Дифференцирование и матрицы

(i) Рассмотрим матрицу поворота $2 \times 2$

с $\operatorname {det}\left(R(\alpha )\right) = 1$. Сохраняется ли определитель при повторном дифференцировании $R(\alpha )$ по $\alpha$? (ii) Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

с $\operatorname {det}\left(S(\alpha )\right) = -1$. Сохраняется ли определитель при повторном дифференцировании $S(\alpha )$ по $\alpha$?

Пусть $f_{jk} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — аналитические функции, где $j, k = 1, 2$ и $F(\epsilon ) = (f_{jk}(\epsilon ))$. Найдите дифференциальные уравнения для $F(\epsilon )$, такие что

Рассмотрим обратимую матрицу $2 \times 2$

Покажите, что $d(\ln (\operatorname {det}\left(A(x)\right))) = \operatorname {tr}(A^{-1}(x) dA(x))$, где $d$ обозначает внешнюю производную.

(i) Рассмотрим аналитическую функцию $\overrightarrow {f} : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$

Покажите, что эта функция допускает (единственную) неподвижную точку $(0,0)$. Найдите функциональную матрицу в неподвижной точке

(ii) Рассмотрим аналитическую функцию $\overrightarrow {g} : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$

Покажите, что эта функция допускает (единственную) неподвижную точку $(0,0)$. Найдите функциональную матрицу в неподвижной точке

(iii) Перемножьте две матрицы, найденные в (i) и (ii). (iv) Найдите композитную функцию $\overrightarrow {h} : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$

Покажите, что эта функция также допускает неподвижную точку $(0,0)$. Найдите функциональную матрицу в этой неподвижной точке

Сравните эту матрицу с матрицей, найденной в (iii).

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

Вычислите $dV(t)/dt$, а затем найдите коммутатор $[dV(t)/dt, V(t)]$. Обсудите результат.

Пусть $A$ — матрица $n \times n$. Предположим, что обратная матрица к $A$ существует, т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) \neq 0$. Тогда обратную матрицу $B = A^{-1}$ можно вычислить как

Примените эту формулу к матрице $2 \times 2$ $A$ с $\operatorname {det}\left(A\right) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \neq 0$.

Пусть $Q$ и $P$ — симметричные матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$, т.е. $Q = Q^{T}$ и $P = P^{T}$. Предположим, что $P^{-1}$ существует. Найдите максимум функции $f : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$

при условии $\overrightarrow {x}^{T} P \overrightarrow {x} = 1$. Используйте метод множителей Лагранжа.

Пусть $\Phi : \mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ — аналитическая функция, где $(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = (x_{1}, \ldots , x_{n}, y_{1}, \ldots , y_{n}) \in \mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}^{n}$. Определитель Монжа-Ампера $M(\Phi )$ определяется как

Пусть $n = 2$ и

Найдите определитель Монжа-Ампера и условия на $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$, при которых $M(\Phi ) = 0$.

Рассмотрим матрицу $m \times m$ $F(\overrightarrow {x}) = (f_{jk}(\overrightarrow {x}))$ ($j, k = 1, \ldots , m$), где $f_{jk} : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ — аналитические функции. Предположим, что $F(\overrightarrow {x})$ обратима для всех $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$. Тогда имеют место тождества ($j = 1, \ldots , m$)

и

Дифференцирование понимается поэлементно. Примените эти тождества к матрице ($m = 2, n = 1$)

Пусть $A$ — обратимая матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Рассмотрим функции

где $j = 1, \ldots , n$, $\overrightarrow {c}_{j}$ — $j$-й столбец обратной матрицы к $A$, $\overrightarrow {e}_{j}$ — $j$-й столбец единичной матрицы $n \times n$. Это означает, что $\overrightarrow {e}_{1}, \ldots , \overrightarrow {e}_{n}$ — стандартный базис (в виде столбцовых векторов) в $\mathbb {R}^{n}$. Векторы $\overrightarrow {c}_{j}$ определяются минимизацией $E_{j}$ по $\overrightarrow {c}_{j}$. Примените этот метод, чтобы найти обратную матрицу к матрице $3 \times 3$

Пусть $\overrightarrow {f}$ — функция из $U$, открытого подмножества $\mathbb {R}^{m}$, в $\mathbb {R}^{n}$. Предположим, что компонентная функция $f_{j}$ ($j = 1, \ldots , n$) обладает частными производными первого порядка. Тогда мы можем сопоставить матрицу $n \times m$

где $\overrightarrow {p} \in U$. Эта матрица называется матрицей Якоби функции $\overrightarrow {f}$ в точке $\overrightarrow {p}$. Когда $m = n$, определитель квадратной матрицы $\overrightarrow {f}$ называется якобианом функции $\overrightarrow {f}$. Пусть

и $\overrightarrow {f} : A \times B \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ с $f_{1}(r, \theta ) = r \cos (\theta )$, $f_{2}(r, \theta ) = r \sin (\theta )$. Найдите матрицу Якоби и якобиан.

Рассмотрим матрицу вращения

где $\omega$ — фиксированная частота. Найдите матрицу $2 \times 2$

и покажите, что она эрмитова.

Пусть $GL(m, \mathbb {C})$ — полная линейная группа над $\mathbb {C}$. Эта группа Ли состоит из всех невырожденных матриц $m \times m$. Пусть $G$ — подгруппа Ли группы $GL(m, \mathbb {C})$. Предположим, что $u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{n}$ — координатная система на $G$ в некоторой окрестности $I_{m}$, единичной матрицы $m \times m$, и что $X(u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{m})$ — точка в этой окрестности. Матрица $dX$ дифференциальных 1-форм содержит $n$ линейно независимых дифференциальных 1-форм, поскольку $n$-мерная группа Ли $G$ гладко вложена в $GL(m, \mathbb {C})$. Рассмотрим матрицу дифференциальных 1-форм

Матрица $\Omega$ дифференциальных 1-форм содержит $n$ линейно независимых из них.

