Задачи и решения по вводному и продвинутому матричному исчислению

Глава 4

Следы, определители и гипердетерминанты

[125/66%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

4.1 · Задачи главы

4.2 · Дополнительные задачи

4.1 · Задачи главы[82/100%]

Задача 4.1.1

Рассмотрим матрицу Адамара

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите $\operatorname {tr}(U)$ , $\operatorname {tr}(U^{2})$ , $\operatorname {det}\left(U\right)$ и $\operatorname {det}\left(U^{2}\right)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.2

Рассмотрим ненормальную матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можем ли мы найти обратимую матрицу $Q$ размера $2 \times 2$ такую, что $Q^{-1}AQ$ — диагональная матрица?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.3

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Предположим, что $\operatorname {tr}(A) = 0$ и $\operatorname {tr}(A^{2}) = 0$ . Можем ли мы заключить, что $A$ — нулевая матрица $2 \times 2$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.4

Для целого $n \geq 3$ положим $\theta := 2\pi /n$ . Найдите определитель матрицы $A+I_{n}$ размера $n \times n$ , где матрица $A = (a_{jk})$ имеет элементы $a_{jk} = \cos (j\theta +k\theta )$ для всех $j, k = 1, \ldots , n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.5

Пусть $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ — вещественные числа. Является ли матрица $2 \times 2$

U = e^{i\alpha } \begin{pmatrix} e^{-i\beta /2} & 0 \\ 0 & e^{i\beta /2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos (\gamma /2) & -\sin (\gamma /2) \\ \sin (\gamma /2) & \cos (\gamma /2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-i\delta /2} & 0 \\ 0 & e^{i\delta /2} \end{pmatrix}

унитарной? Чему равен определитель $U$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.6

Пусть $A$ и $B$ — две матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Если существует невырожденная матрица $X$ размера $n \times n$ такая, что $A = XBX^{-1}$ , то говорят, что $A$ и $B$ — подобные матрицы. Покажите, что спектры (собственные значения) двух подобных матриц равны.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.7

Пусть $A$ и $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что матрицы $AB$ и $BA$ имеют одно и то же множество собственных значений.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.8

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ . Предположим, что $[A,B] = A$ . Что можно сказать о следе $A$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.9

Матрица $A$ размера $n \times n$ называется приводимой, если существует такая матрица перестановки $P$ , что

P^{T}AP = \begin{pmatrix} B & C \\ 0 & D \end{pmatrix}

где $B$ и $D$ — квадратные матрицы порядка не менее $1$ . Матрица $A$ размера $n \times n$ называется неприводимой, если она не является приводимой. Покажите, что примарная матрица перестановки размера $n \times n$

A := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}

неприводима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.10

(i)(ii)(iii)

Определим линейную биекцию $h$ между $\mathbb {R}^{4}$ и $\overrightarrow {H}(2)$ — множеством комплексных эрмитовых матриц $2 \times 2$ — формулой

(t,x,y,z) \rightarrow \begin{pmatrix} t+x & y-iz \\ y+iz & t-x \end{pmatrix}.

Обозначим матрицу в правой части через $H$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что эту матрицу можно записать как линейную комбинацию матриц Паули $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\sigma_{3}$ и единичной матрицы $I_{2}$ .

(ii)

Найдите обратное отображение.

(iii)

Вычислите определитель эрмитовой матрицы $H$ размера $2 \times 2$ . Обсудите результат.

Задача 4.1.11

Пусть $A$ — обратимая матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A$ можно записать в виде $A = B+iB$ , где $B$ имеет только вещественные коэффициенты. Покажите, что $B^{-1}$ существует и

A^{-1} = \frac{1}{2}(B^{-1}-iB^{-1}).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.12

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ — обратимая матрица. Предположим, что $A = A^{-1}$ . Какие значения может принимать $\operatorname {det}\left(A\right)$ ?

(ii)

Пусть $B$ — кососимметрическая матрица над $\mathbb {R}$ , т.е. $A^{T} = -B$ , и порядка $2n-1$ . Покажите, что $\operatorname {det}\left(B\right) = 0$ .

(iii)

Покажите, что если квадратная матрица $C$ эрмитова, т.е. $C^{*} = C$ , то $\operatorname {det}\left(C\right)$ — вещественное число.

Задача 4.1.13

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $H := A+iB$ . Выразите $\operatorname {det}\left(H\right)$ в виде суммы определителей.

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $H := A+iB$ . Предположим, что $H$ эрмитова. Покажите, что $\operatorname {det}\left(H\right) = \operatorname {det}\left(A\right)-\operatorname {det}\left(B\right)$ .

Задача 4.1.14

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — матрицы $n \times n$ . Вычислите

\operatorname {det}\left(\begin{array}{ll} A & 0_{n} \\ C & B \end{array}\right).

(ii)

Пусть $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — матрицы $n \times n$ . Предположим, что $DC = CD$ , т.е. $C$ и $D$ коммутируют, и $\operatorname {det}\left(D\right) \neq 0$ . Рассмотрим матрицу $M$ размера $(2n) \times (2n)$

M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}.

Покажите, что

\operatorname {det}\left(M\right) = \operatorname {det}\left(AD-BC\right). \tag {1}

Мы знаем, что

\operatorname {det}\left(\begin{array}{ll} U & 0_{n} \\ X & Y \end{array}\right) = \operatorname {det}\left(U\right)\operatorname {det}\left(Y\right), \qquad \operatorname {det}\left(\begin{array}{ll} U & V \\ 0_{n} & Y \end{array}\right) = \operatorname {det}\left(U\right)\operatorname {det}\left(Y\right) \tag {2}

где $U$ , $V$ , $X$ , $Y$ — матрицы $n \times n$ .

Задача 4.1.15

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ . Имеем тождество

\operatorname {det}\left(\begin{array}{ll} A & B \\ B & A \end{array}\right) \equiv \operatorname {det}\left(A+B\right)\operatorname {det}\left(A-B\right).

Используйте это тождество, чтобы вычислить определитель левой части через правую часть, где

A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.16

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ . Покажите, что

\operatorname {tr}((A+B)(A-B)) \equiv \operatorname {tr}(A^{2})-\operatorname {tr}(B^{2}).

(ii)

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — матрицы $n \times n$ . Покажите, что $\operatorname {tr}([A,B]C) = \operatorname {tr}(A[B,C])$ .

Задача 4.1.17

Пусть $A$ , $B$ — положительно определённые матрицы $n \times n$ . Покажите, что $\operatorname {tr}(AB) > 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.18

Пусть

A = \begin{pmatrix} \dfrac {1}{x_{1}+y_{1}} & \dfrac {1}{x_{1}+y_{2}} \\ ]2ex] \dfrac {1}{x_{2}+y_{1}} & \dfrac {1}{x_{2}+y_{2}} \end{pmatrix} \[ где мы предполагаем, что $x_{i}+y_{j} \neq 0$ для $i,j = 1,2$. Покажите, что \] \operatorname {det}\left(A\right) = \frac{(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}{(x_{1}+y_{1})(x_{1}+y_{2})(x_{2}+y_{1})(x_{2}+y_{2})}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.19

(i)(ii)

Для матрицы $3 \times 3$ можно использовать правило Сарруса для вычисления определителя. Пусть

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.

Допишем первые два столбца ещё раз справа от матрицы, получив

\begin{pmatrix} {[ccc|cc]} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}.

