Гильбертовы пространства

Пусть $V$ обозначает векторное пространство ограниченных непрерывных функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbf{F}$. Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots$ — список рациональных чисел. Для $f, g \in V$ определим

Покажите, что $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ является скалярным произведением на $V$.

Докажите, что если $\mu$ — мера и $f, g \in L^{2}(\mu )$, то

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением и

Найдите $a, b \in \mathbb {R}^{3}$ такие, что $a$ является скалярным кратным $(1,6,3)$, $b$ ортогонален $(1,6,3)$, и $(5,4,-2) = a+b$.

Докажите, что

для всех положительных чисел $a, b, c, d$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b = c = d$.

Докажите, что квадрат среднего значения любого конечного списка вещественных чисел, содержащего хотя бы два различных числа, меньше среднего значения квадратов чисел этого списка.

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением, причём $\left\| f\right\| \leq 1$ и $\left\| g\right\| \leq 1$. Докажите, что

Пусть $a$ и $b$ — ненулевые элементы $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что

где $\theta$ — угол между $a$ и $b$ (рассматривая $a$ как вектор с началом в начале координат и концом в точке $a$, и аналогично для $b$).

Угол между двумя векторами (рассматриваемыми как стрелки с началом в начале координат) в $\mathbb {R}^{2}$ или $\mathbb {R}^{3}$ можно определить геометрически. Однако в $\mathbb {R}^{n}$ при $n > 3$ геометрия не столь наглядна. Поэтому угол между двумя ненулевыми векторами $a, b \in \mathbb {R}^{n}$ определяется как

где мотивировка этого определения исходит из предыдущего упражнения. Объясните, почему неравенство Коши–Шварца необходимо для того, чтобы показать корректность этого определения.

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением. Докажите, что $\left\| f\right\| = \left\| g\right\|$ тогда и только тогда, когда $\left\| sf + tg\right\| = \left\| t f+s g\right\|$ для всех $s, t \in \mathbb {R}$.

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением, причём $\left\| f\right\| = \left\| g\right\| = 1$ и $\left\langle f, g \right\rangle = 1$. Докажите, что $f = g$.

Пусть $f$ и $g$ — элементы вещественного пространства со скалярным произведением. Докажите, что

Пусть $f$ и $g$ — элементы комплексного пространства со скалярным произведением. Докажите, что

Пусть $f, g, h$ — элементы пространства со скалярным произведением. Докажите, что

Докажите, что норма, удовлетворяющая равенству параллелограмма, порождается некоторым скалярным произведением. Иными словами, покажите, что если $V$ — нормированное векторное пространство, норма $\left\| \cdot \right\|$ которого удовлетворяет равенству параллелограмма, то на $V$ существует скалярное произведение $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ такое, что $\left\| f\right\| = \left\langle f, f \right\rangle^{1 / 2}$ для всех $f \in V$.

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $[1, \infty )$.

Пусть $\mu$ — мера. Для $f, g \in L^{2}(\mu )$ определим $\left\langle f, g \right\rangle$ как

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — пространства со скалярным произведением. Покажите, что равенство

задаёт скалярное произведение на $V_{1} \times \cdots \times V_{m}$.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением. Превратим $V \times V$ в пространство со скалярным произведением, как в предыдущем упражнении. Докажите, что функция, сопоставляющая упорядоченной паре $(f, g) \in V \times V$ скалярное произведение $\left\langle f, g \right\rangle \in \mathbf{F}$, является непрерывной функцией из $V \times V$ в $\mathbf{F}$.

Пусть $1 \leq p \leq \infty$.

Используя скалярные произведения, докажите тождество Аполлония: в треугольнике со сторонами длины $a, b$ и $c$ пусть $d$ — длина отрезка, соединяющего середину стороны длины $c$ с противоположной вершиной. Тогда

Покажите, что каждое из пространств со скалярным произведением из примера 8.23 не является гильбертовым пространством.

Докажите или опровергните: пространство со скалярным произведением из упражнения 1 раздела 8A является гильбертовым пространством.

Пусть $V_{1}, V_{2}, \ldots$ — гильбертовы пространства. Пусть

Покажите, что равенство

задаёт скалярное произведение на $V$, превращающее $V$ в гильбертово пространство.

Пусть $V$ — вещественное гильбертово пространство. Комплексификацией $V$ называется комплексное векторное пространство $V_{\mathbb {C}}$, определённое как $V_{\mathbb {C}} = V \times V$, где типичный элемент $V_{\mathbb {C}}$ записывается как $f+i g$ вместо $(f, g)$. Сложение и умножение на скаляр на $V_{\mathbb {C}}$ определяются равенствами

и

для $f_{1}, f_{2}, f, g_{1}, g_{2}, g \in V$ и $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$. Покажите, что

задаёт скалярное произведение на $V_{\mathbb {C}}$, превращающее $V_{\mathbb {C}}$ в комплексное гильбертово пространство.

