Банк задач по математике

Задача 4.2.1

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Каковы условия на $A$ , $B$ , при которых $\operatorname {tr}(AB) = \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B)$ ?

?

Задача 4.2.2

Дана матрица $2 \times 2$ $M$ над $\mathbb {C}$ . Что можно сказать об определителе $M \otimes I_{2} - I_{2} \otimes M$ ?

?

Задача 4.2.3

(i)(ii)

?

(i)

Каково условие на $\alpha \in \mathbb {R}$ , при котором

F(\alpha ) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha \\ \alpha & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha & 1 \end{pmatrix}

обратима?

(ii)

Каково условие на $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ , при котором

G(\alpha ,\beta ) = \begin{pmatrix} 1 & \beta & \beta & \beta \\ \beta & 1 & \alpha & \alpha \\ \beta & \alpha & 1 & \alpha \\ \beta & \alpha & \alpha & 1 \end{pmatrix}

обратима?

Задача 4.2.4

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Тогда $\operatorname {tr}([A,B]) = 0$ . Рассмотрим $n=3$ и

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

с $\operatorname {tr}(C) = 0$ . Постройте матрицы $3 \times 3$ $A$ и $B$ такие, что $[A,B] = C$ .

?

Задача 4.2.5

Рассмотрим $k$ векторов

\overrightarrow {v}_{j} = \begin{pmatrix} v_{1j} \\ v_{2j} \\ \vdots \\ v_{nj} \end{pmatrix} \qquad j = 1, \ldots , k

в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ . Параллелепипед, определяемый этими векторами, имеет $k$ -мерный объём

\sqrt{\operatorname {det}\left(V^{T}V\right)}

где $V$ — матрица $n \times k$ , столбцами которой являются $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \ldots , \overrightarrow {v}_{k}$ . Примените это к двум векторам в $\mathbb {R}^{3}$

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

?

Задача 4.2.6

Уравнение гиперплоскости, проходящей через $n$ точек $\overrightarrow {x}_{1}, \overrightarrow {x}_{2}, \ldots , \overrightarrow {x}_{n}$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ , имеет вид

\operatorname {det}\left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \overrightarrow {x} & \overrightarrow {x}_{1} & \overrightarrow {x}_{2} & \ldots & \overrightarrow {x}_{n} \end{array}\right) = 0.

Пусть $n=3$ . Примените это к трём векторам в $\mathbb {R}^{3}$

\overrightarrow {x}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {x}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {x}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

?

Задача 4.2.7

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ . Покажите, что

[A,B]_{+} \equiv AB+BA \equiv (\operatorname {tr}(AB)-\operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B))I_{2} + \operatorname {tr}(A)B + \operatorname {tr}(B)A.

Можно ли распространить это тождество на матрицы $3 \times 3$ ?

?

Задача 4.2.8

?

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $BA^{*} = \operatorname {tr}(BA^{*})A$ .

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ такие, что $A^{2} = \operatorname {tr}(A)A$ . Вычислите $\operatorname {det}\left(A\right)$ и $\operatorname {det}\left(A^{2}\right)$ для такой матрицы.

(iii)

Пусть $B$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $B^{2} = I_{2}$ и, следовательно, $\operatorname {tr}(B^{2}) = 2$ . Что можно сказать о следе матрицы $B$ ?

(iv)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $C$ такие, что $\operatorname {tr}(C^{2})-(\operatorname {tr}(C))^{2} = 0$ .

(v)

Пусть $D$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Найдите условие на $D$ , при котором $\operatorname {det}\left(D\right) = \operatorname {tr}(D^{2})$ . Найдите условие на $D$ , при котором $\operatorname {det}\left(D \otimes D\right) = \operatorname {tr}(D \otimes D)$ .

Задача 4.2.9

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ . Пусть $U$ , $V$ — унитарные матрицы $n \times n$ . Покажите, что

\operatorname {tr}((U \otimes V)(A \otimes B)(U^{*} \otimes V^{*})) = \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B)

применяя циклическую инвариантность и $UU^{*} = I_{n}$ , $VV^{*} = I_{n}$ .

?

Задача 4.2.10

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ с $\operatorname {tr}(A) = 0$ и $\operatorname {tr}(B) = 0$ . Покажите, что условие на $A$ и $B$ , при котором $\operatorname {tr}(AB) = 0$ , задаётся выражением

2a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{21}b_{12} = 0.

?

Задача 4.2.11

Пусть $A$ , $B$ — ненулевые матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ с $\operatorname {det}\left(A \otimes B\right) = 0$ . Можем ли мы заключить, что и $A$ , и $B$ необратимы?

