Глава 22

Гильбертовы пространства и взаимно несмещённые базисы

[18/72%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

22.1 · Задачи главы[13/100%]

Задача 22.1.1

(i)(ii)

Четыре матрицы Дирака задаются как

\gamma _{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma _{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\gamma _{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma _{4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

\gamma _{5} = \gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\gamma _{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Определим матрицы $4 \times 4$

\sigma _{jk} := \frac{i}{2}[\gamma _{j}, \gamma _{k}], \qquad j < k

где $j = 1, 2, 3$ , $k = 2, 3, 4$ .

(i)

Вычислите $\sigma_{12}$ , $\sigma_{13}$ , $\sigma_{14}$ , $\sigma_{23}$ , $\sigma_{24}$ , $\sigma_{34}$ .

(ii)

Образуют ли 16 матриц

I_{4}, \ \gamma _{1}, \ \gamma _{2}, \ \gamma _{3}, \ \gamma _{4}, \ \gamma _{5}, \ \gamma _{5}\gamma _{1}, \ \gamma _{5}\gamma _{2}, \ \gamma _{5}\gamma _{3}, \ \gamma _{5}\gamma _{4}, \ \sigma _{12}, \ \sigma _{13}, \ \sigma _{14}, \ \sigma _{23}, \ \sigma _{24}, \ \sigma _{34}

базис в гильбертовом пространстве $M_{4}(\mathbb {C})$ ? Если да, является ли этот базис ортогональным?

Задача 22.1.2

Пусть $P$ — первичная (примарная) $n \times n$ матрица перестановки

P := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}

а $V$ — унитарная диагональная $n \times n$ матрица ( $\zeta \in \mathbb {C}$ )

V := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & & 0 \\ 0 & \zeta & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & \zeta ^{2} & & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \zeta ^{n-1} \end{pmatrix}

где $\zeta^{n} = 1$ . Тогда множество матриц

\left\{ P^{j}V^{k} : j, k = 0, 1, \ldots , n-1\right\}

образует базис в гильбертовом пространстве всех $n \times n$ матриц со скалярным произведением

\left\langle A, B \right\rangle := \frac{1}{n}\operatorname {tr}(AB^{*})

для $n \times n$ матриц $A$ и $B$ . Запишите этот базис для $n = 2$ .

Задача 22.1.3

Рассмотрим два нормированных вектора

\overrightarrow {v}(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {u}(\beta ) = \begin{pmatrix} \cos (\beta ) \\ \sin (\beta ) \end{pmatrix}

в $\mathbb {R}^{2}$ . Найдите условие на $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ , при котором

\left|\overrightarrow {v}^{*}(\alpha )\overrightarrow {u}(\beta )\right|^{2} = \frac{1}{2}.

Задача 22.1.4

Рассмотрим четыре ненормальные $2 \times 2$ матрицы

Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad R = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},

S = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad T = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Покажите, что они образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $2 \times 2$ матриц со скалярным произведением $\left\langle X, Y \right\rangle = \operatorname {tr}(XY^{*})$ .

Задача 22.1.5

Рассмотрим гильбертово пространство $M_{d}(\mathbb {C})$ матриц $d \times d$ со скалярным произведением $\left\langle A, B \right\rangle := \operatorname {tr}(AB^{*})$ , $A, B \in M_{d}(\mathbb {C})$ . Рассмотрим ортогональный базис из $d^{2}$ эрмитовых $d \times d$ матриц $B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{d^{2}}$ , т.е.

\left\langle B_{j}, B_{k} \right\rangle = \operatorname {tr}(B_{j}B_{k}) = d\delta _{jk}

поскольку $B_{k}^{*} = B_{k}$ для эрмитовой матрицы. Пусть $M$ — эрмитова $d \times d$ матрица. Пусть

m_{j} = \operatorname {tr}(B_{j}M) \qquad j = 1, \ldots , d^{2}.

Даны $m_{j}$ и $B_{j}$ ( $j = 1, \ldots , d^{2}$ ). Найдите $M$ .

Задача 22.1.6

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим гильбертово пространство $\mathcal{H}$ матриц $2 \times 2$ над комплексными числами. Покажите, что перемасштабированные матрицы спина Паули $\mu_{j} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_{j}$ , $j = 1, 2, 3$

\mu _{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mu _{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \mu _{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

а также перемасштабированная единичная матрица $2 \times 2$

\mu _{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ .

(ii)

Найдите ортонормированный базис, состоящий из эрмитовых матриц, в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ матриц $4 \times 4$ над $\mathbb {C}$ .

Задача 22.1.7

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы. Найдите скалярное произведение

\left\langle A \otimes B, B \otimes A \right\rangle .

Верно ли, что $\left\langle A \otimes B, B \otimes A \right\rangle \geq 0$ ? Докажите или опровергните.

Задача 22.1.8

Рассмотрим гильбертово пространство матриц $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $A$ , $B$ — две матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $\left\langle A, B \right\rangle = 0$ . Вычислите

\left\langle A \otimes A, B \otimes B \right\rangle , \qquad \left\langle A \otimes B, A \otimes B \right\rangle , \qquad \left\langle A \otimes B, B \otimes A \right\rangle .

