Банк задач по математике

Задача 16.2.1

Рассмотрим звёздное произведение $A \star B$ двух матриц $2 \times 2$ $A$ и $B$ , а также произведение

A \diamond B := \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & 0 & b_{12} \\ b_{21} & 0 & 0 & b_{22} \\ 0 & a_{11} & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{21} & a_{22} & 0 \end{pmatrix} .

Покажите, что существует матрица перестановки $P$ размера $4 \times 4$ такая, что $P(A \star B) = A \diamond B$ .

?

Задача 16.2.2

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $A \star B$ — звёздное произведение.

?

(i)

Пусть $A$ и $B$ — нормальные матрицы. Покажите, что $A \star B$ нормальна.

(ii)

Пусть $A$ и $B$ — унитарные матрицы. Покажите, что $A \star B$ — унитарная матрица.

(iii)

Пусть $A$ и $B$ — нильпотентные матрицы. Покажите, что $A \star B$ — нильпотентная матрица.

Задача 16.2.3

Пусть $A$ , $B$ — обратимые матрицы $2 \times 2$ . Пусть $A \star B$ — звёздное произведение. Покажите, что

(A \star B)^{-1} = A^{-1} \star B^{-1} .

?

Задача 16.2.4

(i)(ii)(iii)(iv)

Пусть $A$ — матрица $3 \times 3$ , а $B$ — матрица $2 \times 2$ . Определим

A \star B := \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & 0 & 0 & b_{12} \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 \\ 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\ b_{21} & 0 & 0 & 0 & b_{22} \end{pmatrix} .

?

(i)

Найдите $\operatorname {det}\left(A \star B\right)$ и $\operatorname {tr}(A \star B)$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — нормальные матрицы. Будет ли $A \star B$ нормальной?

(iii)

Пусть $A$ , $B$ — унитарные. Будет ли $A \star B$ унитарной?

(iv)

Пусть

A = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = I_{3} .

Найдите $A \star B$ и вычислите собственные значения и нормированные собственные векторы $A \star I_{3}$ .

Задача 16.2.5

Пусть $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ — проекционные матрицы $2 \times 2$ . Является ли матрица $\Pi_{1} \star \Pi_{2}$ размера $4 \times 4$ проекционной матрицей? Примените это к $\Pi_{1} \star \Pi_{1}$ , где

\Pi _{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} .

?

Задача 16.2.6

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $U$ и $V$ — элементы группы Ли $SU(2)$ . Является ли $U \star V$ элементом группы Ли $SU(4)$ ?

(ii)

Пусть $X$ и $Y$ — элементы $SL(2, \mathbb {R})$ . Является ли $X \star Y$ элементом $SL(4, \mathbb {R})$ ?

Задача 16.2.7

Пусть $A$ , $B$ — нормальные матрицы $2 \times 2$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ и $\mu_{1}, \mu_{2}$ соответственно. Что можно сказать о собственных значениях $A \star B - B \star A$ ?

?

Задача 16.2.8

(i)(ii)(iii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ .

?

(i)

При каких условиях на $A$ и $B$ выполняется $\widehat{A \star B} = A \oplus B$ ?

(ii)

При каких условиях на $A$ и $B$ выполняется $\widehat{A \star B} = A \otimes B$ ?

(iii)

При каких условиях на $A$ и $B$ выполняется $A \star B = A \oplus B$ ?

Дополнительные задачи