Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре

Глава 1

Векторы и координаты

[173/80%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

1 · Линейные соотношения

2 · Скалярное произведение векторов

3 · Векторное и смешанное произведения векторов

4 · Замена базиса и системы координат

1 · Линейные соотношения[53/77%]

Задача 1.1

(1)(2)

Доказать утверждения:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима

(2)

конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

Задача 1.2

Может ли быть линейно зависимой система, состоящая из одного вектора?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.3

Доказать, что для любых трех векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ и любых трех чисел $\alpha , \beta , \gamma$ векторы $\alpha \mathbf{a} - \beta \mathbf{b}, \gamma \mathbf{b} - \alpha \mathbf{c}, \beta \mathbf{c} - \gamma \mathbf{a}$ линейно зависимы.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.4

Даны три вектора $\mathbf{a}(1, 2), \mathbf{b}(- 5, - 1)$ , $\mathbf{c}(- 1, 3)$ . Найти координаты векторов $2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c}, 16\mathbf{a} + 5\mathbf{b} - 9\mathbf{c}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.5

Даны три вектора $\mathbf{a}(1, 3), \mathbf{b}(2, - 1), \mathbf{c}(- 4, 1)$ . Найти числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что $\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{o}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.6

Проверить, что векторы $\mathbf{a}(- 5, - 1)$ и $\mathbf{b}(- 1, 3)$ образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов $\mathbf{c}(- 1, 2)$ и $\mathbf{d}(2, - 6)$ в этом базисе.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.7

(1)(2)

Вектор $\mathbf{a}$ имеет в некотором базисе координаты $(x$ , $1 - x)$ , вектор $\mathbf{b}$ — координаты $\left(x^{2} - 2x, x^{2} - 2x + 1\right)$ . При каких значениях $x$ векторы

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

коллинеарны

(2)

одинаково направлены?

Задача 1.8

Даны четыре вектора $\mathbf{a}(3, 0, - 2), \mathbf{b}(1, 2, - 5), \mathbf{c}(- 1, 1, 1)$ , $\mathbf{d}(8, 4, 1)$ . Найти координаты векторов $- 5\mathbf{a} + \mathbf{b} - 6\mathbf{c} + \mathbf{d}, 3\mathbf{a} - \mathbf{b} - \mathbf{c} - \mathbf{d}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.9

Даны четыре вектора $\mathbf{a}(4, 1, - 1), \mathbf{b}(3, - 1, 0), \mathbf{c}(- 1, 1, 1)$ , $\mathbf{d}(- 1, 3, 4)$ . Найти числа $\alpha , \beta , \gamma$ такие, что $\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \gamma \mathbf{c} + \mathbf{d} = \mathbf{o}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.10

Проверить, что векторы $\mathbf{a}(4, 1, - 1), \mathbf{b}(1, 2, - 5)$ и $\mathbf{c}(- 1, 1, 1)$ образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов $\mathbf{l}(4, 4, - 5), \mathbf{m}(2, 4, - 10), \mathbf{n}(0, 3, - 4)$ в этом базисе.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.11

(1)(2)(3)

Проверить, будут ли компланарны векторы $\mathbf{l}, \mathbf{m}$ и n; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ — три некомпланарных вектора):

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{l} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} - \mathbf{c}, \quad \mathbf{m} = 2\mathbf{b} - \mathbf{c} - \mathbf{a}, \quad \mathbf{n} = 2\mathbf{c} - \mathbf{a} - \mathbf{b}$

(2)

$\mathbf{l} = \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}, \quad \mathbf{m} = \mathbf{b} + \mathbf{c}, \quad \mathbf{n} = - \mathbf{a} + \mathbf{c}$

(3)

$\mathbf{l} = \mathbf{c}, \quad \mathbf{m} = \mathbf{a} - \mathbf{b} - \mathbf{c}, \quad \mathbf{n} = \mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}$ .

Задача 1.12

Из одной точки пространства отложены три вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ . Доказать, что конец вектора $\mathbf{c}$ тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , когда выполнено равенство $\mathbf{c} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}$ , где $\alpha \geqslant 0, \beta \geqslant 0, \alpha + \beta = 1$ . В каком отношении конец вектора $\mathbf{c}$ делит этот отрезок?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.13

В параллелограмме $ABCD$ точка $K$ — середина отрезка $BC$ и точка $O$ — точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AD}$ , найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow {BD}, \overrightarrow {CO}, \overrightarrow {KD}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.14

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина отрезка $AB$ и точка $O$ — точка пересечения медиан. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AC}$ , найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow {AM}, \overrightarrow {AO}, \overrightarrow {MO}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.15

В трапеции $ABCD$ длины оснований $AD$ и $BC$ относятся как $3: 2$ . Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AC}$ и $\overrightarrow {BD}$ , найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {BC}, \overrightarrow {CD}, \overrightarrow {DA}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.16

В трапеции $ABCD$ длины оснований $AD$ и $BC$ относятся как $3: 1. O$ — точка пересечения диагоналей трапеции, $S$ — точка пересечения продолжений боковых сторон. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AD}$ и $\overrightarrow {AB}$ , найти координаты векторов $\overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AO}, \overrightarrow {AS}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.17

Точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD$ . Доказать, что $\overrightarrow {EF} = (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}) / 2$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.18

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ . Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AE}$ , найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow {BC}, \overrightarrow {CD}, \overrightarrow {DE}, \overrightarrow {EF}, \overrightarrow {BD}, \overrightarrow {CF}, \overrightarrow {CE}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.19

В трапеции задачи 1. 16 точка $M$ — середина стороны $CD$ . Найти координаты вектора $\overrightarrow {AD}$ в базисе $\overrightarrow {OS}, \overrightarrow {OM}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.20

В треугольнике $ABC$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат соответственно на отрезках $AK$ и $BL$ так, что $\left|AM\right|:\left|MK\right| = 6: 1$ и $\left|BN\right|:\left|NL\right| = 8: 1$ . Точка $P$ — середина отрезка $MN$ . Найти координаты вектора $\overrightarrow {AB}$ в базисе $\overrightarrow {MN}, \overrightarrow {CP}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.21

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AC$ , точки $K$ и $L$ на сторонах $AB$ и $BC$ расположены так, что $\left|AK\right|:\left|KB\right| = 3: 5$ , а $\left|BL\right|:\left|LC\right| = 2: 3$ . Найти координаты вектора $\overrightarrow {BM}$ в базисе $\overrightarrow {AL}, \overrightarrow {CK}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.22

