Глава 1

Интеграл Римана

[19/0%]
Показать
LaTeX
§
1A · Обзор: интеграл Римана[14/0%]
Задача 1A.1

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченная функция такая, что

L(f,P,[a,b])=U(f,P,[a,b]) L(f, P,[a, b]) = U(f, P,[a, b])

для некоторого разбиения PP отрезка [a,b][a, b]. Докажите, что ff — постоянная функция на [a,b][a, b].

?
Задача 1A.2

Пусть a≤s<t≤ba \leq s < t \leq b. Определим f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} следующим образом:

f(x)={1 если s<x<t0 иначе  f(x) = \begin{cases} 1 & \text{ если } s < x < t \\ 0 & \text{ иначе }\end{cases}

Докажите, что ff интегрируема по Риману на [a,b][a, b] и что ∫abf=t−s\int_{a}^{b} f = t-s.

?
Задача 1A.3

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченная функция. Докажите, что ff интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда для каждого ε>0\varepsilon > 0 существует разбиение PP отрезка [a,b][a, b] такое, что

U(f,P,[a,b])−L(f,P,[a,b])<ε. U(f, P,[a, b])-L(f, P,[a, b]) < \varepsilon .
?
Задача 1A.4

Пусть f,g:[a,b]→Rf, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} интегрируемы по Риману. Докажите, что f+gf+g интегрируема по Риману на [a,b][a, b] и

∫ab(f+g)=∫abf+∫abg. \int _{a}^{b}(f+g) = \int _{a}^{b} f+\int _{a}^{b} g.
?
Задача 1A.5

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} интегрируема по Риману. Докажите, что функция −f-f интегрируема по Риману на [a,b][a, b] и

∫ab(−f)=−∫abf \int _{a}^{b}(-f) = -\int _{a}^{b} f
?
Задача 1A.6

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} интегрируема по Риману. Пусть g:[a,b]→Rg:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — функция такая, что g(x)=f(x)g(x) = f(x) для всех, кроме конечного числа, x∈[a,b]x \in [a, b]. Докажите, что gg интегрируема по Риману на [a,b][a, b] и

∫abg=∫abf \int _{a}^{b} g = \int _{a}^{b} f
?
Задача 1A.7

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченная функция. Для n∈Nn \in \mathbb {N} обозначим через PnP_{n} разбиение, делящее [a,b][a, b] на 2n2^{n} промежутков одинаковой длины. Докажите, что

L(f,[a,b])=lim⁡n→∞L(f,Pn,[a,b]) и U(f,[a,b])=lim⁡n→∞U(f,Pn,[a,b]) L(f,[a, b]) = \lim _{n \rightarrow \infty } L\left(f, P_{n},[a, b]\right) \text{ и } U(f,[a, b]) = \lim _{n \rightarrow \infty } U\left(f, P_{n},[a, b]\right)
?
Задача 1A.8

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} интегрируема по Риману. Докажите, что

∫abf=lim⁡n→∞b−an∑j=1nf(a+j(b−a)n). \int _{a}^{b} f = \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{b-a}{n} \sum _{j = 1}^{n} f\left(a+\frac{j(b-a)}{n}\right).
?
Задача 1A.9

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} интегрируема по Риману. Докажите, что если c,d∈Rc, d \in \mathbb {R} и a≤c<d≤ba \leq c < d \leq b, то ff интегрируема по Риману на [c,d][c, d].

?
Примечание.
?

Утверждение, что ff интегрируема по Риману на [c,d][c, d], означает, что ff с областью определения, ограниченной до [c,d][c, d], интегрируема по Риману.

Задача 1A.10

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченная функция и c∈(a,b)c \in (a, b). Докажите, что ff интегрируема по Риману на [a,b][a, b] тогда и только тогда, когда ff интегрируема по Риману на [a,c][a, c] и ff интегрируема по Риману на [c,b][c, b]. Более того, докажите, что если эти условия выполнены, то

∫abf=∫acf+∫cbf \int _{a}^{b} f = \int _{a}^{c} f+\int _{c}^{b} f
?
Задача 1A.11

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} интегрируема по Риману. Определим F:[a,b]→RF:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} следующим образом:

F(t)={0 если t=a∫atf если t∈(a,b] F(t) = \begin{cases} 0 & \text{ если } t = a \\ \int _{a}^{t} f & \text{ если } t \in (a, b]\end{cases}

Докажите, что FF непрерывна на [a,b][a, b].

?
Задача 1A.12

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} интегрируема по Риману. Докажите, что ∣f∣\left|f\right| интегрируема по Риману и что

∣∫abf∣≤∫ab∣f∣ \left|\int _{a}^{b} f\right| \leq \int _{a}^{b}\left|f\right|
?
Задача 1A.13

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — возрастающая функция, то есть c,d∈[a,b]c, d \in [a, b] и c<dc < d влечёт f(c)≤f(d)f(c) \leq f(d). Докажите, что ff интегрируема по Риману на [a,b][a, b].

?
Задача 1A.14

Пусть f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots — последовательность интегрируемых по Риману функций на [a,b][a, b] такая, что f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots равномерно сходится на [a,b][a, b] к функции f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}. Докажите, что ff интегрируема по Риману и

∫abf=lim⁡n→∞∫abfn \int _{a}^{b} f = \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{a}^{b} f_{n}
?
§
1B · Интеграл Римана недостаточно хорош[5/0%]
Задача 1B.1

Определим f:[0,1]→Rf:[0,1] \rightarrow \mathbb {R} следующим образом:

f(a)={0 если a иррационально 1n если a рационально и n — наименьшее натуральное число  такое, что a=mn при некотором целом m f(a) = \begin{cases} 0 & \text{ если } a \text{ иррационально } \\ \frac{1}{n} & \text{ если } a \text{ рационально и } n \text{ — наименьшее натуральное число } \\ & \text{ такое, что } a = \frac{m}{n} \text{ при некотором целом } m\end{cases}

Покажите, что ff интегрируема по Риману, и вычислите ∫01f\int_{0}^{1} f.

?
Задача 1B.2

Пусть f:[a,b]→Rf:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченная функция. Докажите, что ff интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда

L(−f,[a,b])=−L(f,[a,b]) L(-f,[a, b]) = -L(f,[a, b])
?
Задача 1B.3

Пусть f,g:[a,b]→Rf, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R} — ограниченные функции. Докажите, что

L(f,[a,b])+L(g,[a,b])≤L(f+g,[a,b]) L(f,[a, b])+L(g,[a, b]) \leq L(f+g,[a, b])

и

U(f+g,[a,b])≤U(f,[a,b])+U(g,[a,b]) U(f+g,[a, b]) \leq U(f,[a, b])+U(g,[a, b])
?
Задача 1B.4

Приведите пример ограниченных функций f,g:[0,1]→Rf, g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R} таких, что

L(f,[0,1])+L(g,[0,1])<L(f+g,[0,1]) L(f,[0,1])+L(g,[0,1]) < L(f+g,[0,1])

и

U(f+g,[0,1])<U(f,[0,1])+U(g,[0,1]) U(f+g,[0,1]) < U(f,[0,1])+U(g,[0,1])
?
Задача 1B.5

Приведите пример последовательности непрерывных вещественнозначных функций f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots на [0,1][0,1] и непрерывной вещественнозначной функции ff на [0,1][0,1] таких, что

f(x)=lim⁡k→∞fk(x) f(x) = \lim _{k \rightarrow \infty } f_{k}(x)

для каждого x∈[0,1]x \in [0,1], но

∫01f≠lim⁡k→∞∫01fk \int _{0}^{1} f \neq \lim _{k \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} f_{k}
?