Глава 3

Интегрирование

[37/100%]
Показать
LaTeX
§
3A · Интегрирование относительно меры[21/100%]
Задача 3A.1

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] — S\mathcal{S}-измеримая функция такая, что ∫fdμ<∞\int f d \mu < \infty. Объясните, почему

inf⁡Ef=0 \inf _{E} f = 0

для каждого множества E∈SE \in \mathcal{S} с μ(E)=∞\mu (E) = \infty.

?
Задача 3A.2

Пусть XX — множество, S\mathcal{S} — σ\sigma-алгебра на XX, и c∈Xc \in X. Определим меру Дирака δc\delta_{c} на (X,S)(X, \mathcal{S}) формулой

δc(E)={1 если c∈E0 если c∉E \delta _{c}(E) = \begin{cases} 1 & \text{ если } c \in E \\ 0 & \text{ если } c \notin E\end{cases}

Докажите, что если f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] является S\mathcal{S}-измеримой, то ∫fdδc=f(c)\int f d \delta_{c} = f(c).

?
Примечание.
?

Осторожно: {c}\left\{ c\right\} может не принадлежать S\mathcal{S}.

Задача 3A.3

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] — S\mathcal{S}-измеримая функция. Докажите, что

∫fdμ>0 тогда и только тогда, когда μ({x∈X:f(x)>0})>0 \int f d \mu > 0 \text{ тогда и только тогда, когда } \mu (\left\{ x \in X: f(x) > 0\right\} ) > 0
?
Задача 3A.4

Приведите пример борелевски измеримой функции f:[0,1]→(0,∞)f:[0,1] \rightarrow (0, \infty ), для которой L(f,[0,1])=0L(f,[0,1]) = 0.

?
Примечание.
?

Напомним, что L(f,[0,1])L(f,[0,1]) обозначает нижний интеграл Римана, определённый в разделе 1A. Если λ\lambda — мера Лебега на [0,1][0,1], то предыдущая задача утверждает, что ∫fdλ>0\int f d \lambda > 0 для этой функции ff, чего мы и ожидаем от положительной функции. Таким образом, хотя и L(f,[0,1])L(f,[0,1]), и ∫fdλ\int f d \lambda определяются как супремум приближений снизу, мера Лебега улавливает правильное поведение этой функции ff, а нижний интеграл Римана — нет.

Задача 3A.5

Проверьте утверждение о том, что интегрирование по считающей мере есть суммирование (пример 3.6).

?
Задача 3A.6

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] — S\mathcal{S}-измеримая функция, а PP и P′P^{\prime } — S\mathcal{S}-разбиения множества XX, такие что каждое множество из P′P^{\prime } содержится в некотором множестве из PP. Докажите, что L(f,P)≤L(f,P′)\mathcal{L}(f, P) \leq \mathcal{L}\left(f, P^{\prime }\right).

?
Задача 3A.7

Пусть XX — множество, S\mathcal{S} — σ\sigma-алгебра всех подмножеств XX, а w:X→[0,∞]w: X \rightarrow [0, \infty ] — функция. Определим меру μ\mu на (X,S)(X, \mathcal{S}) формулой

μ(E)=∑x∈Ew(x) \mu (E) = \sum _{x \in E} w(x)

для E⊆XE \subseteq X. Докажите, что если f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] — функция, то

∫fdμ=∑x∈Xw(x)f(x) \int f d \mu = \sum _{x \in X} w(x) f(x)

где бесконечные суммы выше определяются как супремум всех сумм по конечным подмножествам EE (первая сумма) или XX (вторая сумма).

?
Задача 3A.8

Пусть λ\lambda обозначает меру Лебега на R\mathbb {R}. Приведите пример последовательности f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots простых борелевски измеримых функций из R\mathbb {R} в [0,∞)[0, \infty ), для которой lim⁡k→∞fk(x)=0\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = 0 для каждого x∈Rx \in \mathbb {R}, но lim⁡k→∞∫fkdλ=1\lim_{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \lambda = 1.