Теперь рассмотрим диагонали. Произведения элементов на диагоналях, идущих вниз-вправо, берутся со знаком плюс, а идущих вверх-влево — со знаком минус. Это приводит к определителю

\operatorname {det}\left(A\right) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Используйте это правило, чтобы вычислить определитель матрицы вращения

R(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & 0 & -\sin (\theta ) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{pmatrix}.

(ii)

Используйте это правило, чтобы найти определитель матрицы

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} 0 & \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) & 0 \\ 0 & \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \end{pmatrix}.

Задача 4.1.20

Пусть $A$ , $S$ — матрицы $n \times n$ . Предположим, что $S$ обратима и что $S^{-1}AS = \rho S$ , где $\rho \neq 0$ . Покажите, что $A$ обратима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.21

Пусть $A$ — обратимая $n \times n$ матрица. Пусть $c=2$ . Можно ли найти обратимую матрицу $S$ такую, что $SAS^{-1} = cA$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.22

Определитель $n \times n$ циркулянтной матрицы задаётся формулой

\operatorname {det}\left(\begin{array}{lllll} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{3} & a_{4} & a_{5} & & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & & a_{1} \end{array}\right) = (-1)^{n-1} \prod _{j=0}^{n-1} \left(\sum _{k=1}^{n} \zeta ^{jk}a_{k}\right) \tag {1}

где $\zeta := \exp (2\pi i/n)$ . Найдите определитель циркулянтной $n \times n$ матрицы

C = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 & & n^{2} \\ n^{2} & 1 & 4 & & (n-1)^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 9 & 16 & 25 & \ldots & 4 \\ 4 & 9 & 16 & \ldots & 1 \end{pmatrix}

используя формулу (1).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.23

Пусть $A$ — ненулевая $2 \times 2$ матрица над $\mathbb {R}$ . Пусть $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ — $2 \times 2$ матрицы над $\mathbb {R}$ , и предположим, что

\operatorname {det}\left(A+B_{j}\right) = \operatorname {det}\left(A\right)+\operatorname {det}\left(B_{j}\right) \qquad \text{для } j=1,2,3,4.

Покажите, что существуют вещественные числа $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ , $c_{4}$ , не все равные нулю, такие, что

c_{1}B_{1}+c_{2}B_{2}+c_{3}B_{3}+c_{4}B_{4} = 0_{2}. \tag {1}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.24

(i)(ii)

$n \times n$ матрица $Q$ называется ортогональной, если $Q$ вещественна и $Q^{T}Q = Q^{T}Q = I_{n}$ , т.е. $Q^{-1} = Q^{T}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите определитель ортогональной матрицы.

(ii)

Пусть $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ — два вектора в $\mathbb {R}^{3}$ , и $\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}$ обозначает векторное произведение $\overrightarrow {u}$ и $\overrightarrow {v}$

\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v} := \begin{pmatrix} u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2} \\ u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3} \\ u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1} \end{pmatrix}.

Пусть $Q$ — $3 \times 3$ ортогональная матрица. Вычислите $(Q\overrightarrow {u}) \times (Q\overrightarrow {v})$ .

Задача 4.1.25

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Вычислите определитель $n \times n$ матрицы

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0 \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите определитель матрицы

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Задача 4.1.26

Пусть $A$ — $2 \times 2$ матрица над $\mathbb {R}$ с $\operatorname {det}\left(A\right) \neq 0$ . Верно ли, что $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.27

Найдите все $2 \times 2$ матрицы $A$ над $\mathbb {C}$ , удовлетворяющие трём условиям

\operatorname {tr}(A) = 0, \qquad A = A^{*}, \qquad A^{2} = I_{2}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.28

Пусть $A$ — $n \times n$ матрица с $A^{2} = I_{n}$ . Пусть $B$ — матрица с $AB = -BA$ , т.е. $[A,B]_{+} = 0_{n}$ . Покажите, что $\operatorname {tr}(B) = 0$ . Найдите $\operatorname {tr}(A \otimes B)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.29

Рассмотрим две $2 \times 2$ матрицы

A = \begin{pmatrix} a_{11} & 1 \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 \\ a_{21} & 1 \end{pmatrix}.

Первые столбцы матриц $A$ и $B$ совпадают, но вторые столбцы этих двух матриц различаются. Верно ли, что $\operatorname {det}\left(A+B\right) = 2(\operatorname {det}\left(A\right)+\operatorname {det}\left(B\right))$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.30

Пусть $A$ , $B$ — $2 \times 2$ матрицы. Предположим, что $\operatorname {det}\left(A\right) = 0$ и $\operatorname {det}\left(B\right) = 0$ . Можно ли заключить, что $\operatorname {det}\left(A+B\right) = 0$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.31

Рассмотрим симметричную $3 \times 3$ матрицу

A = \begin{pmatrix} n_{1} & 1 & 0 \\ 1 & n_{2} & 1 \\ 0 & 1 & n_{3} \end{pmatrix}.

Найдите все положительные целые числа $n_{1}$ , $n_{2}$ , $n_{3}$ такие, что $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ и $A$ положительно определена.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.32

(i)(ii)

Ориентированный объём $n$ -симплекса в $n$ -мерном евклидовом пространстве с вершинами $\overrightarrow {v}_{0}, \overrightarrow {v}_{1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{n}$ задаётся формулой

\frac{1}{n!} \operatorname {det}\left(S\right)

где $S$ — $n \times n$ матрица $S := \begin{pmatrix} \overrightarrow {v}_{1}-\overrightarrow {v}_{0} & \overrightarrow {v}_{2}-\overrightarrow {v}_{0} & \ldots & \overrightarrow {v}_{n-1}-\overrightarrow {v}_{0} & \overrightarrow {v}_{n}-\overrightarrow {v}_{0} \end{pmatrix}$ . Таким образом, каждый столбец $n \times n$ матрицы — это разность векторов, представляющих две вершины.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть

\overrightarrow {v}_{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}.

Найдите ориентированный объём.

(ii)

Пусть

\overrightarrow {v}_{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Найдите ориентированный объём.

Задача 4.1.33

(i)(ii)(iii)

Площадь $A$ треугольника, заданного координатами его вершин

(x_{0}, y_{0}), \qquad (x_{1}, y_{1}), \qquad (x_{2}, y_{2})

равна

A = \frac{1}{2} \operatorname {det}\left(\begin{array}{lll} x_{0} & y_{0} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{array}\right).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$ , $(x_{1},y_{1}) = (1,0)$ , $(x_{2},y_{2}) = (0,1)$ . Найдите $A$ .

(ii)

Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырёх треугольных граней, три из которых сходятся в каждой вершине. Тетраэдр можно задать координатами вершин

(x_{0},y_{0},z_{0}), \quad (x_{1},y_{1},z_{1}), \quad (x_{2},y_{2},z_{2}), \quad (x_{3},y_{3},z_{3}).

Объём $V$ тетраэдра задаётся формулой (точнее, $\left|V\right|$ )

V = \frac{1}{6} \operatorname {det}\left(\begin{array}{llll} x_{0} & y_{0} & z_{0} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{array}\right).

Пусть

(x_{0},y_{0},z_{0}) = (0,0,0), \quad (x_{1},y_{1},z_{1}) = (0,0,1),

(x_{2},y_{2},z_{2}) = (0,1,0), \quad (x_{3},y_{3},z_{3}) = (1,0,0).

Найдите объём $V$ .

(iii)

Пусть

(x_{0},y_{0},z_{0}) = (+1,+1,+1), \quad (x_{1},y_{1},z_{1}) = (-1,-1,+1),

(x_{2},y_{2},z_{2}) = (-1,+1,-1), \quad (x_{3},y_{3},z_{3}) = (+1,-1,-1).

