Банк задач по математике

Задача 8.2.1

Если $A \in \mathbb {R}^{n \times n}$ , то существует ортогональная матрица $Q \in \mathbb {R}^{n \times n}$ такая, что

Q^{T}AQ = \begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} & & R_{1m} \\ 0 & R_{22} & & R_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & R_{mn} \end{pmatrix}

где каждая $R_{ii}$ — это либо матрица $1 \times 1$ , либо матрица $2 \times 2$ , имеющая комплексно-сопряжённые собственные значения. Найдите $Q$ для матрицы $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} .

Затем вычислите $Q^{T}AQ$ .

?

Задача 8.2.2

Найдите косинус-синусное разложение матриц

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i & i \\ i & -i \end{pmatrix} , \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i & i \\ i & -i \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i & i \\ i & -i \end{pmatrix} .

?

Задача 8.2.3

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим матрицы $4 \times 4$

\Omega = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} , \qquad \widetilde{\Omega } = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Можно ли найти матрицы перестановок $4 \times 4$ $P, Q$ такие, что $\Omega = P \widetilde{\Omega } Q$ ?

(ii)

Рассмотрим матрицы $2n \times 2n$

\Omega = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 & \\ 0 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ & & & \ddots & & & \\ 0 & 0 & 0 & & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} , \qquad \widetilde{\Omega } = \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix} .

Можно ли найти матрицы перестановок $2n \times 2n$ $P, Q$ такие, что $\Omega = P \widetilde{\Omega } Q$ ?

Задача 8.2.4

(i)(ii)

?

(i)

Дана матрица $3 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .

Найдите сингулярное разложение матрицы $A$ .

(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Найдите сингулярное разложение матрицы $2 \times 3$

X(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) & 0 \\ 0 & \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \end{pmatrix} .

Задача 8.2.5

Разложением Холецкого положительно полуопределённой матрицы $M$ называется разложение в произведение нижней треугольной матрицы $L$ и её сопряжённо-транспонированной $L^{*}$ , т.е. $M = LL^{*}$ . Найдите разложение Холецкого для матрицы плотности (чистого состояния)

\rho = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ i \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} (1 \ \ i \ \ -i) \equiv \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & i & -i \\ -i & 1 & -1 \\ i & -1 & 1 \end{pmatrix} .

?

Задача 8.2.6

Покажите, что (косинус-синусное разложение)

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

?

Задача 8.2.7

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$ . Матрицу $U$ всегда можно диагонализовать унитарной матрицей $V$ так, что

U = V \begin{pmatrix} e^{i\theta _{1}} & & 0 \\ & \vdots & \\ 0 & & e^{i\theta _{n}} \end{pmatrix} V^{*}

где $e^{i\theta_{j}}$ , $\theta_{j} \in [0, 2\pi )$ — собственные значения $U$ . Пусть $n = 2$ и

U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .

Таким образом, собственные значения $U$ равны 1 и $-1$ . Покажите, что

U = V \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} V^{*} \quad \text{где} \quad V = V^{*} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} .

?

Задача 8.2.8

Если $A \in SL(2, \mathbb {R})$ , то она может быть единственным образом записана в виде

\begin{pmatrix} \cos (\phi ) & \sin (\phi ) \\ -\sin (\phi ) & \cos (\phi ) \end{pmatrix} \exp \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} .

Найдите это разложение для ненормальной матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

?

Дополнительные задачи