В треугольнике $ABC$ точки $K, L, M$ расположены соответственно на сторонах $AB, BC$ и $AC$ так, что $\left|AK\right|$ : $:\left|KB\right| = \left|BL\right|:\left|LC\right| = \left|CM\right|:\left|MA\right| = 3: 1$ . Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ . Найти координаты вектора $\overrightarrow {AP}$ в базисе $\overline{LK}, \overrightarrow {LM}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.23

(1)(2)(3)

В тетраэдре $OABC$ точки $K, L, M, N, P, Q$ — середины ребер $OA, OB, OC, AB, AC, BC$ соответственно, $S$ точка пересечения медиан треугольника $ABC$ . Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB}$ и $\overrightarrow {OC}$ , найти в этом базисе координаты:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

векторов $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {BC}, \overrightarrow {AC}$

(2)

векторов $\overrightarrow {KL}, \overrightarrow {PQ}, \overrightarrow {CN}, \overrightarrow {MP}, \overrightarrow {KQ}$

(3)

векторов $\overline{OS}$ и $\bar{K} \bar{S}$ .

Задача 1.24

(1)(2)

Даны три точки $O, A, B$ , не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {OA}$ и $\overrightarrow {OB}$ , найти:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

координаты вектора $\overrightarrow {OM}$ , если точка $M$ лежит на отрезке $AB$ и $\left|AM\right|:\left|BM\right| = m: n$

(2)

координаты вектора $\overrightarrow {ON}$ , если точка $N$ лежит на прямой $AB$ вне отрезка $AB$ и $\left|AN\right|:\left|BN\right| = m: n$ .

Задача 1.25

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ . Найти координаты вектора $\overrightarrow {AD}$ в базисе, образованном векторами $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AC}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.26

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ . Принимая за начало координат вершину $A$ , а за базисные векторы $\overrightarrow {AC}$ и $\overrightarrow {AE}$ , найти координаты вершин шестиугольника и его центра.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.27

В трапеции $ABCD$ отношение длин оснований $AD$ и $BC$ равно 4. Принимая за начало координат вершину $A$ , а за базисные векторы $\overrightarrow {AD}$ и $\overrightarrow {AB}$ , найти координаты вершин трапеции, точки $M$ пересечения ее диагоналей и точки $S$ пересечения боковых сторон.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.28

(1)(2)(3)(4)

Дан параллелепипед $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Принимая за начало координат вершину $A$ , а за базисные векторы $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD}$ и $\overrightarrow {AA_{1}}$ , найти координаты:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

вершин $C, B_{1}$ и $C_{1}$

(2)

точек $K$ и $L$ — середин ребер $A_{1} B_{1}$ и $CC_{1}$ соответственно

(3)

точек $M$ и $N$ пересечения диагоналей граней $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и $ABB_{1} A_{1}$ соответственно

(4)

точки $O$ пересечения диагоналей параллелепипеда.

Задача 1.29

Три точки $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right)$ , не лежащие на одной прямой, являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти координаты четвертой вершины $D$ этого параллелограмма.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.30

(1)(2)

Даны две различные точки $A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ . Найти координаты:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

точки $M$ , лежащей на отрезке $AB$ и такой, что $\left|AM\right|$ : $:\left|BM\right| = m: n$

(2)

точки $N$ , лежащей на прямой $AB$ вне отрезка $AB$ и такой, что $\left|AN\right|:\left|BN\right| = m: n$ .

Задача 1.31

(1)(2)

Даны две точки $A(3, - 2)$ и $B(1, 4)$ . Точка $M$ лежит на прямой $AB$ , причем $\left|AM\right| = 3\left|AB\right|$ . Найти координаты точки $M$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$M$ лежит по ту же сторону от точки $A$ , что и точка $B$

(2)

$M$ и $B$ лежат по разные стороны от точки $A$ .

Задача 1.32

Даны три точки $A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)$ , не лежащие на одной прямой. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.33

Зная радиус — векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}, \mathbf{r}_{4}$ вершин $A, B$ , $D, A_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , выразить через них радиус — векторы остальных четырех вершин.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.34

Отношение длин оснований $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ равно $m: n$ . Выразить радиус — векторы вершины $D$ , точки $M$ пересечения диагоналей трапеции и точки $S$ пересечения боковых сторон через радиус — векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}$ вершин $A, B, C$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.35

Доказать, что радиус — вектор центра правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиус — векторов его вершин.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.36

Зная радиус — векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}$ вершин треугольника, найти радиус — вектор центра окружности, вписанной в треугольник.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.37

В плоскости треугольника $ABC$ найти точку $O$ такую, что $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} =$ о. Существуют ли такие точки вне плоскости треугольника?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.38

В точках, имеющих радиус — векторы $\mathbf{r}_{1}, \ldots , \mathbf{r}_{n}$ , сосредоточены массы $m_{1}, \ldots , m_{n}$ . Найти радиус — вектор центра тяжести этой материальной системы.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.39

Однородная проволока согнута в виде угла $AOB$ со сторонами $\left|OA\right| = a$ и $\left|OB\right| = b$ . Найти координаты центра тяжести проволоки в системе координат $O, \overrightarrow {OA} / a, \overrightarrow {OB} / b$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.40

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму четырехугольника $ABCD$ с вершинами в точках $A(3, 1), B(7, 3), C(0, 4), D(- 1, 2)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.41

Доказать, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.42

Точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ параллелограмма $OABC$ . Доказать, что точка пересечения диагоналей $OABC$ совпадает с точкой пересечения медиан треугольника $OKL$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.43

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.44

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что $\left|AM\right|:\left|BM\right| = m_{1}: n_{1}$ , $\left|AN\right|:\left|CN\right| = m_{2}: n_{2}$ . Точку пересечения отрезков $BN$ и $CM$ обозначим через $O$ . Найти отношения $\left|BO\right|:\left|ON\right|$ и $\left|CO\right|:\left|OM\right|$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.45

Применяя результат задачи 1. 44 при $m_{1} = n_{1} = m_{2} = n_{2} = 1$ , доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.46

[НЕТ УСЛОВИЯ]

Задача 1.47

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.48

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина средней линии равна полусумме длин оснований (теорема о средней линии трапеции).