?
Задача 3A.9

Пусть μ\mu — мера на измеримом пространстве (X,S)(X, \mathcal{S}), а f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] — S\mathcal{S}-измеримая функция. Определим ν:S→[0,∞]\nu : \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty ] формулой

ν(A)=∫χAfdμ \nu (A) = \int \chi _{A} f d \mu

для A∈SA \in \mathcal{S}. Докажите, что ν\nu является мерой на (X,S)(X, \mathcal{S}).

?
Задача 3A.10

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots — последовательность неотрицательных S\mathcal{S}-измеримых функций. Определим f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] формулой f(x)=∑k=1∞fk(x)f(x) = \sum_{k = 1}^{\infty } f_{k}(x). Докажите, что

∫fdμ=∑k=1∞∫fkdμ \int f d \mu = \sum _{k = 1}^{\infty } \int f_{k} d \mu
?
Задача 3A.11

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots — S\mathcal{S}-измеримые функции из XX в R\mathbb {R} такие, что ∑k=1∞∫∣fk∣dμ<∞\sum_{k = 1}^{\infty } \int \left|f_{k}\right| d \mu < \infty. Докажите, что существует такое E∈SE \in \mathcal{S}, что μ(X\E)=0\mu (X \backslash E) = 0 и lim⁡k→∞fk(x)=0\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = 0 для каждого x∈Ex \in E.

?
Задача 3A.12

Покажите, что существует борелевски измеримая функция f:R→(0,∞)f: \mathbb {R} \rightarrow (0, \infty ), для которой ∫χIfdλ=∞\int \chi_{I} f d \lambda = \infty для каждого непустого открытого интервала I⊆RI \subseteq \mathbb {R}, где λ\lambda обозначает меру Лебега на R\mathbb {R}.

?
Задача 3A.13

Приведите пример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости (3.11) может не выполняться, если отбросить предположение о неотрицательности функций f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots.

?
Задача 3A.14

Приведите пример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости может не выполняться, если предположение о возрастающей последовательности функций заменить предположением об убывающей последовательности функций.

?
Задача 3A.15

Пусть λ\lambda — мера Лебега на R\mathbb {R}, а f:R→[−∞,∞]f: \mathbb {R} \rightarrow [-\infty , \infty ] — борелевски измеримая функция такая, что ∫fdλ\int f d \lambda определён.

?
(a)

Для t∈Rt \in \mathbb {R} определим ft:R→[−∞,∞]f_{t}: \mathbb {R} \rightarrow [-\infty , \infty ] формулой ft(x)=f(x−t)f_{t}(x) = f(x-t). Докажите, что ∫ftdλ=∫fdλ\int f_{t} d \lambda = \int f d \lambda для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

(b)

Для t∈Rt \in \mathbb {R} определим ft:R→[−∞,∞]f_{t}: \mathbb {R} \rightarrow [-\infty , \infty ] формулой ft(x)=f(tx)f_{t}(x) = f(t x). Докажите, что ∫ftdλ=1∣t∣∫fdλ\int f_{t} d \lambda = \frac{1}{\left|t\right|} \int f d \lambda для всех t∈R\{0}t \in \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\}.

Задача 3A.16

Пусть S\mathcal{S} и T\mathcal{T} — σ\sigma-алгебры на множестве XX, причём S⊆T\mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}. Пусть μ1\mu_{1} — мера на (X,S)(X, \mathcal{S}), μ2\mu_{2} — мера на (X,T)(X, \mathcal{T}), и μ1(E)=μ2(E)\mu_{1}(E) = \mu_{2}(E) для всех E∈SE \in \mathcal{S}. Докажите, что если f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] является S\mathcal{S}-измеримой, то ∫fdμ1=∫fdμ2\int f d \mu_{1} = \int f d \mu_{2}.

?
Задача 3A.17

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots — последовательность неотрицательных S\mathcal{S}-измеримых функций на XX. Определим функцию f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] формулой f(x)=lim inf⁡k→∞fk(x)f(x) = \liminf_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x).

?
(a)

Покажите, что ff является S\mathcal{S}-измеримой функцией.

(b)

Докажите, что

∫fdμ≤lim inf⁡k→∞∫fkdμ \int f d \mu \leq \liminf _{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \mu
(c)

Приведите пример, показывающий, что неравенство в пункте (b) может быть строгим.

