Линейные соотношения

Доказать утверждения:

Может ли быть линейно зависимой система, состоящая из одного вектора?

Доказать, что для любых трех векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ и любых трех чисел $\alpha , \beta , \gamma$ векторы $\alpha \mathbf{a} - \beta \mathbf{b}, \gamma \mathbf{b} - \alpha \mathbf{c}, \beta \mathbf{c} - \gamma \mathbf{a}$ линейно зависимы.

Даны три вектора $\mathbf{a}(1, 2), \mathbf{b}(- 5, - 1)$, $\mathbf{c}(- 1, 3)$. Найти координаты векторов $2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c}, 16\mathbf{a} + 5\mathbf{b} - 9\mathbf{c}$.

Даны три вектора $\mathbf{a}(1, 3), \mathbf{b}(2, - 1), \mathbf{c}(- 4, 1)$. Найти числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что $\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{o}$.

Проверить, что векторы $\mathbf{a}(- 5, - 1)$ и $\mathbf{b}(- 1, 3)$ образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов $\mathbf{c}(- 1, 2)$ и $\mathbf{d}(2, - 6)$ в этом базисе.

Вектор $\mathbf{a}$ имеет в некотором базисе координаты $(x$, $1 - x)$, вектор $\mathbf{b}$ — координаты $\left(x^{2} - 2x, x^{2} - 2x + 1\right)$. При каких значениях $x$ векторы

Даны четыре вектора $\mathbf{a}(3, 0, - 2), \mathbf{b}(1, 2, - 5), \mathbf{c}(- 1, 1, 1)$, $\mathbf{d}(8, 4, 1)$. Найти координаты векторов $- 5\mathbf{a} + \mathbf{b} - 6\mathbf{c} + \mathbf{d}, 3\mathbf{a} - \mathbf{b} - \mathbf{c} - \mathbf{d}$.

Даны четыре вектора $\mathbf{a}(4, 1, - 1), \mathbf{b}(3, - 1, 0), \mathbf{c}(- 1, 1, 1)$, $\mathbf{d}(- 1, 3, 4)$. Найти числа $\alpha , \beta , \gamma$ такие, что $\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \gamma \mathbf{c} + \mathbf{d} = \mathbf{o}$.

Проверить, что векторы $\mathbf{a}(4, 1, - 1), \mathbf{b}(1, 2, - 5)$ и $\mathbf{c}(- 1, 1, 1)$ образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов $\mathbf{l}(4, 4, - 5), \mathbf{m}(2, 4, - 10), \mathbf{n}(0, 3, - 4)$ в этом базисе.

Проверить, будут ли компланарны векторы $\mathbf{l}, \mathbf{m}$ и n; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ — три некомпланарных вектора):

Из одной точки пространства отложены три вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$. Доказать, что конец вектора $\mathbf{c}$ тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, когда выполнено равенство $\mathbf{c} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}$, где $\alpha \geqslant 0, \beta \geqslant 0, \alpha + \beta = 1$. В каком отношении конец вектора $\mathbf{c}$ делит этот отрезок?

В параллелограмме $ABCD$ точка $K$ — середина отрезка $BC$ и точка $O$ — точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AD}$, найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow {BD}, \overrightarrow {CO}, \overrightarrow {KD}$.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина отрезка $AB$ и точка $O$ — точка пересечения медиан. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AC}$, найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow {AM}, \overrightarrow {AO}, \overrightarrow {MO}$.

В трапеции $ABCD$ длины оснований $AD$ и $BC$ относятся как $3: 2$. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AC}$ и $\overrightarrow {BD}$, найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {BC}, \overrightarrow {CD}, \overrightarrow {DA}$.

В трапеции $ABCD$ длины оснований $AD$ и $BC$ относятся как $3: 1. O$ — точка пересечения диагоналей трапеции, $S$ — точка пересечения продолжений боковых сторон. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AD}$ и $\overrightarrow {AB}$, найти координаты векторов $\overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AO}, \overrightarrow {AS}$.

Точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD$. Доказать, что $\overrightarrow {EF} = (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}) / 2$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AE}$, найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow {BC}, \overrightarrow {CD}, \overrightarrow {DE}, \overrightarrow {EF}, \overrightarrow {BD}, \overrightarrow {CF}, \overrightarrow {CE}$.

В трапеции задачи 1. 16 точка $M$ — середина стороны $CD$. Найти координаты вектора $\overrightarrow {AD}$ в базисе $\overrightarrow {OS}, \overrightarrow {OM}$.

В треугольнике $ABC$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат соответственно на отрезках $AK$ и $BL$ так, что $\left|AM\right|:\left|MK\right| = 6: 1$ и $\left|BN\right|:\left|NL\right| = 8: 1$. Точка $P$ — середина отрезка $MN$. Найти координаты вектора $\overrightarrow {AB}$ в базисе $\overrightarrow {MN}, \overrightarrow {CP}$.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AC$, точки $K$ и $L$ на сторонах $AB$ и $BC$ расположены так, что $\left|AK\right|:\left|KB\right| = 3: 5$, а $\left|BL\right|:\left|LC\right| = 2: 3$. Найти координаты вектора $\overrightarrow {BM}$ в базисе $\overrightarrow {AL}, \overrightarrow {CK}$.

В треугольнике $ABC$ точки $K, L, M$ расположены соответственно на сторонах $AB, BC$ и $AC$ так, что $\left|AK\right|$: $:\left|KB\right| = \left|BL\right|:\left|LC\right| = \left|CM\right|:\left|MA\right| = 3: 1$. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Найти координаты вектора $\overrightarrow {AP}$ в базисе $\overline{LK}, \overrightarrow {LM}$.