Найдите объём $V$ .

Задача 4.1.34

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $\operatorname {tr}(AB) = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Можем ли мы заключить, что $\operatorname {tr}(AB^{*}) = 0$ ?

(ii)

Рассмотрите случай, когда $B$ косоэрмитова.

Задача 4.1.35

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Верно ли, что $\operatorname {tr}(AB^{*}) = \operatorname {tr}(A^{*}B)$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.36

Пусть

A = (\overrightarrow {a}_{1}, \overrightarrow {a}_{2}, \ldots , \overrightarrow {a}_{n-1}, \overrightarrow {u}), \qquad B = (\overrightarrow {a}_{1}, \overrightarrow {a}_{2}, \ldots , \overrightarrow {a}_{n-1}, \overrightarrow {v})

— матрицы размера $n \times n$ , у которых первые $n-1$ столбцов $\overrightarrow {a}_{1}, \ldots , \overrightarrow {a}_{n-1}$ совпадают, а для последнего столбца $\overrightarrow {u} \neq \overrightarrow {v}$ . Покажите, что

\operatorname {det}\left(A+B\right) = 2^{n-1}(\operatorname {det}\left(A\right)+\operatorname {det}\left(B\right)).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.37

Найдите все матрицы $g$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ , такие что $\operatorname {det}\left(g\right) = 1$ , $\eta g^{*} \eta = g^{-1}$ , где $\eta$ — диагональная матрица $\eta = \operatorname {diag}(1,-1)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.38

Трёхдиагональная матрица размера $n \times n$ ( $n \geq 3$ ) имеет ненулевые элементы только на главной диагонали, первой диагонали под ней и первой диагонали над главной диагональю. Определитель трёхдиагональной матрицы размера $n \times n$ можно вычислить по рекурсивной формуле

\operatorname {det}\left(A\right) = a_{n,n}\operatorname {det}\left(A\right)_{\left\{ 1,\ldots ,n-1\right\} } - a_{n,n-1}a_{n-1,n}\operatorname {det}\left(A\right)_{\left\{ 1,\ldots ,n-2\right\} }

где $\operatorname {det}\left(A\right)_{\left\{ 1,\ldots ,k\right\} }$ обозначает $k$ -й главный минор, то есть $[A]_{\left\{ 1,\ldots ,k\right\} }$ — это подматрица, образованная первыми $k$ строками и столбцами матрицы $A$ . Стоимость вычисления определителя трёхдиагональной матрицы с помощью этой рекурсии линейна по $n$ , тогда как для общей матрицы она кубическая. Примените это рекуррентное соотношение для вычисления определителя матрицы размера $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.39

(i)(ii)

Рассмотрим симметричную матрицу $3 \times 3$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}, \qquad \alpha \in \mathbb {R}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите максимумы и минимумы функции $f(\alpha ) = \operatorname {det}\left(A(\alpha )\right)$ .

(ii)

При каких значениях $\alpha$ матрица необратима?

Задача 4.1.40

Матрица Паскаля порядка $n$ определяется как

P_{n} := \left(\frac{(i+j-2)!}{(i-1)!(j-1)!}\right), \qquad i,j = 1, \ldots , n.

Таким образом,

P_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad P_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}, \qquad P_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{pmatrix}.

Найдите определитель $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ . Найдите обратную матрицу для $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.41

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Предположим, что $A$ обратима. Пусть $t$ — ненулевое вещественное число. Покажите, что

\operatorname {det}\left(A+tB\right) = t^{n}\operatorname {det}\left(A\right)\operatorname {det}\left(A^{-1}B+t^{-1}I_{n}\right).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.42

Пусть $A$ — обратимая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $A^{T}$ также обратима. Верно ли, что $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.43

Вычислите определитель матрицы $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

используя внешнее произведение $\wedge$ (клиновое произведение). Это означает, что нужно вычислить

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.44

Диагональные матрицы $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ со следом, равным $0$ , образуют векторное пространство. Приведите базис этого векторного пространства. Используя скалярное произведение $\operatorname {tr}(AB^{T})$ для матриц $A, B$ размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ , элементы базиса должны быть ортогональны друг другу.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.45

Норма Гильберта–Шмидта матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ определяется как

\left\| A\right\| _{2} := \sqrt{\operatorname {tr}(A^{*}A)}.

Другая норма — это ядерная норма (норма следа), определяемая как

\left\| A\right\| _{1} := \operatorname {tr}\sqrt{(A^{*}A)}.

Вычислите обе нормы для матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & -2i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.46

Пусть $A$ — матрица $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу перестановки $3 \times 3$

P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Предположим, что $AP = A$ . Покажите, что $A$ не может быть обратимой.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.47

Пусть $A = (a_{ij})$ — кососимметричная матрица $2n \times 2n$ . Пфаффиан определяется как

\operatorname {Pf}(A) := \frac{1}{2^{n}n!} \sum _{\sigma \in S_{2n}} \operatorname {sgn}(\sigma ) \prod _{j=1}^{n} a_{\sigma (2j-1), \sigma (2j)}

где $S_{2n}$ — симметрическая группа, а $\operatorname {sgn}(\sigma )$ — знак перестановки $\sigma$ . Рассмотрим случай $n=2$ , то есть

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите $\operatorname {Pf}(A)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.48

Пусть $A$ — кососимметричная матрица $2n \times 2n$ . Для пфаффиана выполняются свойства

(\operatorname {Pf}(A))^{2} = \operatorname {det}\left(A\right), \qquad \operatorname {Pf}(BAB^{T}) = \operatorname {det}\left(B\right)\operatorname {Pf}(A)

\operatorname {Pf}(\lambda A) = \lambda ^{n}\operatorname {Pf}(A), \qquad \operatorname {Pf}(A^{T}) = (-1)^{n}\operatorname {Pf}(A)

где $B$ — произвольная матрица $2n \times 2n$ . Пусть $J$ — кососимметричная матрица $2n \times 2n$ с $\operatorname {Pf}(J) \neq 0$ . Пусть $B$ — матрица $2n \times 2n$ такая, что $B^{T}JB = J$ . Покажите, что $\operatorname {det}\left(B\right) = 1$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.49

Найдите все обратимые матрицы $2 \times 2$ $A$ такие, что $A+A^{-1} = I_{2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.50

Пусть $V_{1}$ — эрмитова матрица $n \times n$ . Пусть $V_{2}$ — положительно полуопределённая матрица $n \times n$ . Пусть $k$ — положительное целое число. Покажите, что $\operatorname {tr}((V_{2}V_{1})^{k})$ можно записать в виде $\operatorname {tr}(V^{k})$ , где $V := V_{2}^{1/2}V_{1}V_{2}^{1/2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.51

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

M = \begin{pmatrix} \cosh (r)-\sinh (r)\cos (2\theta ) & -\sinh (r)\sin (2\theta ) \\ -\sinh (r)\sin (2\theta ) & \cosh (r)+\sinh (r)\cos (2\theta ) \end{pmatrix}.

Найдите определитель $M$ . Тем самым покажите, что обратная к $M$ существует. Найдите обратную к $M$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.52

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$ $C$ над $\mathbb {C}$ . Вычислите $\operatorname {det}\left(CC^{*}\right)$ и покажите, что $\operatorname {det}\left(CC^{*}\right) \geq 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.53

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Найдите определитель

A = \begin{pmatrix} 1 & z \\ \overline{z} & z\overline{z} \end{pmatrix}.

Является ли матрица

\Pi _{2} = I_{2} - \frac{1}{1+z\overline{z}}A

матрицей проекции?