(2)

Задача 1.49

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.50

Доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении $3: 1$ , считая от вершины.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.51

Доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.52

На диагоналях $AB_{1}$ и $CA_{1}$ боковых граней треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ расположены соответственно точки $E$ и $F$ так, что прямые $EF$ и $BC_{1}$ параллельны. Найти отношение $\left|EF\right|:\left|BC_{1}\right|$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.53

На диагонали $BC_{1}$ боковой грани треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ взята точка $M$ , а на диагонали $CA_{1}$ другой боковой грани — точка $N$ . Прямая $MN$ параллельна плоскости $ABB_{1} A_{1}$ . Найти отношение $\left|CN\right|:\left|CA_{1}\right|$ , если $\left|BM\right|:\left|BC_{1}\right| = 1: 3$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

2 · Скалярное произведение векторов[50/80%]

Задача 2.1

(1)(2)(3)(4)(5)

Найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\left|\mathbf{a}\right| = 3, \left|\mathbf{b}\right| = 1, \quad \angle (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 45^{\circ }$

(2)

$\left|\mathbf{a}\right| = 6, \left|\mathbf{b}\right| = 7, \quad \angle (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 120^{\circ }$

(3)

$\left|\mathbf{a}\right| = 4, \left|\mathbf{b}\right| = 2, \quad \angle (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 90^{\circ }$

(4)

$\left|\mathbf{a}\right| = 5, \left|\mathbf{b}\right| = 1, \quad \mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ сонаправлены

(5)

$\left|\mathbf{a}\right| = 2, \left|\mathbf{b}\right| = 3, \quad \mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ противоположно направлены

Задача 2.2

(1)(2)

Вычислить выражение $\left|\mathbf{a}\right|^{2} - \sqrt{3}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + 5\left|\mathbf{b}\right|^{2}$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\left|\mathbf{a}\right| = 2, \left|\mathbf{b}\right| = 1, \angle (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 30^{\circ }$

(2)

$\left|\mathbf{a}\right| = 3, \left|\mathbf{b}\right| = 2, \angle (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 150^{\circ }$ .

Задача 2.3

(1)(2)(3)

Найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , заданных своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{a}(4, - 1), \mathbf{b}(- 1, - 7)$

(2)

$\mathbf{a}(2, 1), \mathbf{b}(1, - 3)$

(3)

$\mathbf{a}(1, 2), \mathbf{b}(- 4, 2)$ .

Задача 2.4

(1)(2)(3)(4)(5)

Найти угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , заданными своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{a}(1, 2), \mathbf{b}(2, 4)$

(2)

$\mathbf{a}(1, 2), \mathbf{b}(4, 2)$

(3)

$\mathbf{a}(1, 2), \mathbf{b}(- 2, 1)$

(4)

$\mathbf{a}(1, - 1), \mathbf{b}(- 4, 2)$

(5)

$\mathbf{a}(2, - 1), \mathbf{b}(- 4, 2)$ .

Задача 2.5

(1)(2)(3)

Найти расстояние между точками $A$ и $B$ , заданными своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$A(- 1, 2), B(5, 10)$

(2)

$A(3, - 2), B(3, 3)$

(3)

$A(1, 2), B(1, 2)$ .

Задача 2.6

(1)(2)(3)

Найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , заданных своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{a}(3, 2, - 5), \mathbf{b}(10, 1, 2)$

(2)

$\mathbf{a}(1, 0, 3), \mathbf{b}(- 4, 15, 1)$

(3)

$\mathbf{a}(2, 1, 5), \mathbf{b}(7, - 9, - 1)$ .

Задача 2.7

(1)(2)(3)(4)(5)

Найти угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , заданными своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{a}(1, - 1, 1), \mathbf{b}(5, 1, 1)$

(2)

$\mathbf{a}(1, - 1, 1), \mathbf{b}(- 2, 2, - 2)$

(3)

$\mathbf{a}(1, - 1, 1)$ , b $(3, - 3, 3)$

(4)

$\mathbf{a}(1, - 1, 1), \mathbf{b}(3, 1, - 2)$

(5)

$\mathbf{a}(1, - 1, 1), \mathbf{b}(4, 4, - 4)$ .

Задача 2.8

(1)(2)(3)

Найти расстояние между точками $A$ и $B$ , заданными своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$A(4, - 2, 3), B(4, 5, 2)$

(2)

$A(- 3, 1, - 1), B(- 1, 1, - 1)$

(3)

$A(3, - 3, - 7), B(1, - 4, - 5)$ .

Задача 2.9

(1)(2)(3)

Даны три вектора: $\mathbf{a}(- 1, 2), \mathbf{b}(5, 1), \mathbf{c}(4, - 2)$ . Вычислить:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$

(2)

$\left|\mathbf{a}\right|^{2} - (\mathbf{b}, \mathbf{c})$

(3)

$\left|\mathbf{b}\right|^{2} + (\mathbf{b}, \mathbf{a} + 3\mathbf{c})$ .

Задача 2.10

(1)(2)(3)

Даны три вектора: $\mathbf{a}(1, - 1, 1), \mathbf{b}(5, 1, 1), \mathbf{c}(0, 3, - 2)$ . Вычислить:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$

(2)

$\left|\mathbf{a}\right|^{2} + \left|\mathbf{c}\right|^{2} - (\mathbf{a}, \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{b}, \mathbf{c})$

(3)

$(\mathbf{a}, \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{a}, \mathbf{b}) - \left|\mathbf{a}\right|^{2}(\mathbf{b}, \mathbf{c})$ .

Задача 2.11

Доказать, что векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ взаимно перпендикулярны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.12

Верно ли, что для любых векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ выполняется соотношение $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c}, \mathbf{d}) = (\mathbf{a}, \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b}, \mathbf{d})$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.13

Даны три вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ такие, что $\left|\mathbf{a}\right| = \left|\mathbf{b}\right| = \left|\mathbf{c}\right| = 1$ , $\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{o}$ . Вычислить $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + (\mathbf{b}, \mathbf{c}) + (\mathbf{c}, \mathbf{a})$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.14

(1)(2)(3)

В треугольнике $ABC$ даны длины сторон. Найти скалярное произведение $(\overrightarrow {AC}, \overrightarrow {BC})$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

(2)

(3)

Задача 2.15

(1)(2)(3)

Дан треугольник $ABC$ . Выразить через $\mathbf{b} = \overrightarrow {AB}$ и $\mathbf{c} = \overrightarrow {AC}$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

длину стороны $BC$

(2)

длину медианы $AM$

(3)

площадь треугольника.

