1B

Интеграл Римана недостаточно хорош

[5/0%]
LaTeX
Задача 1B.1

Определим f:[0,1]→Rf:[0,1] \rightarrow \mathbb {R} следующим образом:

f(a)={0 если a иррационально 1n если a рационально и n — наименьшее натуральное число  такое, что a=mn при некотором целом m f(a) = \begin{cases} 0 & \text{ если } a \text{ иррационально } \\ \frac{1}{n} & \text{ если } a \text{ рационально и } n \text{ — наименьшее натуральное число } \\ & \text{ такое, что } a = \frac{m}{n} \text{ при некотором целом } m\end{cases}

Покажите, что ff интегрируема по Риману, и вычислите ∫01f\int_{0}^{1} f.

?
Задача 1B.2

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченная функция. Докажите, что ff интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда

L(−f,[a,b])=−L(f,[a,b]) L(-f,[a, b]) = -L(f,[a, b])
?
Задача 1B.3

Пусть f,g:[a,b]→Rf, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченные функции. Докажите, что

L(f,[a,b])+L(g,[a,b])≤L(f+g,[a,b]) L(f,[a, b])+L(g,[a, b]) \leq L(f+g,[a, b])

и

U(f+g,[a,b])≤U(f,[a,b])+U(g,[a,b]) U(f+g,[a, b]) \leq U(f,[a, b])+U(g,[a, b])
?
Задача 1B.4

Приведите пример ограниченных функций f,g:[0,1]→Rf, g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R} таких, что

L(f,[0,1])+L(g,[0,1])<L(f+g,[0,1]) L(f,[0,1])+L(g,[0,1]) < L(f+g,[0,1])

и

U(f+g,[0,1])<U(f,[0,1])+U(g,[0,1]) U(f+g,[0,1]) < U(f,[0,1])+U(g,[0,1])
?
Задача 1B.5

Приведите пример последовательности непрерывных вещественнозначных функций f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots на [0,1][0,1] и непрерывной вещественнозначной функции ff на [0,1][0,1] таких, что

f(x)=lim⁡k→∞fk(x) f(x) = \lim _{k \rightarrow \infty } f_{k}(x)

для каждого x∈[0,1]x \in [0,1], но

∫01f≠lim⁡k→∞∫01fk \int _{0}^{1} f \neq \lim _{k \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} f_{k}
?