Банк задач по математике

Задача 24.2.1

(i)(ii)(iii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ . Предположим, что элементы $A$ и $B$ являются аналитическими функциями от $x$ .

?

(i)

Покажите, что

\frac{d}{dx}(AB) = \left( \frac{d}{dx} A \right) B + A \left( \frac{d}{dx} B \right).

(ii)

Покажите, что

\frac{d}{dx}(A \otimes B) = \left( \frac{d}{dx} A \right) \otimes B + A \otimes \left( \frac{d}{dx} B \right).

(iii)

Покажите, что

\frac{d}{dx}(A \bullet B) = \left( \frac{d}{dx} A \right) \bullet B + A \bullet \left( \frac{d}{dx} B \right)

где $\bullet$ обозначает произведение Адамара.

Задача 24.2.2

Пусть $A$ — матрица $m \times n$ над $\mathbb {R}$ и

\overrightarrow {x} := (1, x, x^{2}, \ldots , x^{m-1})^{T}, \quad \overrightarrow {y} := (1, y, y^{2}, \ldots , y^{n-1})^{T}.

Найдите экстремумы функции $p(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = \overrightarrow {x}^{T} A \overrightarrow {y}$ .

?

Задача 24.2.3

(i) Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Пусть $A(\epsilon )$ — обратимая матрица $n \times n$ . Предположим, что элементы $a_{jk}$ являются аналитическими функциями от $\epsilon$ . Покажите, что

\operatorname {tr}\left( A^{-1}(\epsilon ) \frac{d}{d\epsilon } A(\epsilon ) \right) = \frac{1}{\operatorname {det}\left(A(\epsilon )\right)} \frac{d}{d\epsilon } \operatorname {det}\left(A(\epsilon )\right).

(ii) Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

M(\epsilon ) = \begin{pmatrix} f_{1}(\epsilon ) & f_{2}(\epsilon ) \\ f_{3}(\epsilon ) & f_{4}(\epsilon ) \end{pmatrix}

где $f_{j}$ ( $j = 1,2,3,4$ ) — гладкие функции и $\operatorname {det}\left(M(\epsilon )\right) > 0$ для всех $\epsilon$ . Покажите, что

\operatorname {tr}((dM(\epsilon )) M(\epsilon )^{-1}) = d(\ln (\operatorname {det}\left(M(\epsilon )\right)))

где $d$ — внешняя производная.

?

Задача 24.2.4

Пусть $f_{j} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ( $j = 1, \ldots , n$ ) — аналитические функции. Рассмотрим определитель (вронскиан)

W(x) = \det \begin{pmatrix} f_{1}(x) & f_{2}(x) & \cdots & f_{n}(x) \\ f_{1}'(x) & f_{2}'(x) & \cdots & f_{n}'(x) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_{1}^{(n-1)}(x) & f_{2}^{(n-1)}(x) & \cdots & f_{n}^{(n-1)}(x) \end{pmatrix}

где $f_{j}^{(n-1)}$ обозначает $(n-1)$ -ю производную $f_{j}$ . Если вронскиан этих функций не равен тождественно $0$ на $\mathbb {R}$ , то эти функции образуют линейно независимое множество. Пусть $n = 3$ и $f_{1}(x) = x$ , $f_{2}(x) = e^{x}$ , $f_{3}(x) = e^{2x}$ . Найдите вронскиан. Обсудите результат.

?

Задача 24.2.5

Пусть $f_{1}, f_{2}, f_{3} : \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывно дифференцируемые функции. Найдите определитель матрицы $3 \times 3$ $A = (a_{jk})$

a_{jk} := \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}.

?

Задача 24.2.6

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $\overrightarrow {u} \in \mathbb {C}^{n}$ рассматривается как вектор-столбец и

\partial := (\partial /\partial x_{1} \ \cdots \ \partial /\partial x_{n})^{T}.

Верно ли, что

[\overrightarrow {u}^{*} A \partial , \overrightarrow {u}^{*} B \partial ] = \overrightarrow {u}^{*} [A, B] \partial \ ?

?