В тетраэдре $OABC$ точки $K, L, M, N, P, Q$ — середины ребер $OA, OB, OC, AB, AC, BC$ соответственно, $S$ точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB}$ и $\overrightarrow {OC}$, найти в этом базисе координаты:

Даны три точки $O, A, B$, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow {OA}$ и $\overrightarrow {OB}$, найти:

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Найти координаты вектора $\overrightarrow {AD}$ в базисе, образованном векторами $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AC}$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Принимая за начало координат вершину $A$, а за базисные векторы $\overrightarrow {AC}$ и $\overrightarrow {AE}$, найти координаты вершин шестиугольника и его центра.

В трапеции $ABCD$ отношение длин оснований $AD$ и $BC$ равно 4. Принимая за начало координат вершину $A$, а за базисные векторы $\overrightarrow {AD}$ и $\overrightarrow {AB}$, найти координаты вершин трапеции, точки $M$ пересечения ее диагоналей и точки $S$ пересечения боковых сторон.

Дан параллелепипед $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Принимая за начало координат вершину $A$, а за базисные векторы $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD}$ и $\overrightarrow {AA_{1}}$, найти координаты:

Три точки $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right)$, не лежащие на одной прямой, являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти координаты четвертой вершины $D$ этого параллелограмма.

Даны две различные точки $A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$. Найти координаты:

Даны две точки $A(3, - 2)$ и $B(1, 4)$. Точка $M$ лежит на прямой $AB$, причем $\left|AM\right| = 3\left|AB\right|$. Найти координаты точки $M$, если:

Даны три точки $A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)$, не лежащие на одной прямой. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$.

Зная радиус — векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}, \mathbf{r}_{4}$ вершин $A, B$, $D, A_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, выразить через них радиус — векторы остальных четырех вершин.

Отношение длин оснований $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ равно $m: n$. Выразить радиус — векторы вершины $D$, точки $M$ пересечения диагоналей трапеции и точки $S$ пересечения боковых сторон через радиус — векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}$ вершин $A, B, C$.

Доказать, что радиус — вектор центра правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиус — векторов его вершин.

Зная радиус — векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}$ вершин треугольника, найти радиус — вектор центра окружности, вписанной в треугольник.

В плоскости треугольника $ABC$ найти точку $O$ такую, что $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} =$ о. Существуют ли такие точки вне плоскости треугольника?

В точках, имеющих радиус — векторы $\mathbf{r}_{1}, \ldots , \mathbf{r}_{n}$, сосредоточены массы $m_{1}, \ldots , m_{n}$. Найти радиус — вектор центра тяжести этой материальной системы.

Однородная проволока согнута в виде угла $AOB$ со сторонами $\left|OA\right| = a$ и $\left|OB\right| = b$. Найти координаты центра тяжести проволоки в системе координат $O, \overrightarrow {OA} / a, \overrightarrow {OB} / b$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму четырехугольника $ABCD$ с вершинами в точках $A(3, 1), B(7, 3), C(0, 4), D(- 1, 2)$.

Доказать, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ параллелограмма $OABC$. Доказать, что точка пересечения диагоналей $OABC$ совпадает с точкой пересечения медиан треугольника $OKL$.

Точка $K$ лежит на продолжении стороны $AB$ треугольника $ABC$ за точку $B$, точка $L$ — на продолжении стороны $BC$ за точку $C$, точка $M$ — на продолжении стороны $CA$ за точку $A$, причем $\left|AB\right|:\left|BK\right| = \left|BC\right|:\left|CL\right| = \left|CA\right|:\left|AM\right|$. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников $ABC$ и $KLM$ совпадают.

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что $\left|AM\right|:\left|BM\right| = m_{1}: n_{1}$, $\left|AN\right|:\left|CN\right| = m_{2}: n_{2}$. Точку пересечения отрезков $BN$ и $CM$ обозначим через $O$. Найти отношения $\left|BO\right|:\left|ON\right|$ и $\left|CO\right|:\left|OM\right|$.

Применяя результат задачи 1. 44 при $m_{1} = n_{1} = m_{2} = n_{2} = 1$, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ расположены соответственно точки $M$ и $N$ так, что $\left|AM\right|:\left|BM\right| = m: 1, \left|CN\right|:\left|BN\right| = n: 1$. Прямая $MN$ пересекает высоту $BD$ треугольника в точке $O$. Найти отношение $\left|DO\right|:\left|BO\right|$.

На сторонах $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M, N, P$ так, что $\left|AM\right| = \left|AB\right| / n, \left|BN\right| = \left|BC\right| / n, \left|CP\right| = \left|CA\right| / n$. Площадь треугольника $ABC$ равна $S$. Найти площадь треугольника, полученного при пересечении прямых $AN, BP$ и $CM$. Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении $3: 1$, считая от вершины.

Доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

На диагоналях $AB_{1}$ и $CA_{1}$ боковых граней треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ расположены соответственно точки $E$ и $F$ так, что прямые $EF$ и $BC_{1}$ параллельны. Найти отношение $\left|EF\right|:\left|BC_{1}\right|$.

На диагонали $BC_{1}$ боковой грани треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ взята точка $M$, а на диагонали $CA_{1}$ другой боковой грани — точка $N$. Прямая $MN$ параллельна плоскости $ABB_{1} A_{1}$. Найти отношение $\left|CN\right|:\left|CA_{1}\right|$, если $\left|BM\right|:\left|BC_{1}\right| = 1: 3$.