?

Задача 4.2.12

Рассмотрим симметричную ленточную матрицу $n \times n$ ( $n \geq 3$ )

M_{n} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \end{pmatrix}

с элементами в поле $\mathbb {F}_{2}$ . Покажите, что

\operatorname {det}\left(M_{n}\right) = \operatorname {det}\left(M_{n-1}\right) - \operatorname {det}\left(M_{n-2}\right)

с начальными условиями $\operatorname {det}\left(M_{3}\right) = \operatorname {det}\left(M_{4}\right) = 1$ . Покажите, что решение имеет вид

\operatorname {det}\left(M_{n}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cos \left(\frac{n\pi }{3} - \frac{\pi }{6}\right) \pmod{2}.

?

Задача 4.2.13

Рассмотрим ненормальные матрицы

A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $(\operatorname {det}\left(A_{2}^{*}A_{2}\right))^{1/2}$ и $(\operatorname {det}\left(A_{3}^{*}A_{3}\right))^{1/2}$ . Обобщите на $n$ измерений.

?

Задача 4.2.14

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ с $\operatorname {det}\left(A\right) = -1$ . Покажите, что $\operatorname {det}\left(A^{-1}\right) = -1$ .

?

Задача 4.2.15

Пусть $n$ чётно. Рассмотрим кососимметричную матрицу $n \times n$ $A$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $B$ — симметричная матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ с элементами $B = (b_{jk})$ , заданными как $b_{jk} = b_{j}b_{k}$ ( $b_{j}, b_{k} \in \mathbb {R}$ ). Покажите, что

\operatorname {det}\left(A+B\right) = \operatorname {det}\left(A\right).

Заметьте, что $\operatorname {det}\left(B\right) = 0$ . Пусть $S_{n}$ — симметрическая группа. Тогда

\operatorname {det}\left(A+B\right) = \sum _{\sigma \in S_{n}} (-1)^{\sigma } (a_{1\sigma (1)}+b_{1}b_{\sigma (1)})(a_{2\sigma (2)}+b_{2}b_{\sigma (2)}) \cdots (a_{n\sigma (n)}+b_{n}b_{\sigma (n)}).

?

Задача 4.2.16

Пусть $h>0$ и $b>a$ . Рассмотрим матрицу

M(a,b,h) = \begin{pmatrix} 1 & ah \\ 1 & bh \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(M\right) = h(b-a) > 0$ и обратная матрица к $M$ имеет вид

M^{-1}(a,b,h) = \begin{pmatrix} b/(b-a) & -a/(b-a) \\ -1/((b-a)h) & 1/((b-a)h) \end{pmatrix}.

?

Задача 4.2.17

Матрицы перестановок $n \times n$ образуют группу относительно умножения матриц. Покажите, что $\operatorname {det}\left(I_{n}-P\right) = 0$ для любой матрицы перестановки $n \times n$ .

?

Задача 4.2.18

Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v}, \overrightarrow {w}$ — вектор-столбцы в $\mathbb {R}^{3}$ . Составим матрицу $3 \times 3$

M = \begin{pmatrix} \overrightarrow {u} & \overrightarrow {v} & \overrightarrow {w} \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(M\right) = (\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) \cdot \overrightarrow {w}$ .

?

Задача 4.2.19

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $n \geq 2$ . Рассмотрим матрицу $n \times n$

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \ldots & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \ldots & 1 & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n & 1 & 2 & \ldots & n-2 & n-1 \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(A\right) = (-1)^{n(n-1)/2} \frac{1}{2}(n+1)n^{n-1}$ .

(ii)

Пусть $n \geq 2$ . Рассмотрим матрицу $n \times n$

M(x) = \begin{pmatrix} c_{1} & x & x & \ldots & x & x \\ x & c_{2} & x & \ldots & x & x \\ x & x & c_{3} & \ldots & x & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x & x & x & \ldots & x & c_{n} \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(M(x)\right) = (-1)^{n}(P(x)-xdP(x)/dx)$ , где

P(x) = (x-c_{1})(x-c_{2}) \cdots (x-c_{n}).

Задача 4.2.20

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; \operatorname {tr}(C) = 1, \; \operatorname {tr}(C^{2}) = 3.

Покажите, что $\operatorname {tr}(C^{k}) = \operatorname {tr}(C^{k-1}) + \operatorname {tr}(C^{k-2})$ при $k=3,4,\ldots$

?