Задача 2.16

В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$ . Найти координаты вектора $\overrightarrow {AH}$ в базисе, образованном векторами $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AC}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.17

(1)(2)

Доказать, что для произвольного прямоугольника $ABCD$ и для произвольной точки $M$ (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) имеют место равенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$(\overrightarrow {MA}, \overrightarrow {MC}) = (\overrightarrow {MB}, \overrightarrow {MD})$

(2)

$\left|\overrightarrow {MA}\right|^{2} + \left|\overrightarrow {MC}\right|^{2} = \left|\overrightarrow {MB}\right|^{2} + \left|\overrightarrow {MD}\right|^{2}$ .

Задача 2.18

(1)(2)

В трапеции $ABCD$ отношение длин оснований $\left|AD\right|$ : $:\left|BC\right|$ равно 3. Выразить через $\mathbf{b} = \overrightarrow {AB}$ и $\mathbf{c} = \overrightarrow {AC}$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

длины сторон и углы трапеции

(2)

длину отрезка $SM$ , где $S$ — точка пересечения боковых сторон трапеции, $M$ — точка пересечения диагоналей.

Задача 2.19

[НЕТ УСЛОВИЯ]

Задача 2.20

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ общей декарховой системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен $120^{\circ }$ . Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника $A(- 2, 2), B(- 2, - 1), C(- 1, 0)$ . Найти длины сторон и углы треугольника.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.21

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ равны соответственно $3, \sqrt{2}, 4$ , а углы между ними равны $\angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right) = \angle \left(\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right) = 45^{\circ }, \angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{3}\right) = 60^{\circ }$ . Вычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты $(1, - 3, 0)$ и $(- 1, 2, 1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.22

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ равны соответственно $1, 1, 2$ ; углы между ними равны $\angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right) = 90^{\circ }$ , $\angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{3}\right) = \angle \left(\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right) = 60^{\circ }$ . Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a}(- 1, 0, 2)$ и $\mathbf{b}(2, - 1, 1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.23

Из одной точки отложены три вектора $\mathbf{a}(0, - 3, 4)$ , $\mathbf{b}(4, 1, - 8)$ и $\mathbf{c}$ . Вектор $\mathbf{c}$ имеет длину 1 и делит пополам угол между $\mathbf{a}$ и b. Вычислить координаты вектора $\mathbf{c}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.24

[НЕТ УСЛОВИЯ]

Задача 2.25

Найти сумму ортогональных проекций вектора $\mathbf{a}$ на стороны правильного треугольника.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.26

(1)(2)(3)(4)

Дан вектор $\mathbf{a}(1, 1)$ . Найти ортогональную проекцию вектора $\mathbf{b}$ на прямую, направление которой определяется вектором $\mathbf{a}$ , и ортогональную составляющую вектора $\mathbf{b}$ относительно этой прямой, если вектор $\mathbf{b}$ имеет координаты:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$(1, - 3)$

(2)

$(1, - 1)$

(3)

$(3, 3)$

(4)

$(- 2, - 2)$ .

Задача 2.27

(1)(2)(3)

Дан вектор $\mathbf{a}$ $(1, - 1, 2)$ . Найти ортогональную проекцию вектора $\mathbf{b}$ на прямую, направление которой определяется вектором $\mathbf{a}$ , и ортогональную составляющую вектора $\mathbf{b}$ относительно этой прямой, если вектор $\mathbf{b}$ имеет координаты:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$(2, - 2, 4)$

(2)

$(1, 1, 2)$

(3)

$(4, 0, - 2)$ .

Задача 2.28

Даны два вектора $\mathbf{a}(3, - 1)$ и $\mathbf{b}(- 1, 1)$ . Найти вектор $\mathbf{x}$ , удовлетворяющий системе уравнений $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = 13$ , $(\mathbf{x}, \mathbf{b}) = - 3$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.29

Даны векторы $\mathbf{a}(\sqrt{3}, - 3)$ и $\mathbf{b}(1, - 1)$ . Найти все векторы $\mathbf{x}$ , образующие угол $\pi / 3$ с вектором $\mathbf{a}$ и такие, что $(\mathbf{b}, \mathbf{x}) = 1$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.30

Даны три вектора $\mathbf{a}(4, 1, 5), \mathbf{b}(0, 5, 2)$ и $\mathbf{c}(- 6, 2, 3)$ . Найти вектор $\mathbf{x}$ , удовлетворяющий системе уравнений $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = 18, (\mathbf{x}, \mathbf{b}) = 1, (\mathbf{x}, \mathbf{c}) = 1$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.31

Даны ненулевой вектор $\mathbf{a}$ и скаляр $p$ . Выразить через $\mathbf{a}$ и $p$ какой — нибудь вектор $\mathbf{x}$ , удовлетворяющий уравнению $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = p$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.32

(1)(2)

Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = p$ , а также его частного решения, коллинеарного вектору $\mathbf{a}$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

на плоскости

(2)

в пространстве.

Задача 2.33

(1)(2)

Объяснить геометрический смысл:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

решения системы векторных уравнений $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = p$ , $(\mathbf{x}, \mathbf{b}) = q$ на плоскости (векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ неколлинеарны)

(2)

решения системы векторных уравнений $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = p$ , $(\mathbf{x}, \mathbf{b}) = q, \quad (\mathbf{x}, \mathbf{c}) = s$ , в пространстве (векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ некомпланарны).

Задача 2.34

[НЕТ УСЛОВИЯ]

Задача 2.35

Даны два вектора $\mathbf{a}(1, - 1, 1)$ и $\mathbf{b}(5, 1, 1)$ . Вектор $\mathbf{c}$ имеет длину 1, ортогонален вектору $\mathbf{a}$ и образует с вектором $\mathbf{b}$ угол $\arccos (\sqrt{2 / 27})$ . Вычислить координаты вектора $\mathbf{c}$ . Сколько решений имеет задача?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.36

В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти углы треугольника.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.37

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.38

Длины сторон треугольника связаны соотношением $a^{2} + b^{2} = 5c^{2}$ . Доказать, что две медианы треугольника перпендикулярны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.39

Длины соседних сторон параллелограмма относятся как $m: n$ , а угол между этими сторонами равен $\alpha$ . Найти угол между диагоналями параллелограмма.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.40

В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.41

(1)(2)(3)

В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований равно $m: n(m > n$ ). Найти:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

отношение длин боковых сторон

(2)

отношение длин диагоналей

(3)

величину острого угла трапеции.

