Банк задач по математике

Задача 16.1.1

(i)(ii)

Рассмотрим унитарную и эрмитову матрицу $2 \times 2$

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} .

?

(i)

Найдите $U \star U$ . Является ли $U \star U$ унитарной? Является ли $U \star U$ эрмитовой?

(ii)

Найдите $\widehat{U \star U}$ . Является ли $\widehat{U \star U}$ унитарной? Является ли $\widehat{U \star U}$ эрмитовой?

Задача 16.1.2

(i)(ii)

Рассмотрим ненормальные матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A^{T}

с собственными значениями $0$ $(2\times )$ .

?

(i)

Найдите $A \star B$ и $B \star A$ и их собственные значения.

(ii)

Является ли $A \star B$ ненормальной? Является ли $B \star A$ ненормальной?

Задача 16.1.3

(i)(ii)

?

(i)

Что можно сказать о следе $A \star B$ ? Что можно сказать об определителе $A \star B$ ?

(ii)

Что можно сказать о следе $\widehat{A \star B}$ ? Что можно сказать об определителе $\widehat{A \star B}$ ?

Задача 16.1.4

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ . Можно ли найти матрицу перестановки $P$ размера $4 \times 4$ такую, что $P(A \star B)P^{T} = B \oplus A$ ? Здесь $\oplus$ обозначает прямую сумму.

?

Задача 16.1.5

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ . Пусть $A \star B$ — звёздное произведение. Покажите, что можно найти матрицу перестановки $P$ размера $4 \times 4$ такую, что

P(A \star B)P^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{11} & b_{12} \\ 0 & 0 & b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} .

?

Задача 16.1.6

Матрицы $2 \times 2$

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Образуют ли четыре матрицы $4 \times 4$ $I \star I$ , $I \star J$ , $J \star I$ , $J \star J$ группу относительно умножения матриц?

?

Задача 16.1.7

Даны собственные значения и собственные векторы матриц $A$ и $B$ размера $2 \times 2$ . Что можно сказать о собственных значениях и собственных векторах матрицы $A \star B$ ?

?

Задача 16.1.8

Матрица $2 \times 2$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

имеет собственные значения $\lambda_{+}(\alpha ) = e^{i\alpha }$ и $\lambda_{-}(\alpha ) = e^{-i\alpha }$ с соответствующими нормированными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} .

Пусть

A(\alpha ) \star A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & 0 & 0 & -\sin (\alpha ) \\ 0 & \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) & 0 \\ 0 & \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) & 0 \\ \sin (\alpha ) & 0 & 0 & \cos (\alpha ) \end{pmatrix} .

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $A(\alpha ) \star A(\alpha )$ .

?

Задача 16.1.9

Пусть $A$ , $B$ — две матрицы $2 \times 2$ , а $A \star B$ — их звёздное произведение. Можно ли найти матрицу перестановки $P$ размера $4 \times 4$ такую, что

P(A \star B) = \widehat{A \star B} \, ?

?

Задача 16.1.10

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ . Найдите $A \star B - B \star A$ .

?

Задачи главы