(ii)

Пусть $z_{1}, z_{2} \in \mathbb {C}$ . Найдите определитель

B = \begin{pmatrix} 1 & z_{1} & z_{2} \\ \overline{z}_{1} & z_{1}\overline{z}_{1} & z_{2}\overline{z}_{1} \\ \overline{z}_{2} & z_{1}\overline{z}_{2} & z_{2}\overline{z}_{2} \end{pmatrix}.

Является ли матрица

\Pi _{3} = I_{3} - \frac{1}{1+z_{1}\overline{z}_{1}+z_{2}\overline{z}_{2}}B

матрицей проекции?

Задача 4.1.54

Рассмотрим число золотого сечения $\tau = (\sqrt{5}-1)/2$ и матрицу $2 \times 2$

F = \begin{pmatrix} \tau & \sqrt{\tau } \\ \sqrt{\tau } & -\tau \end{pmatrix}.

Найдите $\operatorname {tr}(F)$ и $\operatorname {det}\left(F\right)$ . Так как $\operatorname {det}\left(F\right) \neq 0$ , обратная существует. Найдите $F^{-1}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.55

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ , а $B$ — обратимая матрица $n \times n$ . Покажите, что

\operatorname {det}\left(I_{n}+A\right) = \operatorname {det}\left(I_{n}+BAB^{-1}\right).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.56

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ . Покажите, что

\operatorname {det}\left(I_{2}+A\right) = 1+\operatorname {tr}(A)+\operatorname {det}\left(A\right).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.57

Пусть $\left\{ \overrightarrow {e}_{j} : j=1,2,3\right\}$ — три ортонормированных вектора в $\mathbb {Z}^{3}$

\overrightarrow {e}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {e}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {e}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Рассмотрим гранецентрированную кубическую решётку как подрешётку $\mathbb {Z}^{3}$ , порождённую тремя примитивными векторами $\overrightarrow {e}_{1}+\overrightarrow {e}_{2}$ , $\overrightarrow {e}_{1}+\overrightarrow {e}_{3}$ , $\overrightarrow {e}_{2}+\overrightarrow {e}_{3}$ . Составьте матрицу $3 \times 3$ $\begin{pmatrix} \overrightarrow {e}_{1}+\overrightarrow {e}_{2} & \overrightarrow {e}_{1}+\overrightarrow {e}_{3} & \overrightarrow {e}_{2}+\overrightarrow {e}_{3} \end{pmatrix}$ и покажите, что эта матрица имеет обратную. Найдите обратную.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.58

Пусть $n \geq 2$ . Рассмотрим симметричную трёхдиагональную матрицу $n \times n$ над $\mathbb {R}$

A_{n} = \begin{pmatrix} c & 1 & 0 & 0 & \cdots & & 0 \\ 1 & c & 1 & 0 & \cdots & & 0 \\ 0 & 1 & c & 1 & \cdots & & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & c & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & c \end{pmatrix}

где $c \in \mathbb {R}$ . Найдите определитель $A_{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.59

Найдите ненулевую матрицу $2 \times 2$ $V$ над $\mathbb {C}$ такую, что $V^{2} = \operatorname {tr}(V)V$ . Может ли такая матрица быть обратимой?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.60

Рассмотрим матрицу $(n+1) \times (n+1)$ над $\mathbb {C}$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & & 0 & z_{1} \\ 0 & 1 & 0 & & 0 & z_{2} \\ 0 & 0 & 1 & & 0 & z_{3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & z_{n} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} & \ldots & z_{n} & 1 \end{pmatrix}.

Найдите определитель. Каково условие на $z_{j}$ , при котором $A$ обратима?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.61

Пусть $z_{k} = x_{k}+iy_{k}$ , где $x_{k}, y_{k} \in \mathbb {R}$ и $k=1,\ldots ,n$ . Найдите матрицу $A$ размера $2n \times 2n$ такую, что

\begin{pmatrix} z_{1} \\ \vdots \\ z_{n} \\ \overline{z}_{1} \\ \vdots \\ \overline{z}_{n} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}.

Найдите определитель матрицы $A$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.62

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим произведение

A \diamond B := \frac{1}{2}(AB+BA) - \frac{1}{n}\operatorname {tr}(AB)I_{n}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите след $A \diamond B$ .

(ii)

Коммутативно ли это произведение?

Задача 4.1.63

Пусть $A$ — обратимая матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in \mathbb {C}^{n}$ . Тогда имеет место тождество

\operatorname {det}\left(A+\overrightarrow {x}\overrightarrow {y}^{*}\right) \equiv \operatorname {det}\left(A\right)(1+\overrightarrow {y}^{*}A^{-1}\overrightarrow {x}).

Можно ли заключить, что $A+\overrightarrow {x}\overrightarrow {y}^{*}$ также обратима?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.64

Пусть $n \geq 1$ . Рассмотрим матрицы $A$ и $B$ размера $2^{n} \times 2^{n}$ . Предположим, что $A^{2} = I_{2^{n}}$ , $B^{2} = I_{2^{n}}$ и $[A,B]_{+} = 0_{2^{n}}$ . Покажите, что

\operatorname {det}\left(A+B\right) = 2^{2^{n}/2}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.65

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $B$ обратима. Покажите, что существует $c \in \mathbb {C}$ такое, что $A+cB$ необратима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Начните с тождества $A+cB \equiv (AB^{-1}+cI_{n})B$ и примените определитель.

Задача 4.1.66

Перманентом матрицы $A$ размера $n \times n$ называется

\operatorname {Per}(A) := \sum _{\sigma \in S_{n}} \prod _{j=1}^{n} a_{j,\sigma (j)}

где $S_{n}$ — множество всех перестановок $n$ элементов. Найдите перманент матрицы $A$ размера $2 \times 2$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.67

Пусть $A$ — матрица $4 \times 4$ , которую запишем как

A = \begin{pmatrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{pmatrix}

где $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ — (блочные) матрицы $2 \times 2$ в матрице $A$ . Рассмотрим отображение

\begin{pmatrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} A_{1} & A_{2}^{T} \\ A_{3}^{T} & A_{4} \end{pmatrix}

где $^{T}$ обозначает транспонирование. Сохраняется ли след при этом отображении? Сохраняется ли определитель при этом отображении?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.68

Пусть $H$ — матрица $4 \times 4$ , а $U$ , $V$ — унитарные матрицы $2 \times 2$ . Вычислите

\operatorname {det}\left((U \otimes V)H(U^{*} \otimes V^{*})\right), \qquad \operatorname {tr}((U \otimes V)H(U^{*} \otimes V^{*})).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.69

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Рассмотрим выражение

(A \otimes B - B \otimes A) \oplus (-[A,B])

где $\oplus$ обозначает прямую сумму. Найдите след этого выражения. Данное выражение играет роль для универсальных обёртывающих алгебр.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.70

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $\operatorname {tr}(A) = c_{1}$ , $\operatorname {tr}(A^{2}) = c_{2}$ . Можно ли вычислить $\operatorname {det}\left(A\right)$ по $c_{1}$ , $c_{2}$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.71

Пусть $J$ — матрица $2n \times 2n$

J := \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Назовём симплектическими $\overrightarrow {G}$ -отражателями те симплектические матрицы $2n \times 2n$ , которые имеют $(2n-1)$ -мерное подпространство неподвижных точек. Любой симплектический $\overrightarrow {G}$ -отражатель можно представить в виде

G = I_{2n} + \beta \overrightarrow {u}\overrightarrow {u}^{T}J \tag {1}

для некоторого $0 \neq \beta \in \mathbb {F}$ , $0 \neq \overrightarrow {u} \in \mathbb {F}^{2n}$ , причём $\overrightarrow {u}$ рассматривается как вектор-столбец. Основное поле — $\mathbb {F}$ . Обратно, любая матрица $G$ , заданная формулой (1), всегда является симплектическим $\overrightarrow {G}$ -отражателем. Покажите, что $\operatorname {det}\left(G\right) = +1$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.72

Пусть $A$ , $B$ — положительно полуопределённые матрицы $n \times n$ . Тогда

\operatorname {det}\left(A+B\right) \geq \operatorname {det}\left(A\right)+\operatorname {det}\left(B\right), \qquad \operatorname {tr}(AB) \leq \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B).

