Скалярное произведение векторов

Найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, если:

Вычислить выражение $\left|\mathbf{a}\right|^{2} - \sqrt{3}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + 5\left|\mathbf{b}\right|^{2}$, если:

Найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданных своими координатами:

Найти угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданными своими координатами:

Найти расстояние между точками $A$ и $B$, заданными своими координатами:

Найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданных своими координатами:

Найти угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданными своими координатами:

Найти расстояние между точками $A$ и $B$, заданными своими координатами:

Даны три вектора: $\mathbf{a}(- 1, 2), \mathbf{b}(5, 1), \mathbf{c}(4, - 2)$. Вычислить:

Даны три вектора: $\mathbf{a}(1, - 1, 1), \mathbf{b}(5, 1, 1), \mathbf{c}(0, 3, - 2)$. Вычислить:

Доказать, что векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ взаимно перпендикулярны.

Верно ли, что для любых векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ выполняется соотношение $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c}, \mathbf{d}) = (\mathbf{a}, \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b}, \mathbf{d})$?

Даны три вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ такие, что $\left|\mathbf{a}\right| = \left|\mathbf{b}\right| = \left|\mathbf{c}\right| = 1$, $\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{o}$. Вычислить $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + (\mathbf{b}, \mathbf{c}) + (\mathbf{c}, \mathbf{a})$.

В треугольнике $ABC$ даны длины сторон. Найти скалярное произведение $(\overrightarrow {AC}, \overrightarrow {BC})$, если:

Дан треугольник $ABC$. Выразить через $\mathbf{b} = \overrightarrow {AB}$ и $\mathbf{c} = \overrightarrow {AC}$

В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Найти координаты вектора $\overrightarrow {AH}$ в базисе, образованном векторами $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AC}$.

Доказать, что для произвольного прямоугольника $ABCD$ и для произвольной точки $M$ (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) имеют место равенства:

В трапеции $ABCD$ отношение длин оснований $\left|AD\right|$: $:\left|BC\right|$ равно 3. Выразить через $\mathbf{b} = \overrightarrow {AB}$ и $\mathbf{c} = \overrightarrow {AC}$:

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ общей декарховой системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен $120^{\circ }$. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника $A(- 2, 2), B(- 2, - 1), C(- 1, 0)$. Найти длины сторон и углы треугольника.

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ равны соответственно $3, \sqrt{2}, 4$, а углы между ними равны $\angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right) = \angle \left(\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right) = 45^{\circ }, \angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{3}\right) = 60^{\circ }$. Вычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты $(1, - 3, 0)$ и $(- 1, 2, 1)$.

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ равны соответственно $1, 1, 2$; углы между ними равны $\angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right) = 90^{\circ }$, $\angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{3}\right) = \angle \left(\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right) = 60^{\circ }$. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a}(- 1, 0, 2)$ и $\mathbf{b}(2, - 1, 1)$.

Из одной точки отложены три вектора $\mathbf{a}(0, - 3, 4)$, $\mathbf{b}(4, 1, - 8)$ и $\mathbf{c}$. Вектор $\mathbf{c}$ имеет длину 1 и делит пополам угол между $\mathbf{a}$ и b. Вычислить координаты вектора $\mathbf{c}$.

Найти сумму ортогональных проекций вектора $\mathbf{a}$ на стороны правильного треугольника.

Дан вектор $\mathbf{a}(1, 1)$. Найти ортогональную проекцию вектора $\mathbf{b}$ на прямую, направление которой определяется вектором $\mathbf{a}$, и ортогональную составляющую вектора $\mathbf{b}$ относительно этой прямой, если вектор $\mathbf{b}$ имеет координаты:

Дан вектор $\mathbf{a}$ $(1, - 1, 2)$. Найти ортогональную проекцию вектора $\mathbf{b}$ на прямую, направление которой определяется вектором $\mathbf{a}$, и ортогональную составляющую вектора $\mathbf{b}$ относительно этой прямой, если вектор $\mathbf{b}$ имеет координаты:

Даны два вектора $\mathbf{a}(3, - 1)$ и $\mathbf{b}(- 1, 1)$. Найти вектор $\mathbf{x}$, удовлетворяющий системе уравнений $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = 13$, $(\mathbf{x}, \mathbf{b}) = - 3$.