Задача 2.42

Доказать, что если в треугольнике равны длины двух медиан, длины двух высот или длины двух биссектрис, то этот треугольник равнобедренный.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.43

Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$ . Доказать, что $\left|AM\right|^{2} + \left|BM\right|^{2} + \left|CM\right|^{2} = \left(\left|AB\right|^{2} + + \left|BC\right|^{2} + \left|AC\right|^{2}\right) / 3$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.44

Длины ребер $AA_{1}, AB$ и $AD$ параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равны соответственно $a, b, c$ . Величины углов между ними $\angle BAD, \angle A_{1} AD$ и $\angle A_{1} AB$ равны соответственно $\alpha , \beta , \gamma$ . Найти длину диагонали $AC_{1}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.45

Дан произвольный тетраэдр $ABCD$ . Доказать: если перпендикулярны ребра $AB$ и $CD$ и ребра $AC$ и $BD$ , то ребра $BC$ и $AD$ также перпендикулярны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.46

Даны два отрезка $AB$ и $CD$ (вообще говоря, в пространстве). Доказать, что отрезки перпендикулярны, если $\left|AC\right|^{2} + \left|BD\right|^{2} = \left|AD\right|^{2} + \left|BC\right|^{2}$ . Верно ли обратное утверждение?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.47

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $P$ — середины ребер $AD$ и $CD$ соответственно, точки $N$ и $Q$ — центры граней $BCD$ и $ABC$ соответственно. Найти угол между прямыми $MN$ и $PQ$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.48

Длина ребра куба $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равна $a$ . Точка $P$ — середина ребра $CC_{1}$ , точка $Q$ — центр грани $AA_{1} B_{1} B$ . От — резок $MN$ с концами на прямых $AD$ и $A_{1} B_{1}$ пересекает прямую $PQ$ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.49

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AD$ и $BC$ соответственно. Ha ребре $CD$ взята точка $N$ , на отрезке $EF$ — точка $M$ так, что $\angle MNC = 45^{\circ }, \angle NME = \arccos (2 / 3)$ . В каком отношении точки $M$ и $N$ делят отрезки $EF$ и $CD$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.50

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ (S — вершина) длина стороны основания равна 2. Вершины $K$ и $M$ ромба $KLMF$ лежат на ребрах $AB$ и $SD$ соответственно, и $\left|KM\right| = 3$ , а отрезок $KL$ пересекает ребро $SB$ . Найти объем пирамиды.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

3 · Векторное и смешанное произведения векторов[40/70%]

Задача 3.1

(1)(2)(3)

Найти векторное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , заданных своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{a}(3, - 1, 2), \mathbf{b}(2, - 3, - 5)$

(2)

$\mathbf{a}(2, - 1, 1), \mathbf{b}(- 4, 2, - 2)$

(3)

$\mathbf{a}(6, 1, 0), \mathbf{b}(3, - 2, 0)$ .

Задача 3.2

(1)(2)

Упростить выражения:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\left[\mathbf{a} + \mathbf{b}, \mathbf{a} - \mathbf{b}\right]$

(2)

$\left[\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} / 2, - \mathbf{a} + 2\mathbf{b} - 5\mathbf{c}\right]$ .

Задача 3.3

Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.4

Векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ не коллинеарны. При каких значениях скаляра $\lambda$ коллинеарны векторы $\lambda \mathbf{a} + \mathbf{b}$ и $3\mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.5

(1)(2)(3)

Векторы $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ образуют:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

ортонормированный правый базис

(2)

ортонормированный левый базис

(3)

ортогональный правый базис.

Выразить векторные произведения $\left[\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right],\left[\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right],\left[\mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{1}\right]$ через векторы $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ .

Задача 3.6

Известно, что $\mathbf{a} = \left[\mathbf{b}, \mathbf{c}\right], \mathbf{b} = \left[\mathbf{c}, \mathbf{a}\right], \mathbf{c} = \left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right]$ . Найти длины векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ и углы между ними.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.7

(1)(2)

Решить задачи:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

2.34

(2)

2.35,

дополнительно потребовав, чтобы ориентация тройки векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ совпадала с ориентацией ортонормированного базиса, в котором заданы координаты векторов.

Задача 3.8

(1)(2)

На векторах $\mathbf{a}(2, 3, 1)$ и $\mathbf{b}(- 1, 1, 2)$ , отложенных из одной точки, построен треугольник. Найти:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

площадь этого треугольника

(2)

длины трех его высот.

Задача 3.9

[НЕТ УСЛОВИЯ]

Задача 3.10

Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника $ABCD$ равна половине длины векторного произведения $\left[\overrightarrow {AC}, \overrightarrow {BD}\right]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.11

Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих этим граням, равна нулю.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.12

Доказать, что для трех неколлинеарных векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ равенства $\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right] = \left[\mathbf{b}, \mathbf{c}\right] = \left[\mathbf{c}, \mathbf{a}\right]$ выполняются тогда и только тогда, когда $\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{o}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.13

(1)(2)(3)

Доказать тождества:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\left|\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right]\right|^{2} =\left[\begin{smallmatrix} (\mathbf{a}, \mathbf{a}) & (\mathbf{a}, \mathbf{b}) \\ (\mathbf{a}, \mathbf{b}) & (\mathbf{b}, \mathbf{b})\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$[\mathbf{a}, \left[\mathbf{b}, \mathbf{c}\right]] = \mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$

(3)

$(\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right], \left[\mathbf{c}, \mathbf{d}\right]) =\left[\begin{smallmatrix} (\mathbf{a}, \mathbf{c}) & (\mathbf{a}, \mathbf{d}) \\ (\mathbf{b}, \mathbf{c}) & (\mathbf{b}, \mathbf{d})\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 3.14

Даны $\alpha , \beta , \gamma$ — плоские углы трехгранного угла. Найти его двугранные углы.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.15

Даны два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ такие, что $\mathbf{a} \neq 0, (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 0$ . Выразить через $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ какой — нибудь вектор $\mathbf{x}$ , удовлетворяющий уравнению $\left[\mathbf{x}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.16

Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения $\left[\mathbf{x}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}$ $(\mathbf{a} \neq 0)$ , а также его частного решения, коллинеарного вектору $\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.17

(1)(2)

Из одной точки отложены четыре вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ . Вектор $\mathbf{d}$ имеет длину 1 и образует с некомпланарными векторами $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

равные острые углы;

(2)

равные тупые углы.