Задача 22.1.9

(i)(ii)

Рассмотрим гильбертово пространство $\mathcal{H} = \mathbb {C}^{4}$ и эрмитовы матрицы

H = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Рассмотрим матрицу $16 \times 16$

K = \frac{1}{2}(H \otimes I_{4} + I_{4} \otimes H) - \lambda A \otimes A - \mu B \otimes B

действующую в гильбертовом пространстве $\mathbb {C}^{16}$ , где $\lambda , \mu \geq 0$ .

(i)

Рассмотрим матрицу перестановки

R = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Таким образом, обратная к $R$ существует. Вычислите $(R \otimes R)^{-1}K(R \otimes R)$ и коммутатор $[R \otimes R, K]$ . Обсудите.

(ii)

Рассмотрим матрицы перестановки

S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите коммутаторы $[S \otimes S, K]$ и $[T \otimes T, K]$ . Обсудите.

Задача 22.1.10

Рассмотрим гильбертово пространство матриц $2 \times 2$ . Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ и

A(\alpha ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad B(\beta ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \cos (\beta ) & \sin (\beta ) \\ \sin (\beta ) & -\cos (\beta ) \end{pmatrix}.

Найдите условия на $\alpha$ и $\beta$ , при которых $\left\langle A(\alpha ), B(\beta ) \right\rangle = \frac{1}{2}$ . Матрицы $A(\alpha )$ , $B(\beta )$ содержат $\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_{3}$ при $\alpha = 0$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_{1}$ при $\alpha = \pi /2$ .

Изучите случай

\left\langle A(\alpha ) \otimes A(\alpha )\right\rangle = \left\langle B(\beta ) \otimes B(\beta )\right\rangle = \frac{1}{4}.

Расширьте матрицу $A(\alpha )$ до

A(\alpha , \phi ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & e^{i\phi }\sin (\alpha ) \\ e^{-i\phi }\sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

Задача 22.1.11

Рассмотрим матрицы спина Паули $\sigma_{3}$ , $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ . Покажите, что нормированные собственные векторы $\sigma_{3}$ , $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ образуют набор взаимно несмещённых базисов.

Задача 22.1.12

Рассмотрим три матрицы $4 \times 4$ $\sigma_{3} \otimes \sigma_{3}$ , $\sigma_{1} \otimes \sigma_{1}$ , $\sigma_{2} \otimes \sigma_{2}$ . Найдите взаимно несмещённые базисы для этих матриц, применяя результат предыдущей задачи.

Обобщите результаты задач 11 и 12 на случай гильбертова пространства $\mathbb {C}^{8}$ с $\sigma_{3} \otimes \sigma_{3} \otimes \sigma_{3}$ , $\sigma_{1} \otimes \sigma_{1} \otimes \sigma_{1}$ , $\sigma_{2} \otimes \sigma_{2} \otimes \sigma_{2}$ . Обобщите на $n$ кронекеровых произведений матриц спина Паули.

Задача 22.1.13

(i)(ii)(iii)

Пусть $d \geq 2$ . Рассмотрим гильбертово пространство $\mathbb {C}^{d}$ и пусть $\overrightarrow {e}_{0}, \overrightarrow {e}_{1}, \ldots , \overrightarrow {e}_{d-1}$ — стандартный базис

\overrightarrow {e}_{0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {e}_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \ldots , \quad \overrightarrow {e}_{d-1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Пусть $\omega_{d} := e^{i2\pi /d}$ . Тогда мы можем построить новые ортонормированные базисы посредством

\overrightarrow {v}_{m;b} \equiv \left|m;b\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum _{n=0}^{d-1} \omega ^{bn(n-1)/2-nm}\overrightarrow {e}_{n}, \qquad b, m = 0, 1, \ldots , d-1

где $d$ базисов помечены индексом $b$ , а $m$ отмечает состояние внутри базиса. Таким образом мы получаем взаимно несмещённые базисы.

(i)

Рассмотрим $d = 2$ и $b = 0$ . Найдите базис $\left|0;0\right\rangle$ , $\left|1;0\right\rangle$ .

(ii)

Рассмотрим $d = 3$ и $b = 0$ . Найдите базис $\left|1;0\right\rangle$ , $\left|2;0\right\rangle$ , $\left|3;0\right\rangle$ .

(iii)

Рассмотрим $d = 4$ и $b = 0$ . Найдите базис $\left|0;0\right\rangle$ , $\left|1;0\right\rangle$ , $\left|2;0\right\rangle$ , $\left|3;0\right\rangle$ . Выясните, можно ли записать эти состояния в виде кронекерова произведения двух векторов из $\mathbb {C}^{2}$ , то есть являются ли состояния запутанными или нет?