Даны векторы $\mathbf{a}(\sqrt{3}, - 3)$ и $\mathbf{b}(1, - 1)$. Найти все векторы $\mathbf{x}$, образующие угол $\pi / 3$ с вектором $\mathbf{a}$ и такие, что $(\mathbf{b}, \mathbf{x}) = 1$.

Даны три вектора $\mathbf{a}(4, 1, 5), \mathbf{b}(0, 5, 2)$ и $\mathbf{c}(- 6, 2, 3)$. Найти вектор $\mathbf{x}$, удовлетворяющий системе уравнений $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = 18, (\mathbf{x}, \mathbf{b}) = 1, (\mathbf{x}, \mathbf{c}) = 1$.

Даны ненулевой вектор $\mathbf{a}$ и скаляр $p$. Выразить через $\mathbf{a}$ и $p$ какой — нибудь вектор $\mathbf{x}$, удовлетворяющий уравнению $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = p$.

Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = p$, а также его частного решения, коллинеарного вектору $\mathbf{a}$:

Объяснить геометрический смысл:

Даны два вектора $\mathbf{a}(1, - 1, 1)$ и $\mathbf{b}(5, 1, 1)$. Вектор $\mathbf{c}$ имеет длину 1, ортогонален вектору $\mathbf{a}$ и образует с вектором $\mathbf{b}$ угол $\arccos (\sqrt{2 / 27})$. Вычислить координаты вектора $\mathbf{c}$. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти углы треугольника.

В параллелограмме $ABCD$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $CD$. Найти $\left|AD\right|$, если $\left|AK\right| = 6, \left|AL\right| = 3$, а угол $KAL = \pi / 3$.

Длины сторон треугольника связаны соотношением $a^{2} + b^{2} = 5c^{2}$. Доказать, что две медианы треугольника перпендикулярны.

Длины соседних сторон параллелограмма относятся как $m: n$, а угол между этими сторонами равен $\alpha$. Найти угол между диагоналями параллелограмма.

В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника.

В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований равно $m: n(m > n$). Найти:

Доказать, что если в треугольнике равны длины двух медиан, длины двух высот или длины двух биссектрис, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Доказать, что $\left|AM\right|^{2} + \left|BM\right|^{2} + \left|CM\right|^{2} = \left(\left|AB\right|^{2} + + \left|BC\right|^{2} + \left|AC\right|^{2}\right) / 3$.

Длины ребер $AA_{1}, AB$ и $AD$ параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равны соответственно $a, b, c$. Величины углов между ними $\angle BAD, \angle A_{1} AD$ и $\angle A_{1} AB$ равны соответственно $\alpha , \beta , \gamma$. Найти длину диагонали $AC_{1}$.

Дан произвольный тетраэдр $ABCD$. Доказать: если перпендикулярны ребра $AB$ и $CD$ и ребра $AC$ и $BD$, то ребра $BC$ и $AD$ также перпендикулярны.

Даны два отрезка $AB$ и $CD$ (вообще говоря, в пространстве). Доказать, что отрезки перпендикулярны, если $\left|AC\right|^{2} + \left|BD\right|^{2} = \left|AD\right|^{2} + \left|BC\right|^{2}$. Верно ли обратное утверждение?

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $P$ — середины ребер $AD$ и $CD$ соответственно, точки $N$ и $Q$ — центры граней $BCD$ и $ABC$ соответственно. Найти угол между прямыми $MN$ и $PQ$.

Длина ребра куба $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равна $a$. Точка $P$ — середина ребра $CC_{1}$, точка $Q$ — центр грани $AA_{1} B_{1} B$. От — резок $MN$ с концами на прямых $AD$ и $A_{1} B_{1}$ пересекает прямую $PQ$ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AD$ и $BC$ соответственно. Ha ребре $CD$ взята точка $N$, на отрезке $EF$ — точка $M$ так, что $\angle MNC = 45^{\circ }, \angle NME = \arccos (2 / 3)$. В каком отношении точки $M$ и $N$ делят отрезки $EF$ и $CD$?

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ (S — вершина) длина стороны основания равна 2. Вершины $K$ и $M$ ромба $KLMF$ лежат на ребрах $AB$ и $SD$ соответственно, и $\left|KM\right| = 3$, а отрезок $KL$ пересекает ребро $SB$. Найти объем пирамиды.