Задача 4.2.21

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ . Предположим, что

\operatorname {tr}(A^{j}) = 0 \qquad \text{при} \quad j=1,\ldots ,n.

Можем ли мы заключить, что $\operatorname {det}\left(A\right) = 0$ ?

?

Задача 4.2.22

(i)(ii)

Пусть $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Определим

c_{j} = \operatorname {tr}(A_{j}), \quad j=1,2,3; \qquad c_{jk} = \operatorname {tr}(A_{j}A_{k}), \quad j,k=1,2,3.

?

(i)

По заданным коэффициентам $c_{j}$ , $c_{jk}$ восстановите матрицы $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ .

(ii)

Примените результат к случаю $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$

c_{11}=0, \; c_{12}=1, \; c_{13}=0, \; c_{21}=1, \; c_{22}=0, \; c_{23}=0, \; c_{31}=0, \; c_{32}=0, \; c_{33}=2

и покажите, что

A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Задача 4.2.23

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Пусть $B$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Даны

d_{1} = \operatorname {det}\left(B\right), \quad d_{2} = \operatorname {det}\left(B^{2}\right), \quad d_{3} = \operatorname {det}\left(B^{3}\right), \quad d_{4} = \operatorname {det}\left(B^{4}\right).

Можем ли мы восстановить $B$ по $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ ? Зависит ли это от того, является ли матрица $B$ нормальной?

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ над $\mathbb {C}$ такие, что

\operatorname {tr}(A_{1}) = \operatorname {tr}(A_{2}) = \operatorname {tr}(A_{3}) = 0, \quad \operatorname {tr}(A_{1}A_{2}) = \operatorname {tr}(A_{2}A_{3}) = \operatorname {tr}(A_{3}A_{1}) = 0.

(iii)

Найдите все матрицы $3 \times 3$ $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ над $\mathbb {C}$ такие, что

\operatorname {tr}(B_{1}) = \operatorname {tr}(B_{2}) = \operatorname {tr}(B_{3}) = 0, \quad \operatorname {tr}(B_{1}B_{2}) = \operatorname {tr}(B_{2}B_{3}) = \operatorname {tr}(B_{3}B_{1}) = 0.

(iv)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $C$ такие, что $\operatorname {det}\left(C\right) = 1$ , $\operatorname {tr}(C) = 0$ . Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

Задача 4.2.24

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $B$ обратима. Покажите, что $\operatorname {det}\left(I_{n}+BAB^{-1}\right) = \operatorname {det}\left(I_{n}+A\right)$ .

?

Задача 4.2.25

Матрица $n \times n$ $A$ называется идемпотентной, если $A^{2} = A$ . Покажите, что $\operatorname {rk}\left(A\right) = \operatorname {tr}(A)$ .

?

Задача 4.2.26

Пусть $A$ — вещественная симметричная положительно определённая матрица $n \times n$ . Тогда

\ln (\operatorname {det}\left(A\right)) \leq \operatorname {tr}(A) - n.

Для единичной матрицы $I_{n}$ получаем равенство. Покажите, что для матрицы

A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

имеем $n=2$ , $\operatorname {det}\left(A\right) = 2$ , $\operatorname {tr}(A) = 3$ и $\ln (2) < 1$ .

?

Задача 4.2.27

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\overrightarrow {a}_{j}$ , $\overrightarrow {b}_{j}$ , $\overrightarrow {c}_{j}$ ( $j=1,\ldots ,n$ ) — $j$ -й столбец матриц $A$ , $B$ , $C$ соответственно. Покажите, что если для некоторого $k \in \left\{ 1,\ldots ,n\right\}$

\overrightarrow {c}_{k} = \overrightarrow {a}_{k} + \overrightarrow {b}_{k}

и

\overrightarrow {c}_{j} = \overrightarrow {a}_{j} = \overrightarrow {b}_{j}, \qquad j=1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,n

то $\operatorname {det}\left(C\right) = \operatorname {det}\left(A\right)+\operatorname {det}\left(B\right)$ .

?

Задача 4.2.28

Рассмотрим многочлены Лежандра $p_{j}$ ( $j=0,1,\ldots$ ) с

p_{0}(x) = 1, \qquad p_{1}(x) = x, \qquad p_{2}(x) = \frac{1}{2}(3x^{2}-1),

p_{3}(x) = \frac{1}{2}(5x^{3}-3x), \qquad p_{4}(x) = \frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3).

