Задачи главы

Четыре матрицы Дирака задаются как

и

Определим матрицы $4 \times 4$

где $j = 1, 2, 3$, $k = 2, 3, 4$.

Пусть $P$ — первичная (примарная) $n \times n$ матрица перестановки

а $V$ — унитарная диагональная $n \times n$ матрица ($\zeta \in \mathbb {C}$)

где $\zeta^{n} = 1$. Тогда множество матриц

образует базис в гильбертовом пространстве всех $n \times n$ матриц со скалярным произведением

для $n \times n$ матриц $A$ и $B$. Запишите этот базис для $n = 2$.

Рассмотрим два нормированных вектора

в $\mathbb {R}^{2}$. Найдите условие на $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$, при котором

Рассмотрим четыре ненормальные $2 \times 2$ матрицы

Покажите, что они образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $2 \times 2$ матриц со скалярным произведением $\left\langle X, Y \right\rangle = \operatorname {tr}(XY^{*})$.

Рассмотрим гильбертово пространство $M_{d}(\mathbb {C})$ матриц $d \times d$ со скалярным произведением $\left\langle A, B \right\rangle := \operatorname {tr}(AB^{*})$, $A, B \in M_{d}(\mathbb {C})$. Рассмотрим ортогональный базис из $d^{2}$ эрмитовых $d \times d$ матриц $B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{d^{2}}$, т.е.

поскольку $B_{k}^{*} = B_{k}$ для эрмитовой матрицы. Пусть $M$ — эрмитова $d \times d$ матрица. Пусть

Даны $m_{j}$ и $B_{j}$ ($j = 1, \ldots , d^{2}$). Найдите $M$.

Пусть $A$, $B$ — эрмитовы матрицы. Найдите скалярное произведение

Верно ли, что $\left\langle A \otimes B, B \otimes A \right\rangle \geq 0$? Докажите или опровергните.

Рассмотрим гильбертово пространство матриц $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Пусть $A$, $B$ — две матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Предположим, что $\left\langle A, B \right\rangle = 0$. Вычислите

Рассмотрим гильбертово пространство $\mathcal{H} = \mathbb {C}^{4}$ и эрмитовы матрицы

Рассмотрим матрицу $16 \times 16$

действующую в гильбертовом пространстве $\mathbb {C}^{16}$, где $\lambda , \mu \geq 0$.

Рассмотрим гильбертово пространство матриц $2 \times 2$. Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ и

Найдите условия на $\alpha$ и $\beta$, при которых $\left\langle A(\alpha ), B(\beta ) \right\rangle = \frac{1}{2}$. Матрицы $A(\alpha )$, $B(\beta )$ содержат $\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_{3}$ при $\alpha = 0$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_{1}$ при $\alpha = \pi /2$.

Изучите случай

Расширьте матрицу $A(\alpha )$ до

Рассмотрим матрицы спина Паули $\sigma_{3}$, $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$. Покажите, что нормированные собственные векторы $\sigma_{3}$, $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$ образуют набор взаимно несмещённых базисов.

Рассмотрим три матрицы $4 \times 4$ $\sigma_{3} \otimes \sigma_{3}$, $\sigma_{1} \otimes \sigma_{1}$, $\sigma_{2} \otimes \sigma_{2}$. Найдите взаимно несмещённые базисы для этих матриц, применяя результат предыдущей задачи.

Обобщите результаты задач 11 и 12 на случай гильбертова пространства $\mathbb {C}^{8}$ с $\sigma_{3} \otimes \sigma_{3} \otimes \sigma_{3}$, $\sigma_{1} \otimes \sigma_{1} \otimes \sigma_{1}$, $\sigma_{2} \otimes \sigma_{2} \otimes \sigma_{2}$. Обобщите на $n$ кронекеровых произведений матриц спина Паули.

Пусть $d \geq 2$. Рассмотрим гильбертово пространство $\mathbb {C}^{d}$ и пусть $\overrightarrow {e}_{0}, \overrightarrow {e}_{1}, \ldots , \overrightarrow {e}_{d-1}$ — стандартный базис

Пусть $\omega_{d} := e^{i2\pi /d}$. Тогда мы можем построить новые ортонормированные базисы посредством

где $d$ базисов помечены индексом $b$, а $m$ отмечает состояние внутри базиса. Таким образом мы получаем взаимно несмещённые базисы.