Докажите, что если $V$ — нормированное векторное пространство, $f \in V$ и $r > 0$, то открытый шар $B(f, r)$ с центром в точке $f$ и радиусом $r$ выпуклый.

Пусть $V$ — нормированное векторное пространство, а $U$ — замкнутое подмножество $V$. Докажите, что $U$ выпукло тогда и только тогда, когда

Докажите, что если $U$ — выпуклое подмножество нормированного векторного пространства, то $\overline{U}$ также выпукло.

Докажите, что если $U$ — выпуклое подмножество нормированного векторного пространства, то внутренность множества $U$ также выпукла.

Пусть $V$ — гильбертово пространство, $U$ — непустое замкнутое выпуклое подмножество $V$, а $g \in U$ — единственный элемент $U$ с наименьшей нормой (получаемый при $f = 0$ в 8.28). Докажите, что

для всех $h \in U$.

Пусть $V$ — гильбертово пространство. Замкнутым полупространством $V$ называется множество вида

для некоторых $h \in V$ и $c \in \mathbb {R}$. Докажите, что каждое замкнутое выпуклое подмножество $V$ является пересечением всех содержащих его замкнутых полупространств.

Приведите пример непустого замкнутого подмножества $U$ гильбертова пространства $\ell^{2}$ и элемента $a \in \ell^{2}$ таких, что не существует $b \in U$ с $\left\| a-b\right\| = \operatorname {distance}(a, U)$.

В вещественном банаховом пространстве $\mathbb {R}^{2}$ с нормой $\left\| (x, y)\right\|_{\infty } = \max \left\{ \left|x\right|,\left|y\right|\right\}$ приведите пример замкнутого выпуклого множества $U \subseteq \mathbb {R}^{2}$ и точки $z \in \mathbb {R}^{2}$ таких, что существует бесконечно много элементов $w \in U$ с $\left\| z-w\right\|_{\infty } = \operatorname {distance}(z, U)$.

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением. Докажите, что $\left\langle f, g \right\rangle = 0$ тогда и только тогда, когда

для всех $\alpha \in \mathbf{F}$.

Пусть $U$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $V$ и $f \in V$. Докажите, что $\left\| P_{U} f\right\| \leq \left\| f\right\|$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $f \in U$.

Пусть $V$ — гильбертово пространство и $P: V \rightarrow V$ — линейное отображение такое, что $P^{2} = P$ и $\left\| P f\right\| \leq \left\| f\right\|$ для каждого $f \in V$. Докажите, что существует замкнутое подпространство $U$ пространства $V$ такое, что $P = P_{U}$.

Пусть $U$ — подпространство гильбертова пространства $V$. Пусть также $W$ — банахово пространство и $S: U \rightarrow W$ — ограниченный линейный оператор. Докажите, что существует ограниченный линейный оператор $T: V \rightarrow W$ такой, что $\left.T\right|_{U} = S$ и $\left\| T\right\| = \left\| S\right\|$.

Пусть $U$ и $W$ — подпространства гильбертова пространства $V$. Докажите, что $\overline{U} = \overline{W}$ тогда и только тогда, когда $U^{\perp } = W^{\perp }$.

Пусть $U$ и $W$ — замкнутые подпространства гильбертова пространства. Докажите, что $P_{U} P_{W} = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\langle f, g \right\rangle = 0$ для всех $f \in U$ и всех $g \in W$.

Проверьте утверждения из примера 8.46.

Покажите, что каждое пространство со скалярным произведением является подпространством некоторого гильбертова пространства.

Докажите, что если $V$ — гильбертово пространство и $T: V \rightarrow V$ — ограниченный линейный оператор, размерность образа которого равна $1$, то существуют $g, h \in V$ такие, что

для всех $f \in V$.

Докажите, что если $V$ — бесконечномерное гильбертово пространство, то банахово пространство $\mathcal{B}(V, V)$ не сепарабельно.

Проверьте, что семейство $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$, определённое в третьем пункте примера 8.51, является ортонормированным семейством в $L^{2}((-\pi , \pi ])$. Помочь должны следующие формулы:

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейство в $\mathbb {R}$ и $a_{k} \geq 0$ для каждого $k \in \Gamma$. Докажите, что неупорядоченная сумма $\sum_{k \in \Gamma } a_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда

Кроме того, докажите, что если $\sum_{k \in \Gamma } a_{k}$ сходится, то она равна указанному выше супремуму.

Пусть $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированное семейство в пространстве со скалярным произведением $V$. Докажите, что если $f \in V$, то множество $\left\{ k \in \Gamma : \left\langle f, e_{k} \right\rangle \neq 0\right\}$ счётно.

Пусть $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ и $\left\{ g_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейства в нормированном векторном пространстве такие, что суммы $\sum_{k \in \Gamma } f_{k}$ и $\sum_{k \in \Gamma } g_{k}$ сходятся. Докажите, что $\sum_{k \in \Gamma }\left(f_{k}+g_{k}\right)$ сходится и

Пусть $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейство в нормированном векторном пространстве такое, что $\sum_{k \in \Gamma } f_{k}$ сходится. Докажите, что если $c \in \mathbf{F}$, то $\sum_{k \in \Gamma }\left(c f_{k}\right)$ сходится и

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейство в $\mathbb {R}$. Докажите, что неупорядоченная сумма $\sum_{k \in \Gamma } a_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда $\sum_{k \in \Gamma }\left|a_{k}\right| < \infty$.

Пусть $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ — семейство в нормированном векторном пространстве $V$ и $f \in V$. Докажите, что неупорядоченная сумма $\sum_{k \in \mathbb {N}} f_{k}$ равна $f$ тогда и только тогда, когда обычная упорядоченная сумма $\sum_{k = 1}^{\infty } f_{p(k)}$ равна $f$ для каждой инъективной и сюръективной функции $p: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$.

Объясните, почему из 8.58 следует, что если $\Gamma$ — конечное множество и $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированное семейство в гильбертовом пространстве $V$, то $\operatorname {span}\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — замкнутое подпространство $V$.

Пусть $V$ — бесконечномерное гильбертово пространство. Докажите, что не существует базиса $V$, являющегося ортонормированным семейством.

Пусть $\mu$ — $\sigma$-конечная мера на $(X, \mathcal{S})$, а $v$ — $\sigma$-конечная мера на $(Y, \mathcal{T})$. Пусть также $\left\{ e_{j}\right\}_{j \in \Omega }$ — ортонормированный базис $L^{2}(\mu )$, а $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированный базис $L^{2}(v)$ для некоторого счётного множества $\Gamma$. Для $j \in \Omega$ и $k \in \Gamma$ определим $g_{j, k}: X \times Y \rightarrow \mathbf{F}$ равенством

Докажите, что $\left\{ g_{j, k}\right\}_{j \in \Omega , k \in \Gamma }$ — ортонормированный базис $L^{2}(\mu \times v)$.

Докажите обратное к равенству Парсеваля. Точнее, докажите, что если $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированное семейство в гильбертовом пространстве $V$ и

для каждого $f \in V$, то $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированный базис $V$.

Докажите, что каждое подпространство сепарабельного нормированного векторного пространства сепарабельно.

Пусть $V$ — бесконечномерное гильбертово пространство. Докажите, что не существует трансляционно-инвариантной меры на борелевских подмножествах $V$, которая придаёт положительную, но конечную меру каждому открытому шару в $V$.

Найдите многочлен $g$ степени не выше $4$, минимизирующий $\int_{0}^{1}\left|x^{5}-g(x)\right|^{2} d x$.

Докажите, что каждое ортонормированное семейство в гильбертовом пространстве можно продолжить до ортонормированного базиса этого гильбертова пространства. Точнее, пусть $\left\{ e_{j}\right\}_{j \in \Omega }$ — ортонормированное семейство в гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что существует множество $\Gamma$, содержащее $\Omega$, и ортонормированный базис $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ пространства $V$ такие, что $f_{j} = e_{j}$ для каждого $j \in \Omega$.

Докажите, что каждое векторное пространство обладает базисом.

Найдите многочлен $g$ степени не выше 4 такой, что

для каждого многочлена $f$ степени не выше 4.

Пусть $G$ — непустое открытое подмножество C. Пространством Бергмана $L_{a}^{2}(G)$ называется множество аналитических функций $f: G \rightarrow \mathbb {C}$ таких, что

где $\lambda_{2}$ — обычная мера Лебега на $\mathbb {R}^{2}$, отождествляемом с $\mathbb {C}$. Для $f, h \in L_{a}^{2}(G)$ определим $\left\langle f, h \right\rangle$ как $\int_{G} f \overline{h} d \lambda_{2}$.

Пусть $\mathbf{D}$ обозначает открытый единичный круг в $\mathbb {C}$; таким образом

Пусть $G$ — кольцо, определённое как

Докажите, что если $f \in L_{a}^{2}(\mathbf{D} \backslash \left\{ 0\right\} )$, то $f$ имеет устранимую особенность в точке 0 (то есть $f$ можно продолжить до функции, аналитической на $\mathbf{D}$).