Покажите, что

\operatorname {det}\left(\begin{array}{lll} p_{0}(x) & p_{1}(x) & p_{2}(x) \\ p_{1}(x) & p_{2}(x) & p_{3}(x) \\ p_{2}(x) & p_{3}(x) & p_{4}(x) \end{array}\right) = (1-x^{2})^{3} \begin{pmatrix} p_{0}(0) & 0 & p_{2}(0) \\ 0 & p_{2}(0) & 0 \\ p_{2}(0) & 0 & p_{4}(0) \end{pmatrix}.

Заметьте, что (опуская $x$ )

\operatorname {det}\left(\begin{array}{lll} p_{0} & p_{1} & p_{2} \\ p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ p_{2} & p_{3} & p_{4} \end{array}\right)

= p_{0}(p_{2}p_{4}-(p_{3})^{2}) - p_{1}(p_{1}p_{4}-p_{2}p_{3} + p_{2}(p_{1}p_{3}-(p_{2})^{2})

и $p_{0}(0) = 1$ , $p_{1}(0) = 0$ , $p_{2}(0) = -1/2$ , $p_{3}(0) = 0$ , $p_{4}(0) = 3/8$ .

?

Задача 4.2.29

Пусть $A$ — диагональная матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $B$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $b_{jj} = 0$ для всех $j=1,\ldots ,n$ . Можем ли мы заключить, что все диагональные элементы коммутатора $[A,B]$ равны $0$ ?

?

Задача 4.2.30

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ с $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ и $\operatorname {det}\left(B\right) = 1$ . Это означает, что $A$ , $B$ — элементы группы Ли $SL(n,\mathbb {R})$ . Можем ли мы заключить, что

\operatorname {tr}(AB) + \operatorname {tr}(AB^{-1}) = \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B)?

?

Задача 4.2.31

Пусть $H$ — эрмитова матрица $n \times n$ . Покажите, что $\operatorname {det}\left(H+iI_{n}\right) \neq 0$ .

?

Задача 4.2.32

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Вычислите $r = \operatorname {tr}(A^{2}) - (\operatorname {tr}(A))^{2}$ . Покажите, что условия на $a_{jk}$ , при которых $r=0$ , задаются равенством $a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22}$ , т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) = 0$ .

?

Задача 4.2.33

Рассмотрим треугольник, вложенный в $\mathbb {R}^{3}$ . Пусть $\overrightarrow {v}_{j} = (x_{j}, y_{j}, z_{j})$ ( $j=1,2,3$ ) — координаты вершин. Тогда площадь $A$ треугольника задаётся выражением

A = \frac{1}{2}\left\| (\overrightarrow {v}_{2}-\overrightarrow {v}_{1}) \times (\overrightarrow {v}_{1}-\overrightarrow {v}_{3})\right\| = \frac{1}{2}\left\| (\overrightarrow {v}_{3}-\overrightarrow {v}_{1}) \times (\overrightarrow {v}_{3}-\overrightarrow {v}_{2})\right\|

где $\times$ обозначает векторное произведение, а $\left\| \cdot \right\|$ обозначает евклидову норму. Площадь $A$ треугольника также можно найти по формуле

\frac{1}{2}\sqrt{\left(D\begin{pmatrix} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{pmatrix}\right)^{2} + \left(D\begin{pmatrix} y_{1} & z_{1} & 1 \\ y_{2} & z_{2} & 1 \\ y_{3} & z_{3} & 1 \end{pmatrix}\right)^{2} + \left(D\begin{pmatrix} z_{1} & x_{1} & 1 \\ z_{2} & x_{2} & 1 \\ z_{3} & x_{3} & 1 \end{pmatrix}\right)^{2}}

где $D$ обозначает определитель. Рассмотрим

\overrightarrow {v}_{1} = (1,0,0), \qquad \overrightarrow {v}_{2} = (0,1,0), \qquad \overrightarrow {v}_{3} = (0,0,1).

Найдите площадь треугольника, используя оба выражения. Обсудите. Треугольник может быть одной из граней тетраэдра.

?

Задача 4.2.34

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$ $M$ с элементами

(M)_{jk} = x_{k}^{j-1}, \qquad j,k = 1,2,3.

Найдите определитель этой матрицы.

?