Задача 3A.18

Приведите пример последовательности x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \ldots вещественных чисел такой, что

lim⁡n→∞∑k=1nxk существует в R \lim _{n \rightarrow \infty } \sum _{k = 1}^{n} x_{k} \text{ существует в } \mathbb {R}

но ∫xdμ\int x d \mu не определён, где μ\mu — считающая мера на N\mathbb {N}, а xx — функция из N\mathbb {N} в R\mathbb {R}, определённая формулой x(k)=xkx(k) = x_{k}.

?
Задача 3A.19

Покажите, что если (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а f:X→[0,∞)f: X \rightarrow [0, \infty ) — S\mathcal{S}-измеримая функция, то

μ(X)inf⁡Xf≤∫fdμ≤μ(X)sup⁡Xf \mu (X) \inf _{X} f \leq \int f d \mu \leq \mu (X) \sup _{X} f
?
Задача 3A.20

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots — монотонная (то есть возрастающая или убывающая) последовательность S\mathcal{S}-измеримых функций. Определим f:X→[−∞,∞]f: X \rightarrow [-\infty , \infty ] формулой

f(x)=lim⁡k→∞fk(x) f(x) = \lim _{k \rightarrow \infty } f_{k}(x)

Докажите, что если ∫∣f1∣dμ<∞\int \left|f_{1}\right| d \mu < \infty, то

lim⁡k→∞∫fkdμ=∫fdμ \lim _{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \mu = \int f d \mu
?
Задача 3A.21

Анри Лебег писал следующее о своём методе интегрирования: Мне нужно уплатить некоторую сумму денег, которую я собрал в кармане. Я вынимаю из кармана купюры и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в котором они попадаются мне под руку, пока не наберу нужную сумму. Это риманов интеграл. Но я могу поступить иначе. Вынув все деньги из кармана, я раскладываю купюры и монеты по одинаковым достоинствам, а затем выплачиваю кредитору получившиеся стопки одну за другой. Это мой интеграл.

Используя утверждение 3.15, объясните, что имел в виду Лебег, и объясните, почему интегрирование функции по мере можно рассматривать как разбиение области значений функции, в отличие от интегрирования по Риману, которое опирается на разбиение области определения функции.

?
Примечание.
?

3.15 (интеграл линейной комбинации характеристических функций): Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, E1,…,En∈SE_{1}, \ldots , E_{n} \in \mathcal{S} и c1,…,cn∈[0,∞]c_{1}, \ldots , c_{n} \in [0, \infty ]. Тогда ∫(∑k=1nckχEk)dμ=∑k=1nckμ(Ek)\int \left(\sum_{k = 1}^{n} c_{k} \chi_{E_{k}}\right) d \mu = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} \mu (E_{k}).

Приведённая выше цитата взята со страницы 796 книги The Princeton Companion to Mathematics под редакцией Тимоти Гауэрса.

§
3B · Пределы интегралов и интегралы пределов[16/100%]
Задача 3B.1

Приведите пример последовательности f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots функций из N\mathbb {N} в [0,∞)[0, \infty ) такой, что

lim⁡k→∞fk(m)=0 \lim _{k \rightarrow \infty } f_{k}(m) = 0

для каждого m∈Nm \in \mathbb {N}, но lim⁡k→∞∫fkdμ=1\lim_{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \mu = 1, где μ\mu — считающая мера на N\mathbb {N}.

?
Задача 3B.2

Приведите пример последовательности f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots непрерывных функций из R\mathbb {R} в [0,1][0,1] такой, что

lim⁡k→∞fk(x)=0 \lim _{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = 0

для каждого x∈Rx \in \mathbb {R}, но lim⁡k→∞∫fkdλ=∞\lim_{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \lambda = \infty, где λ\lambda — мера Лебега на R\mathbb {R}.

?
Задача 3B.3

Пусть λ\lambda — мера Лебега на R\mathbb {R}, а f:R→Rf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — борелевски измеримая функция такая, что ∫∣f∣dλ<∞\int \left|f\right| d \lambda < \infty. Определим g:R→Rg: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} формулой

g(x)=∫(−∞,x)fdλ g(x) = \int _{(-\infty , x)} f d \lambda

Докажите, что gg равномерно непрерывна на R\mathbb {R}.

