Банк задач по математике

Задача 8B.1

Покажите, что каждое из пространств со скалярным произведением из примера 8.23 не является гильбертовым пространством.

?

Примечание.

?

Пример 8.23:

Пространство со скалярным произведением $\ell^{1}$ , где $\left\langle (a_1,a_2,\ldots ), (b_1,b_2,\ldots ) \right\rangle = \sum_{k=1}^{\infty } a_k b_k$ , не является гильбертовым пространством, поскольку соответствующая норма не полна на $\ell^{1}$ .
Пространство $C([0,1])$ непрерывных $\mathbf{F}$ -значных функций на отрезке $[0,1]$ со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_0^1 fg$ не является гильбертовым пространством, поскольку соответствующая норма не полна на $C([0,1])$ .

Задача 8B.2

Докажите или опровергните: пространство со скалярным произведением из упражнения 1 раздела 8A является гильбертовым пространством.

?

Задача 8B.3

Пусть $V_{1}, V_{2}, \ldots$ — гильбертовы пространства. Пусть

V = \left\{ \left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right) \in V_{1} \times V_{2} \times \cdots : \sum _{k = 1}^{\infty }\left\| f_{k}\right\| ^{2} < \infty \right\} .

Покажите, что равенство

\left\langle \left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right), \left(g_{1}, g_{2}, \ldots \right) \right\rangle = \sum _{k = 1}^{\infty } \left\langle f_{k}, g_{k} \right\rangle

задаёт скалярное произведение на $V$ , превращающее $V$ в гильбертово пространство.

?

Примечание.

?

Каждое из гильбертовых пространств $V_{1}, V_{2}, \ldots$ может иметь своё собственное скалярное произведение, хотя для нормы и скалярного произведения во всех этих гильбертовых пространствах используется одно и то же обозначение.

Задача 8B.4

Пусть $V$ — вещественное гильбертово пространство. Комплексификацией $V$ называется комплексное векторное пространство $V_{\mathbb {C}}$ , определённое как $V_{\mathbb {C}} = V \times V$ , где типичный элемент $V_{\mathbb {C}}$ записывается как $f+i g$ вместо $(f, g)$ . Сложение и умножение на скаляр на $V_{\mathbb {C}}$ определяются равенствами

\left(f_{1}+i g_{1}\right)+\left(f_{2}+i g_{2}\right) = \left(f_{1}+f_{2}\right)+i\left(g_{1}+g_{2}\right)

и

(\alpha +i \beta )(f+i g) = (\alpha f-\beta g)+i(\alpha g+\beta f)

для $f_{1}, f_{2}, f, g_{1}, g_{2}, g \in V$ и $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

\left\langle f_{1}+i g_{1}, f_{2}+i g_{2} \right\rangle = \left\langle f_{1}, f_{2} \right\rangle + \left\langle g_{1}, g_{2} \right\rangle +i\left( \left\langle g_{1}, f_{2} \right\rangle - \left\langle f_{1}, g_{2} \right\rangle \right)

задаёт скалярное произведение на $V_{\mathbb {C}}$ , превращающее $V_{\mathbb {C}}$ в комплексное гильбертово пространство.

?

Задача 8B.5

Докажите, что если $V$ — нормированное векторное пространство, $f \in V$ и $r > 0$ , то открытый шар $B(f, r)$ с центром в точке $f$ и радиусом $r$ выпуклый.

?

Задача 8B.6

(a)(b)

?

(a)

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением, а $B$ — открытый единичный шар в $V$ (то есть $B = \left\{ f \in V:\left\| f\right\| < 1\right\}$ ). Докажите, что если $U$ — подмножество $V$ такое, что $B \subseteq U \subseteq \overline{B}$ , то $U$ выпукло.

(b)

Приведите пример, показывающий, что результат из пункта (a) может не выполняться, если фразу пространство со скалярным произведением заменить на банахово пространство.

Задача 8B.7

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, а $U$ — замкнутое подмножество $V$ . Докажите, что $U$ выпукло тогда и только тогда, когда

\frac{f+g}{2} \in U \text{ для всех } f, g \in U

?

Задача 8B.8

Докажите, что если $U$ — выпуклое подмножество нормированного векторного пространства, то $\overline{U}$ также выпукло.

?

Задача 8B.9

Докажите, что если $U$ — выпуклое подмножество нормированного векторного пространства, то внутренность множества $U$ также выпукла.

?

Примечание.

?

Внутренность множества $U$ — это множество $\left\{ f \in U: B(f, r) \subseteq U\text{ для некоторого }r > 0\right\}$ .

Задача 8B.10

Пусть $V$ — гильбертово пространство, $U$ — непустое замкнутое выпуклое подмножество $V$ , а $g \in U$ — единственный элемент $U$ с наименьшей нормой (получаемый при $f = 0$ в 8.28). Докажите, что

\operatorname {Re} \left\langle g, h \right\rangle \geq \left\| g\right\| ^{2}

для всех $h \in U$ .

?

Задача 8B.11

Пусть $V$ — гильбертово пространство. Замкнутым полупространством $V$ называется множество вида

\left\{ g \in V: \operatorname {Re} \left\langle g, h \right\rangle \geq c\right\}

для некоторых $h \in V$ и $c \in \mathbb {R}$ . Докажите, что каждое замкнутое выпуклое подмножество $V$ является пересечением всех содержащих его замкнутых полупространств.

?

Задача 8B.12

Приведите пример непустого замкнутого подмножества $U$ гильбертова пространства $\ell^{2}$ и элемента $a \in \ell^{2}$ таких, что не существует $b \in U$ с $\left\| a-b\right\| = \operatorname {distance}(a, U)$ .

?

Примечание.

?

