Банк задач по математике

Задача 25.2.1

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\beta , \epsilon \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

\exp (\beta (A+B)) \equiv \exp (\beta A) \left(I_{n} + \int _{0}^{\beta } d\epsilon \, e^{-\epsilon A} B e^{\epsilon (A+B)}\right).

Умножьте обе стороны слева на $\exp (-\beta A)$ и продифференцируйте по $\beta$ .

?

Задача 25.2.2

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $A(\alpha )$ размера $n \times n$ , элементы которой гладко зависят от $\alpha$ . Тогда справедливо тождество

\frac{d}{d\alpha } e^{A(\alpha )} \equiv \int _{0}^{1} e^{(1-s)A(\alpha )} \frac{dA(\alpha )}{d\alpha } e^{sA(\alpha )} \, ds \equiv \int _{0}^{1} e^{sA(\alpha )} \frac{dA(\alpha )}{d\alpha } e^{(1-s)A(\alpha )} \, ds.

Пусть $n = 2$ и

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix} \Rightarrow \frac{dA(\alpha )}{d\alpha } = \begin{pmatrix} -\sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) \\ \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \end{pmatrix}.

Вычислите правые части этих тождеств.

?

Задача 25.2.3

Пусть $A$ , $B$ — положительно определённые матрицы. Тогда справедливо интегральное представление ( $x \geq 0$ )

\ln (A+xB) - \ln (A) \equiv \int _{0}^{\infty } (A+uI_{n})^{-1} xB (A+xB+uI_{n})^{-1} \, du.

Пусть

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Вычислите левую и правую части интегрального представления.

?

Задача 25.2.4

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

A(t) = \begin{pmatrix} \cos (t) & -\sin (t) \\ \sin (t) & \cos (t) \end{pmatrix}, \qquad B(t) = \int _{0}^{t} A(s) \, ds.

Найдите коммутатор $[A(t), B(t)]$ . Обсудите. При каком условии $[A(t), B(t)] = 0_{2}$ ?

?

Задача 25.2.5

Пусть $P_{j}$ ( $j = 0, 1, 2, \ldots$ ) — многочлены Лежандра

P_{0}(x) = 1, \qquad P_{1}(x) = x, \qquad P_{2}(x) = \frac{1}{2}(3x^{2}-1), \qquad \ldots .

Покажите, что бесконечномерная матрица $A = (a_{jk})$

a_{jk} := \int _{-1}^{+1} P_{j}(x) \frac{dP_{k}(x)}{dx} \, dx

где $j, k = 0, 1, \ldots$ , имеет вид

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}.

Заметьте, что эта матрица не симметрична. Матрицу $A$ можно рассматривать как линейный оператор в гильбертовом пространстве $\ell_{2}(\mathbb {N}^{0})$ . Верно ли, что $\left\| A\right\| < \infty$ ?

?

Задача 25.2.6

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — положительно определённые матрицы размера $n \times n$ . Тогда (неравенство Либа)

\operatorname {tr}(e^{\ln (A)-\ln (B)+\ln (C)}) \leq \operatorname {tr}\int _{0}^{\infty } A(B+uI_{n})^{-1} C(B+uI_{n})^{-1} \, du.

?

(i)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}.

Вычислите левую и правую части неравенства.

(ii)

Покажите, что достаточным условием равенства является коммутативность $A$ , $B$ , $C$ . Однако это условие не является необходимым.

Дополнительные задачи