Выразить вектор $\mathbf{d}$ через векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ .

Задача 3.18

Из одной точки отложены четыре вектора $\mathbf{a}(- 1, 1$ , $- 1), \mathbf{b}(- 1, 1, 1), \mathbf{c}(5, - 1, - 1)$ и $\mathbf{d}$ . Вектор $\mathbf{d}$ имеет длину 1 и образует с векторами $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ равные острые углы. Вычислить координаты вектора $\mathbf{d}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.19

(1)(2)(3)(4)

Найти смешанное произведение векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ , заданных своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{a}(1, - 1, 1), \mathbf{b}(7, 3, - 5), \mathbf{c}(- 2, 2, - 2)$

(2)

$\mathbf{a}(3, 5, 1), \mathbf{b}(4, 0, - 1), \mathbf{c}(2, 1, 1)$

(3)

$\mathbf{a}(2, 1, 0), \mathbf{b}(3, 4, - 1), \mathbf{c}(- 1, - 3, 1)$

(4)

$\mathbf{a}(1, 2, 3), \mathbf{b}(5, - 2, 1), \mathbf{c}(2, 1, 2)$ .

Задача 3.20

(1)(2)

Проверить, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{a}(2, 3, 5), \mathbf{b}(7, 1, - 1), \mathbf{c}(3, - 5, - 11)$

(2)

$\mathbf{a}(2, 0, 1), \mathbf{b}(5, 3, - 3), \mathbf{c}(3, 3, 10)$ .

Задача 3.21

Векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ некомпланарны. При каких значениях скаляра $\lambda$ компланарны векторы $\mathbf{a} + 2\mathbf{b} + \lambda \mathbf{c}, 4\mathbf{a} + 5\mathbf{b} + 6\mathbf{c}$ , $7\mathbf{a} + 8\mathbf{b} + \lambda^{2} \mathbf{c}?$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.22

(1)(2)

Три некомпланарных вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ отложены из одной точки. Найти:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

объем треугольной призмы, основание которой построено на векторах $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , а боковое ребро совпадает с вектором $\mathbf{c}$

(2)

объем тетраэдра, построенного на векторах $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ .

Задача 3.23

(1)(2)

Даны точки $A(2, 1, - 1), B(3, 0, 2), C(5, 1, 1), D(0$ , $- 1, 3)$ , являющиеся вершинами тетраэдра. Найти:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

объем тетраэдра

(2)

длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины $C$ .

Задача 3.24

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ в пространстве равны соответственно $1, 2, \sqrt{2}$ , а углы между ними равны: $\angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right) = 120^{\circ }, \angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{3}\right) = 45^{\circ }, \angle \left(\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right) = 135^{\circ }$ . Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты $(- 1, 0, 2), (1, 1, 3), (2, - 1, 1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.25

(1)(2)

Даны неколлинеарные векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и скаляр $p$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Найти какой — нибудь вектор $\mathbf{x}$ , удовлетворяющий уравнению $(\mathbf{x}, \mathbf{a}, \mathbf{b}) = p$ .

(2)

Объяснить геометрический смысл всех решений уравнения $(\mathbf{x}, \mathbf{a}, \mathbf{b}) = p$ , а также его частного решения, ортогонального к векторам $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ .

Задача 3.26

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Доказать тождества:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})^{2} + \left|[\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right], \mathbf{c}]\right|^{2} = \left|\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right]\right|^{2} \cdot \left|\mathbf{c}\right|^{2}$

(2)

$[\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right], \left[\mathbf{c}, \mathbf{d}\right]] = \mathbf{c}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{d}) - \mathbf{d}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})$

(3)

$\mathbf{d}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = \mathbf{a}(\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}) + \mathbf{b}(\mathbf{c}, \mathbf{a}, \mathbf{d}) + \mathbf{c}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{d})$

(4)

$(\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right], \left[\mathbf{b}, \mathbf{c}\right], \left[\mathbf{c}, \mathbf{a}\right]) = (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})^{2}$

(5)

$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})\left[\mathbf{x}, \mathbf{y}\right] =\left[\begin{smallmatrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \\ (\mathbf{a}, \mathbf{x}) & (\mathbf{b}, \mathbf{x}) & (\mathbf{c}, \mathbf{x}) \\ (\mathbf{a}, \mathbf{y}) & (\mathbf{b}, \mathbf{y}) & (\mathbf{c}, \mathbf{y})\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) =\left[\begin{smallmatrix} (\mathbf{a}, \mathbf{x}) & (\mathbf{b}, \mathbf{x}) & (\mathbf{c}, \mathbf{x}) \\ (\mathbf{a}, \mathbf{y}) & (\mathbf{b}, \mathbf{y}) & (\mathbf{c}, \mathbf{y}) \\ (\mathbf{a}, \mathbf{z}) & (\mathbf{b}, \mathbf{z}) & (\mathbf{c}, \mathbf{z})\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 3.27

Доказать, что проекция вектора $\mathbf{b}$ на прямую, перпендикулярную вектору $\mathbf{a}$ $(\mathbf{a} \neq 0)$ , равна $[\mathbf{a}, \left[\mathbf{b}, \mathbf{a}\right]] / \left|\mathbf{a}\right|^{2}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.28

(1)(2)

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

если векторы $\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right], \left[\mathbf{b}, \mathbf{c}\right], \left[\mathbf{c}, \mathbf{a}\right]$ компланарны, то векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ компланарны

(2)

если векторы $\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right], \left[\mathbf{b}, \mathbf{c}\right], \left[\mathbf{c}, \mathbf{a}\right]$ компланарны, то они коллинеарны.