Пусть

A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Обе матрицы являются матрицами плотности, причём $A$ — чистое состояние, а $B$ — смешанное состояние. Вычислите левую и правую части обоих неравенств. Обсудите.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.73

(i)(ii)

Пусть $A$ — положительно полуопределённая матрица $n \times n$ . Пусть $B$ — положительно определённая матрица $n \times n$ . Тогда имеет место неравенство Кляйна

\operatorname {tr}(A(\ln (A)-\ln (B))) \geq \operatorname {tr}(A-B).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}.

Вычислите левую и правую части неравенства.

(ii)

Когда неравенство обращается в равенство?

Задача 4.1.74

Рассмотрим два многочлена

p_{1}(x) = a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}, \qquad p_{2}(x) = b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{m}x^{m}

где $n = \deg (p_{1})$ и $m = \deg (p_{2})$ . Предположим, что $n>m$ . Пусть $r(x) := p_{2}(x)/p_{1}(x)$ . Разложим $r(x)$ по степеням $1/x$ , т.е.

r(x) = \frac{c_{1}}{x} + \frac{c_{2}}{x^{2}} + \cdots .

Из коэффициентов $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{2n-1}$ можно составить матрицу Ганкеля размера $n \times n$

H_{n} = \begin{pmatrix} c_{1} & c_{2} & & c_{n} \\ c_{2} & c_{3} & & c_{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n} & c_{n+1} & \cdots & c_{2n-1} \end{pmatrix}.

Определитель этой матрицы пропорционален результанту двух многочленов. Если результант обращается в нуль, то два многочлена имеют нетривиальный наибольший общий делитель. Примените эту теорему к многочленам

p_{1}(x) = x^{3}+6x^{2}+11x+6, \qquad p_{2}(x) = x^{2}+4x+3.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.75

(i)(ii)(iii)(iv)(v)

Рассмотрим симметричную матрицу $5 \times 5$ над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ранг — это число линейно независимых векторов-строк (или векторов-столбцов) матрицы $A$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите ранг матрицы. Поясните.

(ii)

Найдите определитель и след матрицы.

(iii)

Найдите все собственные значения матрицы.

(iv)

Найдите один собственный вектор.

(v)

Является ли матрица положительно полуопределённой?

Задача 4.1.76

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Предположим, что $A^{-1}$ существует. Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {R}^{n}$ , где $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v}$ рассматриваются как векторы-столбцы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что если $\overrightarrow {v}^{T}A^{-1}\overrightarrow {u} = -1$ , то матрица $A+\overrightarrow {u}\overrightarrow {v}^{T}$ не является обратимой.

(ii)

Предположим, что $\overrightarrow {v}^{T}A^{-1}\overrightarrow {u} \neq -1$ . Покажите, что

(A+\overrightarrow {u}\overrightarrow {v}^{T})^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}\overrightarrow {u}\overrightarrow {v}^{T}A^{-1}}{1+\overrightarrow {v}^{T}A^{-1}\overrightarrow {u}}. \tag {1}

Задача 4.1.77

Коллокационный многочлен $p(x)$ для неравномерно расположенных узлов $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$ можно найти методом определителей

\operatorname {det}\left(\begin{array}{llllll} p(x) & 1 & x & x^{2} & \ldots & x^{n} \\ y_{0} & 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & \ldots & x_{0}^{n} \\ y_{1} & 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{n} & 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \ldots & x_{n}^{n} \end{array}\right) = 0

где $p(x_{k}) = y_{k}$ для $k=0,1,\ldots ,n$ . Примените это для ( $n=2$ )

p(x_{0}=0) = 1 = y_{0}, \qquad p(x_{1}=1/2) = 9/4 = y_{1}, \qquad p(x_{2}=1) = 4 = y_{2}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.78

(i)(ii)

Пусть $M$ — пространство Минковского, наделённое стандартными координатами $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ и полем метрического тензора

g = -dx_{0} \otimes dx_{0} + dx_{1} \otimes dx_{1} + dx_{2} \otimes dx_{2} + dx_{3} \otimes dx_{3}

и квадратичной формой

q(x) = -(x_{0})^{2} + (x_{1})^{2} + (x_{2})^{2} + (x_{3})^{2}.

Пусть $\overrightarrow {H}(2)$ — векторное пространство эрмитовых матриц $2 \times 2$ . Рассмотрим отображение $\varphi : M \rightarrow \overrightarrow {H}(2)$

\varphi (x) = X = \begin{pmatrix} x_{0}+x_{3} & x_{1}-ix_{2} \\ x_{1}+ix_{2} & x_{0}-x_{3} \end{pmatrix}

являющееся изоморфизмом.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите определитель $X$ .

(ii)

Найдите преобразование Кэли матрицы $X$ , т.е.

U = (X+iI_{2})^{-1}(X-iI_{2})

с обратным преобразованием

X = i(I_{2}+U)(I_{2}-U)^{-1}.

Задача 4.1.79

Пусть $A$ — кососимметричная матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что

\operatorname {det}\left(I_{n}+A\right) \geq 1

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $A = 0_{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.80

Рассмотрим симметричную матрицу $(n-1) \times (n-1)$ над $\mathbb {R}$

A_{n} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 4 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & 5 & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & n+1 \end{pmatrix}

с $n \geq 2$ . Пусть $D_{n} = \operatorname {det}\left(A_{n}\right)$ . Ограничена ли последовательность $\left\{ D_{n}/n!\right\}$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.81

Гипердетерминант $\operatorname {Det}(A)$ трёхмерного массива $A = (a_{ijk}) \in \mathbb {R}^{2 \times 2 \times 2}$ можно вычислить следующим образом

\begin{align} \operatorname {Det}(A) & = \frac{1}{4}\left(\operatorname {det}\left(\begin{pmatrix} a_{000} & a_{010} \\ a_{001} & a_{011} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{100} & a_{110} \\ a_{101} & a_{111} \end{pmatrix}\right)\right. \\ & \quad \left. - \operatorname {det}\left(\begin{pmatrix} a_{000} & a_{010} \\ a_{001} & a_{011} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_{100} & a_{110} \\ a_{101} & a_{111} \end{pmatrix}\right)\right)^{2} \\ & \quad - 4\operatorname {det}\left(\begin{array}{ll} a_{000} & a_{010} \\ a_{001} & a_{011} \end{array}\right) \operatorname {det}\left(\begin{array}{ll} a_{100} & a_{110} \\ a_{101} & a_{111} \end{array}\right). \end{align}

Предположим, что только один из коэффициентов $a_{ijk}$ отличен от нуля. Вычислите гипердетерминант.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.82

Пусть $\epsilon_{00} = \epsilon_{11} = 0$ , $\epsilon_{01} = 1$ , $\epsilon_{10} = -1$ , т.е. рассмотрим матрицу $2 \times 2$

\epsilon = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Тогда определитель матрицы $2 \times 2$ $A_{2} = (a_{ij})$ с $i,j = 0,1$ можно определить как

\operatorname {det}\left(A_{2}\right) := \frac{1}{2} \sum _{i=0}^{1} \sum _{j=0}^{1} \sum _{\ell =0}^{1} \sum _{m=0}^{1} \epsilon _{ij}\epsilon _{\ell m}a_{i\ell }a_{jm}.

