Банк задач по математике

Задача 13.2.1

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ .

?

(i)

Рассмотрим отображения

\begin{align} f_{1}(A,B) & = A \otimes B \\ f_{2}(A,B) & = \operatorname {vec}(A)(\operatorname {vec}(B))^{T} \\ f_{3}(A,B) & = \operatorname {vec}(A)(\operatorname {vec}(B^{T}))^{T} \\ f_{4}(A,B) & = \operatorname {vec}(B)(\operatorname {vec}(A^{T}))^{T}. \end{align}

Верно ли, что

\begin{align} \operatorname {tr}(f_{1}(A,B)) & = \operatorname {tr}(f_{2}(A,B)), \\ \operatorname {tr}(f_{2}(A,B)) & = \operatorname {tr}(f_{3}(A,B)), \\ \operatorname {tr}(f_{3}(A,B)) & = \operatorname {tr}(f_{4}(A,B)) \, ? \end{align}

(ii)

Покажите, что

\operatorname {tr}(\operatorname {vec}(B)(\operatorname {vec}(A))^{T}) \equiv \operatorname {tr}(A^{T}B).

Задача 13.2.2

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица размера $2 \times 2$ .

?

(i)

Найдите $\operatorname {vec}(A \otimes I_{2}+I_{2} \otimes A)$ и $\operatorname {vec}(A \otimes A)$ .

(ii)

Найдите условие на $A$ , при котором $\operatorname {vec}(A \otimes A) = \operatorname {vec}(A \otimes I_{2}+I_{2} \otimes A)$ .

Задача 13.2.3

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что

\operatorname {vec}(A \bullet B) = \operatorname {vec}(A) \bullet \operatorname {vec}(B)

где $\bullet$ обозначает произведение Адамара.

?

Задача 13.2.4

Найдите обратимую матрицу $X$ размера $3 \times 3$ , которая одновременно удовлетворяет следующим трём матричным уравнениям

\begin{align} X^{-1}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}X & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ X^{-1}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}X & = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ X^{-1}\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix}X & = \frac{i}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{align}

Приведите уравнения к уравнению Сильвестра и затем решите их. Первое уравнение можно записать в виде

\left( I_{3} \otimes \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}^{T} \otimes I_{3} \right)\operatorname {vec}(X) = \overrightarrow {0}

где $\overrightarrow {0}$ — нулевой вектор-столбец.

?

Задача 13.2.5

Рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ и

R := \sigma _{1} \otimes \sigma _{2} \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Примените vec-оператор к $R$ , т.е. $\operatorname {vec}(R)$ . Вычислите дискретное преобразование Фурье этого вектора в $\mathbb {C}^{4}$ . Затем примените $\operatorname {vec}^{-1}$ к полученному вектору. Сравните эту матрицу размера $4 \times 4$ с матрицей $R$ размера $4 \times 4$ . Обсудите.

?

Задача 13.2.6

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Найдите матрицу $S_{n}$ такую, что $S_{n}\operatorname {vec}(A) = \operatorname {tr}(A)$ . Докажите это равенство. Проиллюстрируйте ответ на примере

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}

где

S_{n} = \operatorname {vec}(I_{3}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{T}

и

S_{n}\operatorname {vec}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\operatorname {vec}(A) = 3.

?

Задача 13.2.7

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что

\operatorname {tr}(\operatorname {vec}(B)(\operatorname {vec}(A))^{T}) = \operatorname {tr}(A^{T}B)

применяя $\operatorname {tr}(\operatorname {vec}(B)(\operatorname {vec}(A))^{T}) = \operatorname {tr}((\operatorname {vec}(I_{n}))^{T}(I \otimes A^{T}B)\operatorname {vec}(I))$ .

(ii)

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ , $B$ — матрица размера $p \times p$ , $X$ — матрица размера $p \times n$ и $C$ — матрица размера $n \times n$ . Основное поле — $\mathbb {R}$ . Покажите, что

\operatorname {tr}(AX^{T}BXC) \equiv (\operatorname {vec}(X))^{T}((CA) \otimes B^{T})\operatorname {vec}(X).

Дополнительные задачи