?
Задача 3B.4
?
(a)

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, причём μ(X)<∞\mu (X) < \infty. Пусть f:X→[0,∞)f: X \rightarrow [0, \infty ) — ограниченная S\mathcal{S}-измеримая функция. Докажите, что

∫fdμ=inf⁡{∑j=1mμ(Aj)sup⁡Ajf:A1,…,Am — S-разбиение X} \int f d \mu = \inf \left\{ \sum _{j = 1}^{m} \mu \left(A_{j}\right) \sup _{A_{j}} f: A_{1}, \ldots , A_{m} \text{ — } \mathcal{S} \text{-разбиение } X\right\}
(b)

Покажите, что заключение пункта (a) может не выполняться, если предположение об ограниченности ff заменить предположением ∫fdμ<∞\int f d \mu < \infty.

(c)

Покажите, что заключение пункта (a) может не выполняться, если убрать условие μ(X)<∞\mu (X) < \infty.

Примечание.
?

Пункт (a) этой задачи показывает, что если бы мы определили верхнюю сумму Лебега, её можно было бы использовать для определения ∫fdμ\int f d \mu, когда ff ограничена и μ(X)<∞\mu (X) < \infty. Однако пункты (b) и (c) показывают, что предположения об ограниченности ff и о том, что μ(X)<∞\mu (X) < \infty, необходимы при определении интеграла через приведённое выше равенство. Определение интеграла через нижнюю сумму Лебега не требует этих предположений, что и показывает преимущество использования нижней суммы Лебега.

Задача 3B.5

Пусть λ\lambda обозначает меру Лебега на R\mathbb {R}. Пусть f:R→Rf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — борелевски измеримая функция такая, что ∫∣f∣dλ<∞\int \left|f\right| d \lambda < \infty. Докажите, что

lim⁡k→∞∫[−k,k]fdλ=∫fdλ \lim _{k \rightarrow \infty } \int _{[-k, k]} f d \lambda = \int f d \lambda
?
Задача 3B.6

Пусть λ\lambda обозначает меру Лебега на R\mathbb {R}. Приведите пример непрерывной функции f:[0,∞)→Rf:[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}, для которой lim⁡t→∞∫[0,t]fdλ\lim_{t \rightarrow \infty } \int_{[0, t]} f d \lambda существует (в R\mathbb {R}), но ∫[0,∞)fdλ\int_{[0, \infty )} f d \lambda не определён.

?
Задача 3B.7

Пусть λ\lambda обозначает меру Лебега на R\mathbb {R}. Приведите пример непрерывной функции f:(0,1)→Rf:(0,1) \rightarrow \mathbb {R}, для которой lim⁡n→∞∫(1n,1)fdλ\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{\left(\frac{1}{n}, 1\right)} f d \lambda существует (в R\mathbb {R}), но ∫(0,1)fdλ\int_{(0,1)} f d \lambda не определён.

?
Задача 3B.8

Проверьте утверждение из 3.38.

?
Примечание.
?

Обозначения: пусть a<ba < b и f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченная функция. Для n∈Nn \in \mathbb {N} пусть PnP_{n} — разбиение, делящее [a,b][a, b] на 2n2^{n} подынтервалов равной длины, с соответствующими замкнутыми подынтервалами I1,…,I2nI_{1}, \ldots , I_{2^{n}}, и пусть

gn=∑j=12n(inf⁡Ijf)χIjиhn=∑j=12n(sup⁡Ijf)χIj. g_{n} = \sum _{j = 1}^{2^{n}}\left(\inf _{I_{j}} f\right)\chi _{I_{j}} \qquad \text{и} \qquad h_{n} = \sum _{j = 1}^{2^{n}}\left(\sup _{I_{j}} f\right)\chi _{I_{j}}.

Тогда g1≤g2≤⋯g_{1} \leq g_{2} \leq \cdots — возрастающая последовательность, а h1≥h2≥⋯h_{1} \geq h_{2} \geq \cdots — убывающая последовательность функций на [a,b][a, b]. Определим fL,fU:[a,b]→Rf_{L}, f_{U}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} формулами

fL(x)=lim⁡n→∞gn(x)иfU(x)=lim⁡n→∞hn(x). f_{L}(x) = \lim _{n \rightarrow \infty } g_{n}(x) \qquad \text{и} \qquad f_{U}(x) = \lim _{n \rightarrow \infty } h_{n}(x).