По 8.28, $U$ не может быть выпуклым подмножеством $\ell^{2}$ .

Задача 8B.13

В вещественном банаховом пространстве $\mathbb {R}^{2}$ с нормой $\left\| (x, y)\right\|_{\infty } = \max \left\{ \left|x\right|,\left|y\right|\right\}$ приведите пример замкнутого выпуклого множества $U \subseteq \mathbb {R}^{2}$ и точки $z \in \mathbb {R}^{2}$ таких, что существует бесконечно много элементов $w \in U$ с $\left\| z-w\right\|_{\infty } = \operatorname {distance}(z, U)$ .

?

Задача 8B.14

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением. Докажите, что $\left\langle f, g \right\rangle = 0$ тогда и только тогда, когда

\left\| f\right\| \leq \left\| f+\alpha g\right\|

для всех $\alpha \in \mathbf{F}$ .

?

Задача 8B.15

Пусть $U$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $V$ и $f \in V$ . Докажите, что $\left\| P_{U} f\right\| \leq \left\| f\right\|$ , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $f \in U$ .

?

Примечание.

?

Это упражнение просит вас доказать $8.37(d)$ .

Задача 8B.16

Пусть $V$ — гильбертово пространство и $P: V \rightarrow V$ — линейное отображение такое, что $P^{2} = P$ и $\left\| P f\right\| \leq \left\| f\right\|$ для каждого $f \in V$ . Докажите, что существует замкнутое подпространство $U$ пространства $V$ такое, что $P = P_{U}$ .

?

Задача 8B.17

Пусть $U$ — подпространство гильбертова пространства $V$ . Пусть также $W$ — банахово пространство и $S: U \rightarrow W$ — ограниченный линейный оператор. Докажите, что существует ограниченный линейный оператор $T: V \rightarrow W$ такой, что $\left.T\right|_{U} = S$ и $\left\| T\right\| = \left\| S\right\|$ .

?

Примечание.

?

Если $W = \mathbf{F}$ , то этот результат — просто теорема Хана–Банаха (6.69) для гильбертовых пространств. Здесь результат сильнее, поскольку он допускает, чтобы $W$ было произвольным банаховым пространством, а не требует, чтобы $W = \mathbf{F}$ . Кроме того, доказательство в этом контексте гильбертовых пространств не требует использования леммы Цорна или аксиомы выбора.

Задача 8B.18

Пусть $U$ и $W$ — подпространства гильбертова пространства $V$ . Докажите, что $\overline{U} = \overline{W}$ тогда и только тогда, когда $U^{\perp } = W^{\perp }$ .

?

Задача 8B.19

Пусть $U$ и $W$ — замкнутые подпространства гильбертова пространства. Докажите, что $P_{U} P_{W} = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\langle f, g \right\rangle = 0$ для всех $f \in U$ и всех $g \in W$ .

?

Задача 8B.20

Проверьте утверждения из примера 8.46.

?

Примечание.

?

Пример 8.46: пусть $U$ — замкнутое подпространство $L^{2}(\mathbb {R})$ , определённое как $U = \left\{ f \in L^{2}(\mathbb {R}) : f(x) = 0 \text{ для почти всех } x < 0\right\}$ . Тогда $U^{\perp } = \left\{ g \in L^{2}(\mathbb {R}) : g(x) = 0 \text{ для почти всех } x \geq 0\right\}$ . Более того, если $h \in L^{2}(\mathbb {R})$ , то $P_{U} h = h \chi_{[0,\infty )}$ и $P_{U^{\perp }} h = h \chi_{(-\infty ,0)}$ .

Задача 8B.21

Покажите, что каждое пространство со скалярным произведением является подпространством некоторого гильбертова пространства.

?

Задача 8B.22

Докажите, что если $V$ — гильбертово пространство и $T: V \rightarrow V$ — ограниченный линейный оператор, размерность образа которого равна $1$ , то существуют $g, h \in V$ такие, что

T f = \left\langle f, g \right\rangle h

для всех $f \in V$ .

?

Задача 8B.23

(a)(b)

?

(a)

Приведите пример банахова пространства $V$ и ограниченного линейного функционала $\varphi$ на $V$ таких, что $\left|\varphi (f)\right| < \left\| \varphi \right\| \left\| f\right\|$ для всех $f \in V \backslash \left\{ 0\right\}$ .

(b)

Покажите, что не существует примера из пункта (a), в котором $V$ является гильбертовым пространством.

Задача 8B.24

(a)(b)

?

(a)

(b)

Приведите пример, показывающий, что утверждение пункта (a) может не выполняться, если предположение о том, что $V$ — гильбертово пространство, заменить предположением, что $V$ — банахово пространство.

Задача 8B.25

(a)(b)

?

(a)

Пусть $\mu$ — конечная мера, $1 \leq p \leq 2$ , а $\varphi$ — ограниченный линейный функционал на $L^{p}(\mu )$ . Докажите, что существует $h \in L^{p^{\prime }}(\mu )$ такой, что $\varphi (f) = \int f h d \mu$ для каждого $f \in L^{p}(\mu )$ .

(b)

То же, что и в пункте (a), но с заменой предположения о том, что $\mu$ — конечная мера, предположением, что $\mu$ — мера, и при условии $1 < p \leq 2$ .

Примечание.

?

См. 7.25, которое вместе с этим упражнением показывает, что сопряжённое пространство к $L^{p}(\mu )$ можно отождествить с $L^{p^{\prime }}(\mu )$ при $1 < p \leq 2$ . См. 9.42 о распространении этого результата на все $p \in (1, \infty )$ .

Задача 8B.26

Докажите, что если $V$ — бесконечномерное гильбертово пространство, то банахово пространство $\mathcal{B}(V, V)$ не сепарабельно.

?

Ортогональность