Задача 24.2.7

Пусть $V(\alpha )$ — матрица $2 \times 2$ , все элементы которой являются гладкими функциями от $\alpha$ . Вычислите $dV(\alpha )/d\alpha$ , а затем найдите условия на элементы, при которых $[dV(\alpha )/d\alpha , V(\alpha )] = 0_{2}$ .

?

Задача 24.2.8

Пусть $j$ — положительное целое число. Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Вычислите

\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon } ((A + \epsilon B)^{j} - A^{j}), \quad \left. \frac{d}{d\epsilon } \operatorname {tr}(A + \epsilon B)^{j} \right|_{\epsilon = 0}.

?

Задача 24.2.9

Найдите дифференциальное уравнение в частных производных, задаваемое условием

\det \begin{pmatrix} 0 & \partial u/\partial x_{1} & \partial u/\partial x_{2} \\ \partial u/\partial x_{1} & \partial ^{2} u/\partial x_{1}^{2} & \partial ^{2} u/\partial x_{1} \partial x_{2} \\ \partial u/\partial x_{2} & \partial ^{2} u/\partial x_{2} \partial x_{1} & \partial ^{2} u/\partial x_{2}^{2} \end{pmatrix} = 0.

Найдите нетривиальное решение этого дифференциального уравнения в частных производных.

?

Задача 24.2.10

(i)(ii)

Пусть $\phi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — аналитическая функция. Рассмотрим матрицы

A(t) = \begin{pmatrix} e^{i\phi (t)} & 1 \\ 1 & e^{i d\phi (t)/dt} \end{pmatrix}, \quad B(t) = \begin{pmatrix} 1 & e^{i\phi (t)} \\ e^{i d\phi (t)/dt} & 1 \end{pmatrix}.

?

(i)

Найдите дифференциальное уравнение для $\phi$ из условия $\operatorname {tr}(AB) = 0$ .

(ii)

Найдите дифференциальное уравнение для $\phi$ из условия $\operatorname {det}\left(AB\right) = 0$ .

Задача 24.2.11

Рассмотрим четыре матрицы $6 \times 6$

\beta _{0} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \beta _{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\beta _{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta _{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

и $\psi = (E_{1} \ E_{2} \ E_{3} \ cB_{1} \ cB_{2} \ cB_{3})^{T}$ . Покажите, что

\beta _{0} \frac{\partial }{c \partial t} \psi + \beta _{1} \frac{\partial }{\partial x_{1}} \psi + \beta _{2} \frac{\partial }{\partial x_{2}} \psi + \beta _{3} \frac{\partial }{\partial x_{3}} \psi = (0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0)^{T}

представляют собой уравнения Максвелла

\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \overrightarrow {E}}{\partial t} = \nabla \times \overrightarrow {B}, \quad -\frac{\partial \overrightarrow {B}}{\partial t} = \nabla \times \overrightarrow {E}.

?

Задача 24.2.12

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули, а $f_{j}(x_{1}, x_{2})$ ( $j = 1,2,3$ ) — вещественнозначные гладкие функции $f_{j} : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

N(x_{1}, x_{2}) = f_{1} \sigma _{1} + f_{2} \sigma _{2} + \sigma _{3} f_{3} \equiv \begin{pmatrix} f_{3} & -if_{2} + f_{1} \\ if_{2} + f_{1} & -f_{3} \end{pmatrix}.

Найдите $dN$ , $N^{*}$ . Затем вычислите $d(N^{*} dN)$ . Найдите условия на $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ , при которых $d(N^{*} dN) = 0_{2}$ .

?

Задача 24.2.13

Пусть $f_{11}, f_{22}, f_{33}$ — аналитические функции $f_{jj} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

M(x) = \begin{pmatrix} f_{11}(x) & 0 & 0 & 0 \\ 1 & f_{22}(x) & 0 & 1 \\ 0 & 0 & f_{33}(x) & 1 \\ f_{11}'(x) & f_{22}'(x) & f_{33}'(x) & 0 \end{pmatrix}

где $'$ обозначает дифференцирование по $x$ . Найдите определитель матрицы и запишите обыкновенное дифференциальное уравнение, которое следует из $\operatorname {det}\left(M(x)\right) = 0$ . Найдите решения этого дифференциального уравнения.

?

Дополнительные задачи