Интегрирование и матрицы

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$

Найдите

Затем вычислите коммутатор $[F(s), G(t)]$.

Рассмотрим аналитическую функцию $f : \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$, $f(z) = z^{2}$, и матрицу $2 \times 2$

Вычислите $f(A)$, применяя интегральную теорему Коши.

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Если $\lambda$ не является собственным значением $A$, то матрица $(A - \lambda I_{n})$ обратима, а именно резольвента

Пусть $\lambda_{j}$ — собственные значения $A$. Для $\left|\lambda \right| \geq a$, где $a$ — любая положительная постоянная, большая всех $\left|\lambda_{j}\right|$, резольвента может быть разложена в виде

Вычислите

Пусть $\mathbb {C}^{n \times N}$ — векторное пространство всех комплексных матриц $n \times N$. Пусть $Z \in \mathbb {C}^{n \times N}$. Тогда $Z^{*} \equiv \overline{Z}^{T}$, где $T$ обозначает транспонирование. Определим гауссову меру $\mu$ на $\mathbb {C}^{n \times N}$ формулой

где $dZ$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {C}^{n \times N}$. Пространство Фока $\mathcal{F}(\mathbb {C}^{n \times N})$ состоит из всех целых функций на $\mathbb {C}^{n \times N}$, интегрируемых с квадратом относительно гауссовой меры $d\mu (Z)$. Со скалярным произведением

получаем гильбертово пространство. Покажите, что это гильбертово пространство обладает воспроизводящим ядром $K$. Это означает непрерывную функцию $K(Z, Z') : \mathbb {C}^{n \times N} \times \mathbb {C}^{n \times N} \rightarrow \mathbb {C}$ такую, что

для всех $Z \in \mathbb {C}^{n \times N}$ и $f \in \mathcal{F}(\mathbb {C}^{n \times N})$.

Пусть $A$ — положительно определённая матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$, т.е.$\overrightarrow {x}^{T}A\overrightarrow {x} > 0$ для всех $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$. Вычислите

Пусть $V$ — унитарная матрица размера $N \times N$, т.е.$VV^{*} = I_{N}$. Собственные значения матрицы $V$ лежат на единичной окружности, то есть могут быть записаны в виде $\exp (i\theta_{n})$, $\theta_{n} \in \mathbb {R}$. Функция $f(V) = f(\theta_{1}, \ldots , \theta_{N})$ называется класс-функцией, если $f$ симметрична по всем своим переменным. Вейль предложил явную формулу для усреднения класс-функций по круговому унитарному ансамблю

Таким образом, мы интегрируем функцию $f(V)$ по $U(N)$, параметризуя группу углами $\theta_{i}$ и используя формулу Вейля для преобразования интеграла в $N$-кратный интеграл по $\theta_{i}$. По определению мера Хаара $dV$ инвариантна относительно $V \rightarrow \widetilde{U}V\widetilde{U}^{*}$, где $\widetilde{U}$ — произвольная унитарная матрица размера $N \times N$. Матрица $V$ всегда может быть диагонализована унитарной матрицей, т.е.

где $W$ — унитарная матрица размера $N \times N$. Таким образом, интеграл по $V$ можно записать как интеграл по элементам матрицы $W$ и по собственным фазам $\theta_{n}$. Поскольку мера инвариантна относительно унитарных преобразований, интеграл по элементам матрицы $U$ можно вычислить непосредственно, оставив интеграл по собственным фазам. Покажите, что для класс-функции $f$ справедливо

Пусть $A$ — положительно определённая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Пусть $\overrightarrow {q}$ и $\overrightarrow {J}$ — вектор-столбцы в $\mathbb {R}^{n}$. Вычислите

Заметим, что

Пусть $A$ — положительно определённая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$, т.е.все её собственные значения, которые вещественны, положительны. Также $A^{T} = A$. Рассмотрим аналитическую функцию $f : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$

Вычислите преобразование Фурье функции $f$. Преобразование Фурье определяется как

где $\overrightarrow {k}\cdot \overrightarrow {x} \equiv \overrightarrow {k}^{T}\overrightarrow {x} \equiv k_{1}x_{1} + \cdots + k_{n}x_{n}$ и $d\overrightarrow {x} = dx_{1}\ldots dx_{n}$. Обратное преобразование Фурье задаётся формулой

где $d\overrightarrow {k} = dk_{1}\ldots dk_{n}$. При $a > 0$ имеем

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$. Пусть $\omega , \mu \in \mathbb {R}$. Предположим, что

и $\mu > \omega$. Тогда имеем

Вычислите левую и правую части (1) для матрицы $A = \sigma_{1}$.

Рассмотрим дифференцируемое многообразие

Пусть $A$, $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Пусть $\beta , \epsilon \in \mathbb {R}$. Покажите, что

Умножьте обе стороны слева на $\exp (-\beta A)$ и продифференцируйте по $\beta$.

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$. Рассмотрим матрицу $A(\alpha )$ размера $n \times n$, элементы которой гладко зависят от $\alpha$. Тогда справедливо тождество

Пусть $n = 2$ и

Вычислите правые части этих тождеств.

Пусть $A$, $B$ — положительно определённые матрицы. Тогда справедливо интегральное представление ($x \geq 0$)

Пусть

Вычислите левую и правую части интегрального представления.

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

Найдите коммутатор $[A(t), B(t)]$. Обсудите. При каком условии $[A(t), B(t)] = 0_{2}$?

Пусть $P_{j}$ ($j = 0, 1, 2, \ldots$) — многочлены Лежандра

Покажите, что бесконечномерная матрица $A = (a_{jk})$

где $j, k = 0, 1, \ldots$, имеет вид

Заметьте, что эта матрица не симметрична. Матрицу $A$ можно рассматривать как линейный оператор в гильбертовом пространстве $\ell_{2}(\mathbb {N}^{0})$. Верно ли, что $\left\| A\right\| < \infty$?

Пусть $A$, $B$, $C$ — положительно определённые матрицы размера $n \times n$. Тогда (неравенство Либа)