Таким образом, $\operatorname {det}\left(A_{2}\right) = a_{00}a_{11} - a_{01}a_{10}$ . По аналогии гипердетерминант $\operatorname {Det}(A_{3})$ массива $2 \times 2 \times 2$ $A_{3} = (a_{ijk})$ с $i,j,k = 0,1$ определяется как

-\frac{1}{2} \sum _{ii'=0}^{1} \sum _{jj'=0}^{1} \sum _{kk'=0}^{1} \sum _{mm'=0}^{1} \sum _{nn'=0}^{1} \sum _{pp'=0}^{1} \epsilon _{ii'}\epsilon _{jj'}\epsilon _{kk'}\epsilon _{mm'}\epsilon _{nn'}\epsilon _{pp'}a_{ijk}a_{i'j'm}a_{npk'}a_{n'p'm'}.

Вычислите $\operatorname {Det}(A_{3})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

4.2 · Дополнительные задачи[43/0%]

Задача 4.2.1

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Каковы условия на $A$ , $B$ , при которых $\operatorname {tr}(AB) = \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B)$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.2

Дана матрица $2 \times 2$ $M$ над $\mathbb {C}$ . Что можно сказать об определителе $M \otimes I_{2} - I_{2} \otimes M$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.3

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Каково условие на $\alpha \in \mathbb {R}$ , при котором

F(\alpha ) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \alpha \\ \alpha & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha & 1 \end{pmatrix}

обратима?

(ii)

Каково условие на $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ , при котором

G(\alpha ,\beta ) = \begin{pmatrix} 1 & \beta & \beta & \beta \\ \beta & 1 & \alpha & \alpha \\ \beta & \alpha & 1 & \alpha \\ \beta & \alpha & \alpha & 1 \end{pmatrix}

обратима?

Задача 4.2.4

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Тогда $\operatorname {tr}([A,B]) = 0$ . Рассмотрим $n=3$ и

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

с $\operatorname {tr}(C) = 0$ . Постройте матрицы $3 \times 3$ $A$ и $B$ такие, что $[A,B] = C$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.5

Рассмотрим $k$ векторов

\overrightarrow {v}_{j} = \begin{pmatrix} v_{1j} \\ v_{2j} \\ \vdots \\ v_{nj} \end{pmatrix} \qquad j = 1, \ldots , k

в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ . Параллелепипед, определяемый этими векторами, имеет $k$ -мерный объём

\sqrt{\operatorname {det}\left(V^{T}V\right)}

где $V$ — матрица $n \times k$ , столбцами которой являются $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \ldots , \overrightarrow {v}_{k}$ . Примените это к двум векторам в $\mathbb {R}^{3}$

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.6

Уравнение гиперплоскости, проходящей через $n$ точек $\overrightarrow {x}_{1}, \overrightarrow {x}_{2}, \ldots , \overrightarrow {x}_{n}$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ , имеет вид

\operatorname {det}\left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \overrightarrow {x} & \overrightarrow {x}_{1} & \overrightarrow {x}_{2} & \ldots & \overrightarrow {x}_{n} \end{array}\right) = 0.

Пусть $n=3$ . Примените это к трём векторам в $\mathbb {R}^{3}$

\overrightarrow {x}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {x}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {x}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.7

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ . Покажите, что

[A,B]_{+} \equiv AB+BA \equiv (\operatorname {tr}(AB)-\operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B))I_{2} + \operatorname {tr}(A)B + \operatorname {tr}(B)A.

Можно ли распространить это тождество на матрицы $3 \times 3$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.8

(i)(ii)(iii)(iv)(v)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $BA^{*} = \operatorname {tr}(BA^{*})A$ .

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ такие, что $A^{2} = \operatorname {tr}(A)A$ . Вычислите $\operatorname {det}\left(A\right)$ и $\operatorname {det}\left(A^{2}\right)$ для такой матрицы.

(iii)

Пусть $B$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $B^{2} = I_{2}$ и, следовательно, $\operatorname {tr}(B^{2}) = 2$ . Что можно сказать о следе матрицы $B$ ?

(iv)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $C$ такие, что $\operatorname {tr}(C^{2})-(\operatorname {tr}(C))^{2} = 0$ .

(v)

Пусть $D$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Найдите условие на $D$ , при котором $\operatorname {det}\left(D\right) = \operatorname {tr}(D^{2})$ . Найдите условие на $D$ , при котором $\operatorname {det}\left(D \otimes D\right) = \operatorname {tr}(D \otimes D)$ .

Задача 4.2.9

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ . Пусть $U$ , $V$ — унитарные матрицы $n \times n$ . Покажите, что

\operatorname {tr}((U \otimes V)(A \otimes B)(U^{*} \otimes V^{*})) = \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B)

применяя циклическую инвариантность и $UU^{*} = I_{n}$ , $VV^{*} = I_{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.10

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ с $\operatorname {tr}(A) = 0$ и $\operatorname {tr}(B) = 0$ . Покажите, что условие на $A$ и $B$ , при котором $\operatorname {tr}(AB) = 0$ , задаётся выражением

2a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{21}b_{12} = 0.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.11

Пусть $A$ , $B$ — ненулевые матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ с $\operatorname {det}\left(A \otimes B\right) = 0$ . Можем ли мы заключить, что и $A$ , и $B$ необратимы?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.12

Рассмотрим симметричную ленточную матрицу $n \times n$ ( $n \geq 3$ )

M_{n} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \end{pmatrix}

с элементами в поле $\mathbb {F}_{2}$ . Покажите, что

\operatorname {det}\left(M_{n}\right) = \operatorname {det}\left(M_{n-1}\right) - \operatorname {det}\left(M_{n-2}\right)

с начальными условиями $\operatorname {det}\left(M_{3}\right) = \operatorname {det}\left(M_{4}\right) = 1$ . Покажите, что решение имеет вид

\operatorname {det}\left(M_{n}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cos \left(\frac{n\pi }{3} - \frac{\pi }{6}\right) \pmod{2}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.13

Рассмотрим ненормальные матрицы

A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $(\operatorname {det}\left(A_{2}^{*}A_{2}\right))^{1/2}$ и $(\operatorname {det}\left(A_{3}^{*}A_{3}\right))^{1/2}$ . Обобщите на $n$ измерений.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.14

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ с $\operatorname {det}\left(A\right) = -1$ . Покажите, что $\operatorname {det}\left(A^{-1}\right) = -1$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.15

Пусть $n$ чётно. Рассмотрим кососимметричную матрицу $n \times n$ $A$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $B$ — симметричная матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ с элементами $B = (b_{jk})$ , заданными как $b_{jk} = b_{j}b_{k}$ ( $b_{j}, b_{k} \in \mathbb {R}$ ). Покажите, что

\operatorname {det}\left(A+B\right) = \operatorname {det}\left(A\right).