3.38: {x∈[a,b]:fU(x)≠fL(x)}={x∈[a,b]:f не является непрерывной в точке x}\left\{ x \in [a, b]: f_{U}(x) \neq f_{L}(x)\right\} = \left\{ x \in [a, b]: f \text{ не является непрерывной в точке } x\right\}.

Задача 3B.9

Проверьте утверждение из примера 3.41.

?
Примечание.
?

Пример 3.41: если ff — измеримая функция и ∫∣f∣pdμ<∞\int \left|f\right|^{p} d\mu < \infty при всех p>0p > 0, отсюда не следует, что ff ограничена.

Задача 3B.10
?
(a)

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, причём μ(X)<∞\mu (X) < \infty. Пусть p,rp, r — положительные числа, p<rp < r. Докажите, что если f:X→[0,∞)f: X \rightarrow [0, \infty ) — S\mathcal{S}-измеримая функция такая, что ∫frdμ<∞\int f^{r} d \mu < \infty, то ∫fpdμ<∞\int f^{p} d \mu < \infty.

(b)

Приведите пример, показывающий, что утверждение пункта (a) может быть неверным без предположения μ(X)<∞\mu (X) < \infty.

Задача 3B.11

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а f∈L1(μ)f \in \mathcal{L}^{1}(\mu ). Докажите, что

{x∈X:f(x)≠0} \left\{ x \in X: f(x) \neq 0\right\}

является счётным объединением множеств конечной μ\mu-меры.

?
Задача 3B.12

Пусть

fk(x)=(1−x)kcos⁡kxx f_{k}(x) = \frac{(1-x)^{k} \cos \frac{k}{x}}{\sqrt{x}}

Докажите, что lim⁡k→∞∫01fk=0\lim_{k \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} f_{k} = 0.

?
Задача 3B.13

Приведите пример последовательности неотрицательных борелевски измеримых функций f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots на [0,1][0,1], для которой выполнены оба следующих условия:

  • lim⁡k→∞∫01fk=0\lim_{k \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} f_{k} = 0;

  • sup⁡k≥mfk(x)=∞\sup_{k \geq m} f_{k}(x) = \infty для каждого m∈Nm \in \mathbb {N} и каждого x∈[0,1]x \in [0,1].

?
Задача 3B.14

Пусть λ\lambda обозначает меру Лебега на R\mathbb {R}.

?
(a)

Пусть f(x)=1/xf(x) = 1 / \sqrt{x}. Докажите, что ∫[0,1]fdλ=2\int_{[0,1]} f d \lambda = 2.

(b)

Пусть f(x)=1/(1+x2)f(x) = 1 /\left(1+x^{2}\right). Докажите, что ∫Rfdλ=π\int_{\mathbb {R}} f d \lambda = \pi.

(c)

Пусть f(x)=(sin⁡x)/xf(x) = (\sin x) / x. Покажите, что интеграл ∫(0,∞)fdλ\int_{(0, \infty )} f d \lambda не определён, но lim⁡t→∞∫(0,t)fdλ\lim_{t \rightarrow \infty } \int_{(0, t)} f d \lambda существует в R\mathbb {R}.

Задача 3B.15

Докажите или приведите контрпример: если GG — открытое подмножество (0,1)(0,1), то χG\chi_{G} интегрируема по Риману на [0,1][0,1].

?
Задача 3B.16

Пусть f∈L1(R)f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}).

?
(a)

Для t∈Rt \in \mathbb {R} определим ft:R→Rf_{t}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} формулой ft(x)=f(x−t)f_{t}(x) = f(x-t). Докажите, что

lim⁡t→0∥f−ft∥1=0 \lim _{t \rightarrow 0}\left\| f-f_{t}\right\| _{1} = 0
(b)

Для t>0t > 0 определим ft:R→Rf_{t}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} формулой ft(x)=f(tx)f_{t}(x) = f(t x). Докажите, что

lim⁡t→1∥f−ft∥1=0 \lim _{t \rightarrow 1}\left\| f-f_{t}\right\| _{1} = 0