Задача 3.29

(1)(2)(3)

(1)

(2)

(3)

Задача 3.30

Для тройки векторов $\mathbf{a}_{1}(3, 0, 1), \mathbf{a}_{2}(- 1, 1, 2), \mathbf{a}_{3}(1, 2, 1)$ найти взаимную тройку (см. задачу 3. 29).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.31

Решить систему векторных уравнений в пространстве: $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = p, (\mathbf{x}, \mathbf{b}) = q, (\mathbf{x}, \mathbf{c}) = s$ (векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ некомпланарны). Геометрическая интерпретация решения дается в задаче 2. 33.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.32

Точка $M$ лежит на ребре $BB_{1}$ куба $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , причем $\left|BM\right|:\left|MB_{1}\right| = 2: 1$ . Длина ребра куба равна $a$ . Найти расстояние между прямыми $CD_{1}$ и $MD$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.33

Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника $ABC$ , равна $3 / 4$ площади треугольника $ABC$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.34

В треугольнике $ABC$ через точку $H$ на стороне $AC$ проведена прямая параллельно стороне $BC$ до пересечения со стороной $AB$ в точке $M$ . Площадь треугольника $BHM$ в 4, 5 раза меньше площади треугольника $ABC$ . Найти отношение $\left|AM\right|:\left|MB\right|$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.35

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если длина высоты ее равна $h$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.36

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.37

Точка $M$ — середина бокового ребра $AA_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Прямые $BD, MD_{1}$ и $A_{1} C$ попарно перпендикулярны. Известны длины отрезков: $\left|BD\right| = 2a$ , $\left|A_{1} C\right| = 4a, \left|BC\right| = 3a / 2$ . Найти длину высоты параллелепипеда.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.38

Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, делит этот тетраэдр на две одинаковые по объему части.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.39

В правильном тетраэдре $ABCD$ проведены два сечения, параллельные ребрам $AC$ и $BD$ . Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны $S_{1}$ и $S_{2}$ , а расстояние между секущими плоскостями равно $d$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 3.40

Доказать, что все четыре грани произвольного тетраэдра равновелики тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

4 · Замена базиса и системы координат[30/97%]

Задача 4.1

(1)(2)(3)

На плоскости даны два базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ . Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты $(- 1, 3)$ и $(2, - 7)$ соответственно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты $\alpha_{1}^{\prime }, \alpha_{2}^{\prime }$ во втором базисе.

(2)

Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ в первом базисе.

(3)

Найти координаты векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ во втором базисе.

Задача 4.2

(1)(2)(3)

В пространстве даны два базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ . Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты $(1, 1, 1), (- 1, - 2, - 3), (1, 3, 6)$ соответственно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты $\alpha_{1}^{\prime }, \alpha_{2}^{\prime }, \alpha_{3}^{\prime }$ во втором базисе.

(2)

Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ в первом базисе.

(3)

Найти координаты векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ во втором базисе.

Задача 4.3

(1)(2)(3)

На плоскости даны две системы координат $O$ , $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $(- 1, 3)$ , а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты $(2, 3)$ и $(1, 1)$ соответственно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Найти координаты точки в первой системе, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ во второй системе координат.

(2)

Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты $x, y$ в первой системе координат.

(3)

Найти координаты точки $O$ во второй системе и координаты векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ в базисе второй системы координат.

Задача 4.4

(1)(2)(3)

В пространстве даны две системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ , $\mathbf{e}_{3}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $(1, 1, 2)$ , а базисные векторы второй системы координат имеют в базисе первой системы координаты $(4, 2, 1), (5, 3, 2), (3, 2, 1)$ соответственно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ во второй системе.

(2)

Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты $x, y, z$ в первой системе.

(3)

Найти координаты точки $O$ во второй системе координат и координаты векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ в базисе второй системы.

Задача 4.5

(1)(2)(3)

Координаты $x, y$ каждой точки плоскости в системе координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ выражаются через координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ этой же точки в системе $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ формулами $x = 2x^{\prime } - y^{\prime } + 5$ , $y = 3x^{\prime } + y^{\prime } + 2$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Выразить координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ через координаты $x, y$ .

(2)

Найти координаты начала $O$ и базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ первой системы координат во второй системе.

(3)

Найти координаты начала $O^{\prime }$ и базисных векторов $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ , $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ второй системы координат в первой системе.

Задача 4.6

(1)(2)(3)

Координаты $x, y, z$ каждой точки пространства в системе координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ выражаются через координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ этой же точки в системе $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ формулами $x = x^{\prime } + y^{\prime } + z^{\prime } - 1, y = - x^{\prime } + z^{\prime } + 3, z = - x^{\prime } - y^{\prime } - 2$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Выразить координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ через координаты $x, y, z$ .

(2)

Найти координаты начала $O$ и базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ , $\mathbf{e}_{3}$ первой системы координат во второй системе.

(3)

Найти координаты начала $O^{\prime }$ и базисных векторов $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ , $\mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ второй системы в первой системе.

Задача 4.7

Найти координаты вектора в базисе $\mathbf{e}_{1}(2, 3), \mathbf{e}_{2}(3, 4)$ на плоскости, если известны его координаты $\alpha_{1}^{\prime }, \alpha_{2}^{\prime }$ в базисе $\mathbf{e}_{1}^{\prime }(1, - 1), \mathbf{e}_{2}^{\prime }(2, - 3)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.8

Найти координаты вектора в базисе $\mathbf{e}_{1}(1, 3, 2)$ , $\mathbf{e}_{2}(- 1, 1, 0), \mathbf{e}_{3}(2, - 1, 1)$ в пространстве, если известны его координаты $\alpha_{1}^{\prime }, \alpha_{2}^{\prime }, \alpha_{3}^{\prime }$ в базисе $\mathbf{e}_{1}^{\prime }(- 1, 0, 2), \mathbf{e}_{2}^{\prime }(1, 1, 1), \mathbf{e}_{3}^{\prime }(4, 3, - 1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.9

Найти координаты точки в системе координат $O(2, - 1)$ , $\mathbf{e}_{1}(1, 5), \mathbf{e}_{2}(- 1, 4)$ на плоскости, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $O^{\prime }(3, 2), \mathbf{e}_{1}^{\prime }(1, - 1), \mathbf{e}_{2}^{\prime }(4, 2)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.10

Найти координаты точки в системе координат $O(1, 3$ , $3), \mathbf{e}_{1}(3, 3, 1), \mathbf{e}_{2}(3, 5, 2), \mathbf{e}_{3}(1, 2, 1)$ в пространстве, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $O^{\prime }(- 1, 0, 2)$ , $\mathbf{e}_{1}^{\prime }(1, - 2, 1), \mathbf{e}_{2}^{\prime }(4, 2, 1), \mathbf{e}_{3}^{\prime }(2, - 1, 3)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.11

[НЕТ УСЛОВИЯ]