Заметьте, что $\operatorname {det}\left(B\right) = 0$ . Пусть $S_{n}$ — симметрическая группа. Тогда

\operatorname {det}\left(A+B\right) = \sum _{\sigma \in S_{n}} (-1)^{\sigma } (a_{1\sigma (1)}+b_{1}b_{\sigma (1)})(a_{2\sigma (2)}+b_{2}b_{\sigma (2)}) \cdots (a_{n\sigma (n)}+b_{n}b_{\sigma (n)}).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.16

Пусть $h>0$ и $b>a$ . Рассмотрим матрицу

M(a,b,h) = \begin{pmatrix} 1 & ah \\ 1 & bh \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(M\right) = h(b-a) > 0$ и обратная матрица к $M$ имеет вид

M^{-1}(a,b,h) = \begin{pmatrix} b/(b-a) & -a/(b-a) \\ -1/((b-a)h) & 1/((b-a)h) \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.17

Матрицы перестановок $n \times n$ образуют группу относительно умножения матриц. Покажите, что $\operatorname {det}\left(I_{n}-P\right) = 0$ для любой матрицы перестановки $n \times n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.18

Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v}, \overrightarrow {w}$ — вектор-столбцы в $\mathbb {R}^{3}$ . Составим матрицу $3 \times 3$

M = \begin{pmatrix} \overrightarrow {u} & \overrightarrow {v} & \overrightarrow {w} \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(M\right) = (\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) \cdot \overrightarrow {w}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.19

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $n \geq 2$ . Рассмотрим матрицу $n \times n$

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \ldots & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \ldots & 1 & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n & 1 & 2 & \ldots & n-2 & n-1 \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(A\right) = (-1)^{n(n-1)/2} \frac{1}{2}(n+1)n^{n-1}$ .

(ii)

Пусть $n \geq 2$ . Рассмотрим матрицу $n \times n$

M(x) = \begin{pmatrix} c_{1} & x & x & \ldots & x & x \\ x & c_{2} & x & \ldots & x & x \\ x & x & c_{3} & \ldots & x & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x & x & x & \ldots & x & c_{n} \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(M(x)\right) = (-1)^{n}(P(x)-xdP(x)/dx)$ , где

P(x) = (x-c_{1})(x-c_{2}) \cdots (x-c_{n}).

Задача 4.2.20

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; \operatorname {tr}(C) = 1, \; \operatorname {tr}(C^{2}) = 3.

Покажите, что $\operatorname {tr}(C^{k}) = \operatorname {tr}(C^{k-1}) + \operatorname {tr}(C^{k-2})$ при $k=3,4,\ldots$

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.21

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ . Предположим, что

\operatorname {tr}(A^{j}) = 0 \qquad \text{при} \quad j=1,\ldots ,n.

Можем ли мы заключить, что $\operatorname {det}\left(A\right) = 0$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.22

(i)(ii)

Пусть $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Определим

c_{j} = \operatorname {tr}(A_{j}), \quad j=1,2,3; \qquad c_{jk} = \operatorname {tr}(A_{j}A_{k}), \quad j,k=1,2,3.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

По заданным коэффициентам $c_{j}$ , $c_{jk}$ восстановите матрицы $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ .

(ii)

Примените результат к случаю $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$

c_{11}=0, \; c_{12}=1, \; c_{13}=0, \; c_{21}=1, \; c_{22}=0, \; c_{23}=0, \; c_{31}=0, \; c_{32}=0, \; c_{33}=2

и покажите, что

A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Задача 4.2.23

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $B$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Даны

d_{1} = \operatorname {det}\left(B\right), \quad d_{2} = \operatorname {det}\left(B^{2}\right), \quad d_{3} = \operatorname {det}\left(B^{3}\right), \quad d_{4} = \operatorname {det}\left(B^{4}\right).

Можем ли мы восстановить $B$ по $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ ? Зависит ли это от того, является ли матрица $B$ нормальной?

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ над $\mathbb {C}$ такие, что

\operatorname {tr}(A_{1}) = \operatorname {tr}(A_{2}) = \operatorname {tr}(A_{3}) = 0, \quad \operatorname {tr}(A_{1}A_{2}) = \operatorname {tr}(A_{2}A_{3}) = \operatorname {tr}(A_{3}A_{1}) = 0.

(iii)

Найдите все матрицы $3 \times 3$ $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ над $\mathbb {C}$ такие, что

\operatorname {tr}(B_{1}) = \operatorname {tr}(B_{2}) = \operatorname {tr}(B_{3}) = 0, \quad \operatorname {tr}(B_{1}B_{2}) = \operatorname {tr}(B_{2}B_{3}) = \operatorname {tr}(B_{3}B_{1}) = 0.

(iv)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $C$ такие, что $\operatorname {det}\left(C\right) = 1$ , $\operatorname {tr}(C) = 0$ . Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

Задача 4.2.24

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $B$ обратима. Покажите, что $\operatorname {det}\left(I_{n}+BAB^{-1}\right) = \operatorname {det}\left(I_{n}+A\right)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.25

Матрица $n \times n$ $A$ называется идемпотентной, если $A^{2} = A$ . Покажите, что $\operatorname {rk}\left(A\right) = \operatorname {tr}(A)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.26

Пусть $A$ — вещественная симметричная положительно определённая матрица $n \times n$ . Тогда

\ln (\operatorname {det}\left(A\right)) \leq \operatorname {tr}(A) - n.

Для единичной матрицы $I_{n}$ получаем равенство. Покажите, что для матрицы

A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

имеем $n=2$ , $\operatorname {det}\left(A\right) = 2$ , $\operatorname {tr}(A) = 3$ и $\ln (2) < 1$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.27

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\overrightarrow {a}_{j}$ , $\overrightarrow {b}_{j}$ , $\overrightarrow {c}_{j}$ ( $j=1,\ldots ,n$ ) — $j$ -й столбец матриц $A$ , $B$ , $C$ соответственно. Покажите, что если для некоторого $k \in \left\{ 1,\ldots ,n\right\}$

\overrightarrow {c}_{k} = \overrightarrow {a}_{k} + \overrightarrow {b}_{k}

\overrightarrow {c}_{j} = \overrightarrow {a}_{j} = \overrightarrow {b}_{j}, \qquad j=1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,n

то $\operatorname {det}\left(C\right) = \operatorname {det}\left(A\right)+\operatorname {det}\left(B\right)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.28

Рассмотрим многочлены Лежандра $p_{j}$ ( $j=0,1,\ldots$ ) с

p_{0}(x) = 1, \qquad p_{1}(x) = x, \qquad p_{2}(x) = \frac{1}{2}(3x^{2}-1),

p_{3}(x) = \frac{1}{2}(5x^{3}-3x), \qquad p_{4}(x) = \frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3).

Покажите, что

\operatorname {det}\left(\begin{array}{lll} p_{0}(x) & p_{1}(x) & p_{2}(x) \\ p_{1}(x) & p_{2}(x) & p_{3}(x) \\ p_{2}(x) & p_{3}(x) & p_{4}(x) \end{array}\right) = (1-x^{2})^{3} \begin{pmatrix} p_{0}(0) & 0 & p_{2}(0) \\ 0 & p_{2}(0) & 0 \\ p_{2}(0) & 0 & p_{4}(0) \end{pmatrix}.