22.2 · Дополнительные задачи[5/0%]

Задача 22.2.1

Предположим, что $\mathcal{B}_{1,1}$ и $\mathcal{B}_{1,2}$ — взаимно несмещённые базисы в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_{1}$ , а $\mathcal{B}_{2,1}$ и $\mathcal{B}_{2,2}$ — взаимно несмещённые базисы в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_{2}$ соответственно. Покажите, что

\left\{ \left|j_{1}\right\rangle \otimes \left|k_{1}\right\rangle \right\} , \quad \left\{ \left|j_{2}\right\rangle \otimes \left|k_{2}\right\rangle \right\} , \qquad j_{1}, j_{2} = 1, \ldots , d_{1}, \ \ k_{1}, k_{2} = 1, \ldots , d_{2}

являются взаимно несмещёнными базисами в конечномерном произведении гильбертовых пространств $\mathcal{H}_{1} \otimes \mathcal{H}_{2}$ с $\dim (\mathcal{H}_{1} \otimes \mathcal{H}_{2}) = d_{1} \cdot d_{2}$ , а скалярное произведение в произведении гильбертовых пространств задаётся как

(\left\langle j_{1}\right| \otimes \left\langle k_{1}\right|)(\left|j_{2}\right\rangle \otimes \left|k_{2}\right\rangle ) = \left\langle j_{1}\middle |j_{2}\right\rangle \left\langle k_{1}\middle |k_{2}\right\rangle .

Примените этот результат к $\mathcal{H}_{2} = \mathbb {C}^{3}$ с

\mathcal{B}_{2,1} = \left\{ \left|1\right\rangle _{2,1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \left|2\right\rangle _{2,1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \left|3\right\rangle _{2,1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}

\mathcal{B}_{2,2} = \left\{ \left|1\right\rangle _{2,2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \left|2\right\rangle _{2,2} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ -i/2 - 1/(2\sqrt{3}) \\ i/2 - 1/(2\sqrt{3}) \end{pmatrix}, \right\}

\left|3\right\rangle _{2,2} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ i/2 - 1/(2\sqrt{3}) \\ i/2 - 1/(2\sqrt{3}) \end{pmatrix}.

Задача 22.2.2

(i)(ii)

Векторное пространство всех $n \times n$ матриц над $\mathbb {C}$ образует гильбертово пространство со скалярным произведением, определённым как $\left\langle A, B \right\rangle := \operatorname {tr}(AB^{*})$ . Это порождает норму $\left\| A\right\|^{2} = \operatorname {tr}(AA^{*})$ .

(i)

Рассмотрим группу Ли $U(n)$ . Найдите две унитарные матрицы $2 \times 2$ $U_{1}$ , $U_{2}$ такие, что $\left\| U_{1} - U_{2}\right\|$ принимает максимальное значение.

(ii)

Являются ли матрицы

U_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad U_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

такой парой?

Задача 22.2.3

Рассмотрим два нормированных вектора

\overrightarrow {v}(\alpha , \phi ) = \begin{pmatrix} e^{i\phi }\cos (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {u}(\beta , \psi ) = \begin{pmatrix} e^{i\psi }\cos (\beta ) \\ \sin (\beta ) \end{pmatrix}

в $\mathbb {C}^{2}$ . Найдите условие на $\alpha , \beta , \phi , \psi \in \mathbb {R}$ такое, что

\left|\overrightarrow {v}^{*}(\alpha , \phi )\overrightarrow {u}(\beta , \psi )\right|^{2} = \frac{1}{2}.

Заметим, что

\overrightarrow {v}^{*}(\alpha , \phi )\overrightarrow {u}(\beta , \psi ) = e^{i(\psi -\phi )}\cos (\alpha )\cos (\beta ) + \sin (\alpha )\sin (\beta )

\left|\overrightarrow {v}^{*}(\alpha , \phi )\overrightarrow {u}(\beta , \psi )\right|^{2} = \cos ^{2}(\alpha ) + 2\cos (\psi -\phi )\cos (\alpha )\cos (\beta ) + \sin ^{2}(\beta ).

Задача 22.2.4

Рассмотрим два нормированных вектора

\overrightarrow {v}_{1}(\phi _{1}, \theta _{1}) = \begin{pmatrix} \cos (\phi _{1})\sin (\theta _{1}) \\ \sin (\phi _{1})\sin (\theta _{1}) \\ \cos (\theta _{1}) \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{2}(\phi _{2}, \theta _{2}) = \begin{pmatrix} \cos (\phi _{2})\sin (\theta _{2}) \\ \sin (\phi _{2})\sin (\theta _{2}) \\ \cos (\theta _{2}) \end{pmatrix},

Найдите условия на $\phi_{1}, \theta_{1}, \phi_{2}, \theta_{2}$ такие, что $\left|\overrightarrow {v}_{1}^{*}(\phi_{1}, \theta_{1})\overrightarrow {v}_{2}(\phi_{2}, \theta_{2})\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Задача 22.2.5

Рассмотрим гильбертово пространство $M(2, \mathbb {C})$ матриц $2 \times 2$ над комплексными числами со скалярным произведением $\left\langle A, B \right\rangle = \operatorname {tr}(AB^{*})$ и $A, B \in M(2, \mathbb {C})$ . Два взаимно несмещённых базиса заданы как

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

Постройте взаимно несмещённые базисы, применяя кронекерово произведение, для гильбертова пространства $M(4, \mathbb {C})$ .