Задача 4.2.35

Перманент и определитель матрицы $M$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ определяются соответственно как

\operatorname {perm}(M) := \sum _{\pi \in S_{n}} \left(\prod _{j=1}^{n} M_{j,\pi (j)}\right), \qquad \operatorname {det}\left(M\right) := \sum _{\pi \in S_{n}} (-1)^{\operatorname {sgn}(\pi )} \left(\prod _{j=1}^{n} M_{j,\pi (j)}\right)

где $S_{n}$ обозначает симметрическую группу на множестве из $n$ символов. Для матрицы $A$ размера $n \times n$ и матрицы $B$ размера $m \times m$ известно, что

\operatorname {det}\left(A \otimes B\right) \equiv (\operatorname {det}\left(A\right))^{m}(\operatorname {det}\left(B\right))^{n}.

Изучите $\operatorname {perm}(A \otimes B)$ .

?

Задача 4.2.36

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — положительно определённые матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что $\operatorname {tr}(A+B) \geq \operatorname {tr}(A)$ .

(ii)

Пусть $C$ , $D$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Верно ли, что $\operatorname {tr}(CC^{*}DD^{*}) \leq \operatorname {tr}(CC^{*})\operatorname {tr}(DD^{*})$ ?

Задача 4.2.37

Пусть $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $D$ обратима. Рассмотрим матрицу $M$ размера $(2n) \times (2n)$

M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(M\right) = \operatorname {det}\left(AD-BD^{-1}CD\right)$ , используя тождество

\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{n} & 0_{n} \\ -D^{-1}C & I_{n} \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} A-BD^{-1}C & B \\ 0_{n} & D \end{pmatrix}.

?

Задача 4.2.38

Пусть $\mu \in \mathbb {R}$ и $A$ — матрица размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что определитель матрицы размера $4 \times 4$

\begin{pmatrix} -\mu I_{2} & A \\ A^{T} & -\mu I_{2} \end{pmatrix}

содержит только чётные степени $\mu$ .

?

Задача 4.2.39

Рассмотрим обратимую матрицу $A$ размера $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.

Найдите матрицу перестановки $P$ такую, что $PA^{-1}P^{-1} = A$ .

?

Задача 4.2.40

Пусть $x, \epsilon \in \mathbb {R}$ . Покажите, что определитель симметричной матрицы $A(x,\epsilon )$ размера $n \times n$

A(x,\epsilon ) = \begin{pmatrix} x+\epsilon & x & & x \\ x & x+\epsilon & & x \\ & & \ddots & \\ x & x & & x+\epsilon \end{pmatrix}

задаётся формулой $\operatorname {det}\left(A(x,\epsilon )\right) = \epsilon^{n-1}(nx+\epsilon )$ .

?

Задача 4.2.41

Покажите, что определитель матрицы $\Omega$ размера $2n \times 2n$

\Omega = \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \otimes I_{n}

задаётся формулой $\operatorname {det}\left(\Omega \right) = \left(\operatorname {det}\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)\right)^{n} (\operatorname {det}\left(I_{n}\right))^{2} = 1$ .

?

Задача 4.2.42

Дана $2 \times 2 \times 2$ гиперматрица $A = (a_{jk\ell })$ , $j,k,\ell = 0,1$ и матрица $S$ размера $2 \times 2$

S = \begin{pmatrix} s_{00} & s_{01} \\ s_{10} & s_{11} \end{pmatrix}.

Умножение $AS$ , которое снова является гиперматрицей размера $2 \times 2$ , определяется как

(AS)_{jk\ell } := \sum _{r=0}^{1} a_{jkr}s_{r\ell }.

Предположим, что $\operatorname {det}\left(S\right) = 1$ , т.е. $S \in SL(2,\mathbb {C})$ . Покажите, что $\operatorname {Det}(AS) = \operatorname {Det}(A)$ . Это типичная задача для применения компьютерной алгебры.

?

Задача 4.2.43

Символ Леви-Чивиты (также называемый вполне антисимметричным постоянным тензором) определяется как

\epsilon _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}} := \begin{cases} +1, & \text{если } j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n} \text{ — чётная перестановка } 12\ldots n \\ -1, & \text{если } j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n} \text{ — нечётная перестановка } 12\ldots n \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases}

Пусть $\delta_{jk}$ — символ Кронекера. Покажите, что

\epsilon _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}} \epsilon _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}} = \operatorname {det}\left(\begin{array}{llll} \delta _{j_{1}k_{1}} & \delta _{j_{2}k_{1}} & & \delta _{j_{n}k_{1}} \\ \delta _{j_{1}k_{2}} & \delta _{j_{2}k_{2}} & & \delta _{j_{n}k_{2}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \delta _{j_{1}k_{n}} & \delta _{j_{2}k_{n}} & \ldots & \delta _{j_{n}k_{n}} \end{array}\right).

?

Дополнительные задачи