Заметьте, что (опуская $x$ )

\operatorname {det}\left(\begin{array}{lll} p_{0} & p_{1} & p_{2} \\ p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ p_{2} & p_{3} & p_{4} \end{array}\right)

= p_{0}(p_{2}p_{4}-(p_{3})^{2}) - p_{1}(p_{1}p_{4}-p_{2}p_{3} + p_{2}(p_{1}p_{3}-(p_{2})^{2})

и $p_{0}(0) = 1$ , $p_{1}(0) = 0$ , $p_{2}(0) = -1/2$ , $p_{3}(0) = 0$ , $p_{4}(0) = 3/8$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.29

Пусть $A$ — диагональная матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $B$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $b_{jj} = 0$ для всех $j=1,\ldots ,n$ . Можем ли мы заключить, что все диагональные элементы коммутатора $[A,B]$ равны $0$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.30

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ с $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ и $\operatorname {det}\left(B\right) = 1$ . Это означает, что $A$ , $B$ — элементы группы Ли $SL(n,\mathbb {R})$ . Можем ли мы заключить, что

\operatorname {tr}(AB) + \operatorname {tr}(AB^{-1}) = \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B)?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.31

Пусть $H$ — эрмитова матрица $n \times n$ . Покажите, что $\operatorname {det}\left(H+iI_{n}\right) \neq 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.32

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Вычислите $r = \operatorname {tr}(A^{2}) - (\operatorname {tr}(A))^{2}$ . Покажите, что условия на $a_{jk}$ , при которых $r=0$ , задаются равенством $a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22}$ , т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.33

Рассмотрим треугольник, вложенный в $\mathbb {R}^{3}$ . Пусть $\overrightarrow {v}_{j} = (x_{j}, y_{j}, z_{j})$ ( $j=1,2,3$ ) — координаты вершин. Тогда площадь $A$ треугольника задаётся выражением

A = \frac{1}{2}\left\| (\overrightarrow {v}_{2}-\overrightarrow {v}_{1}) \times (\overrightarrow {v}_{1}-\overrightarrow {v}_{3})\right\| = \frac{1}{2}\left\| (\overrightarrow {v}_{3}-\overrightarrow {v}_{1}) \times (\overrightarrow {v}_{3}-\overrightarrow {v}_{2})\right\|

где $\times$ обозначает векторное произведение, а $\left\| \cdot \right\|$ обозначает евклидову норму. Площадь $A$ треугольника также можно найти по формуле

\frac{1}{2}\sqrt{\left(D\begin{pmatrix} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{pmatrix}\right)^{2} + \left(D\begin{pmatrix} y_{1} & z_{1} & 1 \\ y_{2} & z_{2} & 1 \\ y_{3} & z_{3} & 1 \end{pmatrix}\right)^{2} + \left(D\begin{pmatrix} z_{1} & x_{1} & 1 \\ z_{2} & x_{2} & 1 \\ z_{3} & x_{3} & 1 \end{pmatrix}\right)^{2}}

где $D$ обозначает определитель. Рассмотрим

\overrightarrow {v}_{1} = (1,0,0), \qquad \overrightarrow {v}_{2} = (0,1,0), \qquad \overrightarrow {v}_{3} = (0,0,1).

Найдите площадь треугольника, используя оба выражения. Обсудите. Треугольник может быть одной из граней тетраэдра.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.34

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$ $M$ с элементами

(M)_{jk} = x_{k}^{j-1}, \qquad j,k = 1,2,3.

Найдите определитель этой матрицы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.35

Перманент и определитель матрицы $M$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ определяются соответственно как

\operatorname {perm}(M) := \sum _{\pi \in S_{n}} \left(\prod _{j=1}^{n} M_{j,\pi (j)}\right), \qquad \operatorname {det}\left(M\right) := \sum _{\pi \in S_{n}} (-1)^{\operatorname {sgn}(\pi )} \left(\prod _{j=1}^{n} M_{j,\pi (j)}\right)

где $S_{n}$ обозначает симметрическую группу на множестве из $n$ символов. Для матрицы $A$ размера $n \times n$ и матрицы $B$ размера $m \times m$ известно, что

\operatorname {det}\left(A \otimes B\right) \equiv (\operatorname {det}\left(A\right))^{m}(\operatorname {det}\left(B\right))^{n}.

Изучите $\operatorname {perm}(A \otimes B)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.36

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ — положительно определённые матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что $\operatorname {tr}(A+B) \geq \operatorname {tr}(A)$ .

(ii)

Пусть $C$ , $D$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Верно ли, что $\operatorname {tr}(CC^{*}DD^{*}) \leq \operatorname {tr}(CC^{*})\operatorname {tr}(DD^{*})$ ?

Задача 4.2.37

Пусть $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $D$ обратима. Рассмотрим матрицу $M$ размера $(2n) \times (2n)$

M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(M\right) = \operatorname {det}\left(AD-BD^{-1}CD\right)$ , используя тождество

\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{n} & 0_{n} \\ -D^{-1}C & I_{n} \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} A-BD^{-1}C & B \\ 0_{n} & D \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.38

Пусть $\mu \in \mathbb {R}$ и $A$ — матрица размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что определитель матрицы размера $4 \times 4$

\begin{pmatrix} -\mu I_{2} & A \\ A^{T} & -\mu I_{2} \end{pmatrix}

содержит только чётные степени $\mu$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.39

Рассмотрим обратимую матрицу $A$ размера $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.

Найдите матрицу перестановки $P$ такую, что $PA^{-1}P^{-1} = A$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.40

Пусть $x, \epsilon \in \mathbb {R}$ . Покажите, что определитель симметричной матрицы $A(x,\epsilon )$ размера $n \times n$

A(x,\epsilon ) = \begin{pmatrix} x+\epsilon & x & & x \\ x & x+\epsilon & & x \\ & & \ddots & \\ x & x & & x+\epsilon \end{pmatrix}

задаётся формулой $\operatorname {det}\left(A(x,\epsilon )\right) = \epsilon^{n-1}(nx+\epsilon )$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.41

Покажите, что определитель матрицы $\Omega$ размера $2n \times 2n$

\Omega = \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \otimes I_{n}

задаётся формулой $\operatorname {det}\left(\Omega \right) = \left(\operatorname {det}\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)\right)^{n} (\operatorname {det}\left(I_{n}\right))^{2} = 1$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.42

Дана $2 \times 2 \times 2$ гиперматрица $A = (a_{jk\ell })$ , $j,k,\ell = 0,1$ и матрица $S$ размера $2 \times 2$

S = \begin{pmatrix} s_{00} & s_{01} \\ s_{10} & s_{11} \end{pmatrix}.

Умножение $AS$ , которое снова является гиперматрицей размера $2 \times 2$ , определяется как

(AS)_{jk\ell } := \sum _{r=0}^{1} a_{jkr}s_{r\ell }.

Предположим, что $\operatorname {det}\left(S\right) = 1$ , т.е. $S \in SL(2,\mathbb {C})$ . Покажите, что $\operatorname {Det}(AS) = \operatorname {Det}(A)$ . Это типичная задача для применения компьютерной алгебры.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.43

Символ Леви-Чивиты (также называемый вполне антисимметричным постоянным тензором) определяется как

\epsilon _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}} := \begin{cases} +1, & \text{если } j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n} \text{ — чётная перестановка } 12\ldots n \\ -1, & \text{если } j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n} \text{ — нечётная перестановка } 12\ldots n \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases}

Пусть $\delta_{jk}$ — символ Кронекера. Покажите, что

\epsilon _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}} \epsilon _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}} = \operatorname {det}\left(\begin{array}{llll} \delta _{j_{1}k_{1}} & \delta _{j_{2}k_{1}} & & \delta _{j_{n}k_{1}} \\ \delta _{j_{1}k_{2}} & \delta _{j_{2}k_{2}} & & \delta _{j_{n}k_{2}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \delta _{j_{1}k_{n}} & \delta _{j_{2}k_{n}} & \ldots & \delta _{j_{n}k_{n}} \end{array}\right).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику