Разложения матриц

Найдите $LU$-разложение матрицы $3 \times 3$

Треугольные матрицы $L$ и $U$ не определяются однозначно матричным уравнением $A = LU$. Эти две матрицы вместе содержат $n^{2}+n$ неизвестных элементов. Таким образом, сравнивая элементы слева и справа в $A = LU$, мы получаем $n^{2}$ уравнений и $n^{2}+n$ неизвестных. Нам требуется ещё $n$ условий, чтобы однозначно определить матрицы. Существуют три дополнительных набора из $n$ условий, которые обычно используются. Это метод Дулиттла с $\ell_{jj} = 1$, $j = 1, \ldots , n$; метод Холецкого с $\ell_{jj} = u_{jj}$, $j = 1, \ldots , n$; метод Краута с $u_{jj} = 1$, $j = 1, \ldots , n$. Примените метод Краута.

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Рассмотрим $LU$-разложение $A = LU$, где $L$ — унитарная (с единицами на диагонали) нижнетреугольная матрица, а $U$ — верхнетреугольная матрица. $LDU$-разложение определяется как $A = LDU$, где $L$ — нижнетреугольная матрица с единицами на диагонали, $D$ — диагональная, а $U$ — верхнетреугольная матрица с единицами на диагонали. Пусть

Найдите $LDU$-разложение через $LU$-разложение.

Найдите $QR$-разложение матрицы $3 \times 3$

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$. Ортогональная матрица $Q$ такая, что $\operatorname {det}\left(Q\right) = 1$, называется матрицей вращения. Пусть $1 \leq p < r \leq 3$ и $\phi$ — вещественное число. Ортогональная матрица $3 \times 3$ $Q_{pr}(\phi ) = (q_{ij})_{1 \leq i, j \leq 3}$, заданная как

называется плоским вращением на угол $\phi$ в плоскости span$(e_{p}, e_{r})$. Пусть $Q = (q_{ij})_{1 \leq i, j \leq 3}$ — матрица вращения. Покажите, что существуют углы $\phi \in [0, \pi )$, $\theta , \psi \in (-\pi , \pi ]$, называемые углами Эйлера матрицы $Q$, такие что

Рассмотрим квадратную невырожденную матрицу $A$ над $\mathbb {C}$, т.е. $A^{-1}$ существует. Теорема о полярном разложении утверждает, что $A$ можно записать в виде $A = UH$, где $U$ — унитарная матрица, а $H$ — эрмитова положительно определённая матрица. Покажите, что $A$ имеет единственное полярное разложение.

Для любой матрицы $A$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ существуют положительно полуопределённая матрица $H$ и унитарная матрица такие, что $A = HU$. Если $A$ невырожденна, то $H$ положительно определена, а $U$ и $H$ единственны.

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $m \times n$ над $\mathbb {R}$, т.е. $A \in \mathbb {R}^{m \times n}$. Тогда $A$ можно записать в виде

где $U$ — ортогональная матрица размера $m \times m$, $V$ — ортогональная матрица размера $n \times n$, $\Sigma$ — диагональная матрица размера $m \times n$ с неотрицательными элементами, а верхний индекс $T$ обозначает транспонирование. Это называется сингулярным разложением. Алгоритм нахождения сингулярного разложения следующий.

1. Найти собственные значения $\lambda_{j}$ ($j = 1, \ldots , n$) матрицы $A^{T}A$ размера $n \times n$. Расположить собственные значения $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ в порядке убывания.

2. Найти число ненулевых собственных значений матрицы $A^{T}A$. Обозначим это число $r$.

3. Найти ортогональные собственные векторы $\overrightarrow {v}_{j}$ матрицы $A^{T}A$, соответствующие полученным собственным значениям, и расположить их в том же порядке, образуя векторы-столбцы матрицы $V$ размера $n \times n$.

4. Образовать диагональную матрицу $\Sigma$ размера $m \times n$, поместив на её главную диагональ квадратные корни $\sigma_{j} := \sqrt{\lambda_{j}}$ из $p = \min (m, n)$ первых собственных значений матрицы $A^{T}A$, найденных в пункте 1), в порядке убывания.

5. Найти первые $r$ векторов-столбцов матрицы $U$ размера $m \times m$

6. Добавить к матрице $U$ остальные $m-r$ векторов, используя процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Имеем $A \overrightarrow {v}_{j} = \sigma_{j} \overrightarrow {u}_{j}$, $A^{T} \overrightarrow {u}_{j} = \sigma_{j} \overrightarrow {v}_{j}$ и, следовательно, $A^{T}A \overrightarrow {v}_{j} = \sigma_{j}^{2} \overrightarrow {v}_{j}$, $AA^{T} \overrightarrow {u}_{j} = \sigma_{j}^{2} \overrightarrow {u}_{j}$. Применить алгоритм к матрице

Найти сингулярное разложение $A = U \Sigma V^{T}$ матрицы (вектор-строки) $A = (2 \ 1 \ -2)$.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Предположим, что $A^{-1}$ существует. Дано сингулярное разложение матрицы $A$, т.е. $A = UWV^{T}$. Найти сингулярное разложение для $A^{-1}$.

Найти псевдообратные матрицы Мура-Пенроуза для

применяя сингулярное разложение.

Любую унитарную $2^{n} \times 2^{n}$ матрицу $U$ можно разложить в виде

где $U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}$ — унитарные матрицы размера $2^{n-1} \times 2^{n-1}$, а $C$ и $S$ — диагональные матрицы размера $2^{n-1} \times 2^{n-1}$

где $\alpha_{j} \in \mathbb {R}$. Такое разложение называется косинус-синус разложением.

Найдите косинус-синус разложение $4 \times 4$ унитарной матрицы (матрица Белла)

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Тогда существует унитарная матрица $n \times n$ $(U^{*} = U^{-1})$ такая, что

где $T$ — матрица $n \times n$ верхнетреугольного вида. Уравнение (1) называется разложением Шура. Диагональные элементы $T$ являются собственными значениями $A$. Заметим, что такое разложение не единственно. Итеративный алгоритм нахождения разложения Шура для матрицы $n \times n$ выглядит следующим образом.

На каждом шаге он строит матрицы $U_{k}$ и $T_{k}$ ($k = 1, \ldots , n-1$) со следующими свойствами: каждая $U_{k}$ унитарна, а каждая $T_{k}$ имеет только нули ниже главной диагонали в своих первых $k$ столбцах. $T_{n-1}$ имеет верхнетреугольный вид, а $U = U_{1}U_{2} \cdots U_{n-1}$ — унитарная матрица, преобразующая $A$ в $T_{n-1}$. Положим $T_{0} = A$. $k$-й шаг итерации выглядит следующим образом.

Шаг 1. Обозначим через $A_{k}$ подматрицу размера $(n-k+1) \times (n-k+1)$ в нижней правой части $T_{k-1}$.

Шаг 2. Определим собственное значение и соответствующий нормированный собственный вектор для $A_{k}$.

Шаг 3. Построим унитарную матрицу $N_{k}$, первым столбцом которой служит нормированный собственный вектор, найденный на шаге 2.

Шаг 4. При $k = 1$ положим $U_{1} = N_{1}$, при $k > 1$ положим

где $I_{k-1}$ — единичная матрица размера $(k-1) \times (k-1)$.

Шаг 5. Вычислим $T_{k} = U_{k}^{*}T_{k-1}U_{k}$.

Примените алгоритм к симметричной матрице $3 \times 3$

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Тогда существует унитарная матрица $Q$ размера $n \times n$ такая, что

где $D = \operatorname {diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n})$ — диагональная матрица, составленная из собственных значений $A$, а $N$ — строго верхнетреугольная матрица (т.е. $N$ имеет нулевые элементы на диагонали). Говорят, что матрица $Q$ дает разложение Шура матрицы $A$. Пусть

Покажите, что $Q$ дает разложение Шура матрицы $A$.

Будем говорить, что матрица является верхнетреугольной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны 0, и что она строго верхнетреугольная, если вдобавок все элементы на главной диагонали равны 1. Любую обратимую вещественную матрицу $A$ размера $n \times n$ можно записать в виде произведения трех вещественных матриц $n \times n$

где $N$ строго верхнетреугольная, $D$ диагональная с положительными элементами, а $O$ ортогональная. Это известно как разложение Ивасавы матрицы $A$. Разложение единственно. Иными словами, если $A = O'D'N'$, где $O'$, $D'$ и $N'$ ортогональна, диагональна с положительными элементами и строго верхнетреугольна соответственно, то $O' = O$, $D = D'$ и $N' = N$.

Пусть $A$ — унитарная матрица размера $n \times n$. Пусть $P$ — обратимая матрица размера $n \times n$. Пусть $B := AP$. Покажите, что $PB^{-1}$ унитарна.

Покажите, что любая матрица $A$ размера $2 \times 2$ с определителем 1 является произведением трёх элементарных матриц. Это означает, что матрицу $A$ можно записать в виде

Почти любую матрицу $A$ размера $2 \times 2$ можно разложить (гауссово разложение) в виде

Найдите разложение матрицы

Рассмотрим симметричную матрицу $A$ размера $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ и ортогональную матрицу $O$ соответственно

Вычислите $\widetilde{A} = O^{-1}AO$. Можно ли найти такой угол $\phi$, что $\widetilde{a}_{12} = \widetilde{a}_{21} = 0$?

Пусть $A$ — матрица размера $m \times m$. Пусть $B$ — матрица размера $n \times n$. Пусть $X$ — матрица размера $m \times n$, такая что

Мы можем найти невырожденные матрицы $V$ и $W$, такие что $V^{-1}AV = J_{A}$, $W^{-1}BW = J_{B}$, где $J_{A}$, $J_{B}$ — жордановы канонические формы $A$ и $B$ соответственно. Покажите, что из (1) следует $J_{A}Y = YJ_{B}$, где $Y := V^{-1}XW$.

Запишите матрицу

в виде произведения двух матриц $A$ и $B$ размера $4 \times 4$, таких что каждая из этих матриц имеет ровно два ненулевых элемента в каждой строке.

Матрица $A$ размера $n \times n$ называется персимметричной, если $J_{n}AJ_{n} = A^{T}$, и кососимметрично-персимметричной, если $J_{n}AJ_{n} = A^{T}$, где $J_{n}$ — матрица перестановки (обмена) размера $n \times n$, то есть матрица с единицами на побочной диагонали и нулями во всех остальных местах. Следовательно, $J_{n}^{2} = I_{n}$. Пусть $B$ — симметричная матрица размера $n \times n$.

Разложите матрицу $3 \times 3$

в сумму персимметричной и косоперсимметричной матриц.

Если $A \in \mathbb {R}^{n \times n}$, то существует ортогональная матрица $Q \in \mathbb {R}^{n \times n}$ такая, что

где каждая $R_{ii}$ — это либо матрица $1 \times 1$, либо матрица $2 \times 2$, имеющая комплексно-сопряжённые собственные значения. Найдите $Q$ для матрицы $3 \times 3$

Затем вычислите $Q^{T}AQ$.

Найдите косинус-синусное разложение матриц

Разложением Холецкого положительно полуопределённой матрицы $M$ называется разложение в произведение нижней треугольной матрицы $L$ и её сопряжённо-транспонированной $L^{*}$, т.е. $M = LL^{*}$. Найдите разложение Холецкого для матрицы плотности (чистого состояния)

Покажите, что (косинус-синусное разложение)

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$. Матрицу $U$ всегда можно диагонализовать унитарной матрицей $V$ так, что

где $e^{i\theta_{j}}$, $\theta_{j} \in [0, 2\pi )$ — собственные значения $U$. Пусть $n = 2$ и

Таким образом, собственные значения $U$ равны 1 и $-1$. Покажите, что

Если $A \in SL(2, \mathbb {R})$, то она может быть единственным образом записана в виде

Найдите это разложение для ненормальной матрицы $2 \times 2$