Рассмотрим $GL(m, \mathbb {R})$ и его подгруппу Ли. Мы интерпретируем каждый элемент $X$ группы $G$ как линейное преобразование на векторном пространстве $\mathbb {R}^{m}$ вектор-строк $\overrightarrow {v} = (v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{n})$. Таким образом, $\overrightarrow {v} \rightarrow \overrightarrow {w} = \overrightarrow {v} X$. Покажите, что $d\overrightarrow {w} = \overrightarrow {w} \Omega$.

Рассмотрим компактную группу Ли $SO(2)$, состоящую из матриц

Вычислите $dX$ и $X^{-1} dX$.

Пусть $n$ — размерность группы Ли $G$. Поскольку векторное пространство дифференциальных 1-форм в единичном элементе является $n$-мерным векторным пространством, в $G$ существует ровно $n$ линейно независимых левоинвариантных дифференциальных 1-форм. Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots , \sigma_{n}$ — такая система. Рассмотрим группу Ли

Пусть

Рассмотрим группу Ли, состоящую из матриц

Вычислите $X^{-1}$ и $X^{-1} dX$. Найдите левоинвариантные дифференциальные 1-формы и левоинвариантный элемент объёма.

Пусть $A$ — симметричная матрица $2 \times 2$

над $\mathbb {R}$. Определим

Покажите, что

Рассмотрим матрицу

Найдите функцию (характеристический многочлен) $p(\lambda ) = \operatorname {det}\left(A - \lambda I_{2}\right)$. Найдите собственные значения $A$, решив уравнение $p(\lambda ) = 0$. Найдите минимумы функции $f(\lambda ) = \left|p(\lambda )\right|$. Обсудите.

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$. Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

Найдите $\exp (tB)$, где $t \in \mathbb {R}$, и тем самым решите задачу Коши для матричного дифференциального уравнения

Производная Фреше матричной функции $f : \mathbb {C}^{n \times n}$ в точке $X \in \mathbb {C}^{n \times n}$ — это линейное отображение $L_{X} : \mathbb {C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb {C}^{n \times n}$ такое, что для всех $Y \in \mathbb {C}^{n \times n}$

Вычислите производную Фреше функции $f(X) = X^{2}$.

Пусть $A$, $B$ — матрицы $n \times n$. Предположим, что элементы $A$ и $B$ являются аналитическими функциями от $x$.

Пусть $A$ — матрица $m \times n$ над $\mathbb {R}$ и

Найдите экстремумы функции $p(\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}) = \overrightarrow {x}^{T} A \overrightarrow {y}$.

(i) Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$. Пусть $A(\epsilon )$ — обратимая матрица $n \times n$. Предположим, что элементы $a_{jk}$ являются аналитическими функциями от $\epsilon$. Покажите, что

(ii) Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

где $f_{j}$ ($j = 1,2,3,4$) — гладкие функции и $\operatorname {det}\left(M(\epsilon )\right) > 0$ для всех $\epsilon$. Покажите, что

где $d$ — внешняя производная.

Пусть $f_{j} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ($j = 1, \ldots , n$) — аналитические функции. Рассмотрим определитель (вронскиан)

где $f_{j}^{(n-1)}$ обозначает $(n-1)$-ю производную $f_{j}$. Если вронскиан этих функций не равен тождественно $0$ на $\mathbb {R}$, то эти функции образуют линейно независимое множество. Пусть $n = 3$ и $f_{1}(x) = x$, $f_{2}(x) = e^{x}$, $f_{3}(x) = e^{2x}$. Найдите вронскиан. Обсудите результат.

Пусть $f_{1}, f_{2}, f_{3} : \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывно дифференцируемые функции. Найдите определитель матрицы $3 \times 3$ $A = (a_{jk})$

Пусть $A$, $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Пусть $\overrightarrow {u} \in \mathbb {C}^{n}$ рассматривается как вектор-столбец и

Верно ли, что

Пусть $V(\alpha )$ — матрица $2 \times 2$, все элементы которой являются гладкими функциями от $\alpha$. Вычислите $dV(\alpha )/d\alpha$, а затем найдите условия на элементы, при которых $[dV(\alpha )/d\alpha , V(\alpha )] = 0_{2}$.

Пусть $j$ — положительное целое число. Пусть $A$, $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Вычислите

Найдите дифференциальное уравнение в частных производных, задаваемое условием

Найдите нетривиальное решение этого дифференциального уравнения в частных производных.

Пусть $\phi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — аналитическая функция. Рассмотрим матрицы

Рассмотрим четыре матрицы $6 \times 6$

и $\psi = (E_{1} \ E_{2} \ E_{3} \ cB_{1} \ cB_{2} \ cB_{3})^{T}$. Покажите, что

представляют собой уравнения Максвелла

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули, а $f_{j}(x_{1}, x_{2})$ ($j = 1,2,3$) — вещественнозначные гладкие функции $f_{j} : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$. Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

Найдите $dN$, $N^{*}$. Затем вычислите $d(N^{*} dN)$. Найдите условия на $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$, при которых $d(N^{*} dN) = 0_{2}$.

Пусть $f_{11}, f_{22}, f_{33}$ — аналитические функции $f_{jj} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

где $'$ обозначает дифференцирование по $x$. Найдите определитель матрицы и запишите обыкновенное дифференциальное уравнение, которое следует из $\operatorname {det}\left(M(x)\right) = 0$. Найдите решения этого дифференциального уравнения.