарном пространстве из $(x, y) = 0$ следует $\left|x\right|^{2} + \left|y\right|^{2} = \left|x + y\right|^{2}$. Что можно сказать о произведении $(x, y)$, если последнее равенство выполнено?