Задача 4.12

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ лежит на стороне $BC$ , а точка $F$ — на стороне $AB$ , причем $\left|BE\right|:\left|BC\right| = 1: 4, \left|BF\right|:\left|AF\right| = 2: 5$ . Найти координаты точки плоскости в системе координат $C, \overrightarrow {CE}, \overrightarrow {CD}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $E, \overrightarrow {EF}, \overrightarrow {ED}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.13

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $BC$ , а точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ , причем $\left|BD\right|:\left|DC\right| = 1: 2, \left|AC\right|:\left|CE\right| = 3: 1$ . Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $D, \overrightarrow {DA}, \overrightarrow {DE}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.14

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AC$ , а точка $E$ — на отрезке $BD$ , причем $\left|AD\right|:\left|AC\right| = 1: 3$ , $\left|BE\right|:\left|ED\right| = 2: 3$ . Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }$ , $y^{\prime }$ в системе координат $C, \overrightarrow {CB}, \overrightarrow {CE}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.15

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ . Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AF}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $C$ , $\overrightarrow {CB}, \overrightarrow {CE}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.16

В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$ , а длины оснований $BC$ и $AD$ относятся как $2: 3$ . Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}$ , $\overrightarrow {AD}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $E$ , $\overrightarrow {EA}, \overrightarrow {EB}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.17

В трапеции $ABCD$ длины оснований $BC$ и $AD$ относятся как $3: 4$ , точка $E$ является серединой основания $AD$ , а продолжения боковых сторон пересекаются в точке $F$ . Найти координаты точки плоскости в системе координат $E, \overrightarrow {EB}$ , $\overrightarrow {EC}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $F, \overrightarrow {FB}, \overrightarrow {FC}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.18

В основании призмы $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит ромб с острым углом $A$ , равным $60^{\circ }$ . Точка $K$ лежит на продолжении ребра $AB$ за точку $B$ , причем угол $ADK$ прямой. Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD}$ , $\overrightarrow {AA_{1}}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $K, \overrightarrow {KA}, \overrightarrow {KD}, \overrightarrow {KC_{1}}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.19

В треугольной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ точка $M$ — точка пересечения медиан грани $A_{1} B_{1} C_{1}$ . Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AB_{1}}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $A_{1}, \overline{A_{1} B}$ , $\overrightarrow {A_{1} C}, \overrightarrow {A_{1} M}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.20

В тетраэдре $ABCD$ точка $M$ — точка пересечения медиан грани $BCD$ . Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $M, \overrightarrow {MB}, \overrightarrow {MC}, \overrightarrow {MA}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.21

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ является центром основания. Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AF}$ , $\overrightarrow {AS}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $S, \overrightarrow {SC}, \overrightarrow {SD}, \overrightarrow {SM}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.22

Дан параллелепипед $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AB_{1}}$ , $\overrightarrow {AA_{1}}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $D_{1}, \overrightarrow {D_{1} D}, \overrightarrow {D_{1} C_{1}}, \overrightarrow {D_{1} \bar{B}}$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.23

Координаты $x, y$ каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ этой же точки во второй системе координат соотношениями $x = a_{11} x^{\prime } + a_{12} y^{\prime } + a_{10}, y = a_{21} x^{\prime } + a_{22} y^{\prime } + a_{20}$ . Первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.24

(1)(2)

Координаты $x, y, z$ каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты $x^{\prime }$ , $y^{\prime }, z^{\prime }$ этой же точки во второй системе координат соотношениями

\begin{aligned} & x = a_{11} x^{\prime } + a_{12} y^{\prime } + a_{13} z^{\prime } + a_{10}, \\ & y = a_{21} x^{\prime } + a_{22} y^{\prime } + a_{23} z^{\prime } + a_{20}, \\ & z = a_{31} x^{\prime } + a_{32} y^{\prime } + a_{33} z^{\prime } + a_{30}. \end{aligned}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Пусть первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной?

(2)

При каком необходимом и достаточном условии ориентация базисов первой и второй систем одинакова?

Задача 4.25

(1)(2)(3)

На плоскости даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $x_{0}, y_{0}$ , а векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом на один и тот же угол $\varphi$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1}$ к $\mathbf{e}_{2}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ во второй системе.

(2)

Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты $x, y$ в первой системе.

(3)

Найти координаты точки $O$ во второй системе координат.

Задача 4.26

(1)(2)(3)(4)

На плоскости даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты 1, 3, а векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом на один и тот же угол $\varphi$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1}$ к $\mathbf{e}_{2}$ . Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ во второй системе, считая угол $\varphi$ равным:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$60^{\circ }$

(2)

$135^{\circ }$

(3)

$90^{\circ }$

(4)

$180^{\circ }$

Задача 4.27

(1)(2)(3)

На плоскости даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $x_{0}, y_{0}$ , а векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $- \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом на один и тот же угол $\varphi$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1}$ к $\mathbf{e}_{2}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

(2)

Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты $x, y$ в первой системе.

(3)

Найти координаты точки $O$ во второй системе координат.

Задача 4.28

В прямоугольном треугольнике $ABC$ , длины катетов которого равны $\left|AB\right| = 3$ и $\left|BC\right| = 4$ , точка $D$ является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторы $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ имеют длину 1, причем $\mathbf{e}_{1}$ сонаправлен с $\overrightarrow {BA}, \mathbf{e}_{2}$ сонаправлен с $\overrightarrow {BC}, \mathbf{e}_{1}^{\prime }$ сонаправлен с $\overrightarrow {AC}, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ сонаправлен с $\overrightarrow {DB}$ . Найти координаты точки плоскости в системе координат $B, \mathbf{e}_{1}$ , $\mathbf{e}_{2}$ , если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $D$ , $\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.29

В пространстве даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ . Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $- 1, 3, 5$ . Вектор $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ образует углы, равные $60^{\circ }$ , с векторами $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ и острый угол с вектором $\mathbf{e}_{3}$ . Вектор $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ компланарен с векторами $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ и образует с вектором $\mathbf{e}_{2}$ острый угол. Тройки $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ одинаково ориентированы. Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ во второй системе.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.30

В пространстве даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ . Точки $O$ и $O^{\prime }$ различны, а конџы векторов $\mathbf{e}_{2}$ и $\mathbf{e}_{i}^{\prime }$ , отложенных соответственно из точек $O$ и $O^{\prime }$ , совпадают $(i = 1, 2, 3)$ . Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ во второй системе.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику