Банк задач по математике

Задача 3B.1

Приведите пример последовательности $f_{1}, f_{2}, \ldots$ функций из $\mathbb {N}$ в $[0, \infty )$ такой, что

\lim _{k \rightarrow \infty } f_{k}(m) = 0

для каждого $m \in \mathbb {N}$ , но $\lim_{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \mu = 1$ , где $\mu$ — считающая мера на $\mathbb {N}$ .

?

Задача 3B.2

Приведите пример последовательности $f_{1}, f_{2}, \ldots$ непрерывных функций из $\mathbb {R}$ в $[0,1]$ такой, что

\lim _{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = 0

для каждого $x \in \mathbb {R}$ , но $\lim_{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \lambda = \infty$ , где $\lambda$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$ .

?

Задача 3B.3

Пусть $\lambda$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$ , а $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — борелевски измеримая функция такая, что $\int \left|f\right| d \lambda < \infty$ . Определим $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

g(x) = \int _{(-\infty , x)} f d \lambda

Докажите, что $g$ равномерно непрерывна на $\mathbb {R}$ .

?

Задача 3B.4

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, причём $\mu (X) < \infty$ . Пусть $f: X \rightarrow [0, \infty )$ — ограниченная $\mathcal{S}$ -измеримая функция. Докажите, что

\int f d \mu = \inf \left\{ \sum _{j = 1}^{m} \mu \left(A_{j}\right) \sup _{A_{j}} f: A_{1}, \ldots , A_{m} \text{ — } \mathcal{S} \text{-разбиение } X\right\}

(b)

Покажите, что заключение пункта (a) может не выполняться, если предположение об ограниченности $f$ заменить предположением $\int f d \mu < \infty$ .

(c)

Покажите, что заключение пункта (a) может не выполняться, если убрать условие $\mu (X) < \infty$ .

Примечание.

?

Пункт (a) этой задачи показывает, что если бы мы определили верхнюю сумму Лебега, её можно было бы использовать для определения $\int f d \mu$ , когда $f$ ограничена и $\mu (X) < \infty$ . Однако пункты (b) и (c) показывают, что предположения об ограниченности $f$ и о том, что $\mu (X) < \infty$ , необходимы при определении интеграла через приведённое выше равенство. Определение интеграла через нижнюю сумму Лебега не требует этих предположений, что и показывает преимущество использования нижней суммы Лебега.

Задача 3B.5

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$ . Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — борелевски измеримая функция такая, что $\int \left|f\right| d \lambda < \infty$ . Докажите, что

\lim _{k \rightarrow \infty } \int _{[-k, k]} f d \lambda = \int f d \lambda

?

Задача 3B.6

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$ . Приведите пример непрерывной функции $f:[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ , для которой $\lim_{t \rightarrow \infty } \int_{[0, t]} f d \lambda$ существует (в $\mathbb {R}$ ), но $\int_{[0, \infty )} f d \lambda$ не определён.

?

Задача 3B.7

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$ . Приведите пример непрерывной функции $f:(0,1) \rightarrow \mathbb {R}$ , для которой $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{\left(\frac{1}{n}, 1\right)} f d \lambda$ существует (в $\mathbb {R}$ ), но $\int_{(0,1)} f d \lambda$ не определён.

?

Задача 3B.8

Проверьте утверждение из 3.38.

?

Примечание.

?

Обозначения: пусть $a < b$ и $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция. Для $n \in \mathbb {N}$ пусть $P_{n}$ — разбиение, делящее $[a, b]$ на $2^{n}$ подынтервалов равной длины, с соответствующими замкнутыми подынтервалами $I_{1}, \ldots , I_{2^{n}}$ , и пусть

g_{n} = \sum _{j = 1}^{2^{n}}\left(\inf _{I_{j}} f\right)\chi _{I_{j}} \qquad \text{и} \qquad h_{n} = \sum _{j = 1}^{2^{n}}\left(\sup _{I_{j}} f\right)\chi _{I_{j}}.

Тогда $g_{1} \leq g_{2} \leq \cdots$ — возрастающая последовательность, а $h_{1} \geq h_{2} \geq \cdots$ — убывающая последовательность функций на $[a, b]$ . Определим $f_{L}, f_{U}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулами

f_{L}(x) = \lim _{n \rightarrow \infty } g_{n}(x) \qquad \text{и} \qquad f_{U}(x) = \lim _{n \rightarrow \infty } h_{n}(x).

3.38: $\left\{ x \in [a, b]: f_{U}(x) \neq f_{L}(x)\right\} = \left\{ x \in [a, b]: f \text{ не является непрерывной в точке } x\right\}$ .

Задача 3B.9

Проверьте утверждение из примера 3.41.

?

Примечание.

?

Пример 3.41: если $f$ — измеримая функция и $\int \left|f\right|^{p} d\mu < \infty$ при всех $p > 0$ , отсюда не следует, что $f$ ограничена.

Задача 3B.10

(a)(b)

?

(a)

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, причём $\mu (X) < \infty$ . Пусть $p, r$ — положительные числа, $p < r$ . Докажите, что если $f: X \rightarrow [0, \infty )$ — $\mathcal{S}$ -измеримая функция такая, что $\int f^{r} d \mu < \infty$ , то $\int f^{p} d \mu < \infty$ .

(b)

Приведите пример, показывающий, что утверждение пункта (a) может быть неверным без предположения $\mu (X) < \infty$ .

Задача 3B.11

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$ . Докажите, что

\left\{ x \in X: f(x) \neq 0\right\}

является счётным объединением множеств конечной $\mu$ -меры.

?

Задача 3B.12

Пусть

f_{k}(x) = \frac{(1-x)^{k} \cos \frac{k}{x}}{\sqrt{x}}

Докажите, что $\lim_{k \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} f_{k} = 0$ .

?

Задача 3B.13

Приведите пример последовательности неотрицательных борелевски измеримых функций $f_{1}, f_{2}, \ldots$ на $[0,1]$ , для которой выполнены оба следующих условия:

$\lim_{k \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} f_{k} = 0$ ;
$\sup_{k \geq m} f_{k}(x) = \infty$ для каждого $m \in \mathbb {N}$ и каждого $x \in [0,1]$ .

?

Задача 3B.14

(a)(b)(c)

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$ .

?

(a)

Пусть $f(x) = 1 / \sqrt{x}$ . Докажите, что $\int_{[0,1]} f d \lambda = 2$ .

(b)

Пусть $f(x) = 1 /\left(1+x^{2}\right)$ . Докажите, что $\int_{\mathbb {R}} f d \lambda = \pi$ .

(c)

Пусть $f(x) = (\sin x) / x$ . Покажите, что интеграл $\int_{(0, \infty )} f d \lambda$ не определён, но $\lim_{t \rightarrow \infty } \int_{(0, t)} f d \lambda$ существует в $\mathbb {R}$ .

Задача 3B.15

Докажите или приведите контрпример: если $G$ — открытое подмножество $(0,1)$ , то $\chi_{G}$ интегрируема по Риману на $[0,1]$ .

?

Задача 3B.16

(a)(b)

Пусть $f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ .

?

(a)

Для $t \in \mathbb {R}$ определим $f_{t}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $f_{t}(x) = f(x-t)$ . Докажите, что

\lim _{t \rightarrow 0}\left\| f-f_{t}\right\| _{1} = 0

(b)

Для $t > 0$ определим $f_{t}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $f_{t}(x) = f(t x)$ . Докажите, что

\lim _{t \rightarrow 1}\left\| f-f_{t}\right\| _{1} = 0

Пределы интегралов и интегралы пределов