Оператор vec

Рассмотрим матрицу $2 \times 3$

Пусть $B = A^{T}$. Тогда $B$ — матрица $3 \times 2$. Найдите матрицу перестановки $P$ размера $6 \times 6$ такую, что

Пусть $A$ — матрица $m \times n$ над $\mathbb {C}$, а $B$ — матрица $s \times t$ над $\mathbb {C}$. Найдите матрицу перестановки $P$ такую, что

Пусть $\overrightarrow {v}$ — вектор-столбец в $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что $\operatorname {vec}(\overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{T}) = \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {v}$.

Пусть $A$ — матрица $m \times n$ над $\mathbb {C}$. Используя

и

Покажите, что $\operatorname {vec}_{m \times n}^{-1}(\operatorname {vec}_{m \times n}(A)) = A$.

Пусть $A$ — матрица $m \times n$ над $\mathbb {C}$, а $B$ — матрица $s \times t$ над $\mathbb {C}$. Для оператора перестановки $R$, определённого как

и линейного продолжения. Найдите

Рассмотрим уравнение Ляпунова $FX+XF^{T} = C$ и

Найдите $X$.

Рассмотрим матрицы

Найдите решение уравнения $AX+XB = C$, где $X$ — матрица размера $3 \times 2$

Пусть $A$, $B$, $X$ — матрицы размера $n \times n$, где матрицы $A$, $B$ заданы. Предположим, что $AX = B$. Найдите $X$, используя vec-оператор и произведение Кронекера. Затем рассмотрите случай, когда $A$ обратима.

Пусть $A$, $B$, $C$, $X$ — матрицы размера $n \times n$, где матрицы $A$, $B$, $C$ заданы. Предположим, что $AXB = C$. Найдите $X$, используя vec-оператор и произведение Кронекера. Затем рассмотрите случай, когда $A$ и $B$ обратимы.

Пусть $A$, $B$, $C$, $X$, $Y$ — матрицы размера $n \times n$, где матрицы $A$, $B$, $C$ заданы. Предположим, что $AX+YB = C$. Примените vec-оператор к этому уравнению, а затем выразите левую часть с помощью произведения Кронекера.

Пусть $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$. Покажите, что вектор-столбец $\operatorname {vec}(U)$ нельзя представить в виде произведения Кронекера двух векторов из $\mathbb {C}^{n}$.

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $n \times n$. Пусть $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$, $U^{-1} = U^{*}$. Можем ли мы заключить, что

Рассмотрим норму Фробениуса. Пусть $M$ — матрица размера $ms \times nt$ над $\mathbb {C}$. Найдите матрицы $A$ размера $m \times n$ над $\mathbb {C}$ и матрицы $B$ размера $s \times t$ над $\mathbb {C}$, минимизирующие

Примените метод при $m=2, n=1, s=2, t=2$ к матрице $4 \times 2$

Пусть $P$ — матрица перестановки размера $n \times n$, а $H$ — эрмитова матрица размера $n \times n$.

Рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{1}$, $\sigma_{3}$. Унитарные и эрмитовы нормальные матрицы $\sigma_{1}$ и $\sigma_{3}$ имеют одинаковые собственные значения, а именно $+1$ и $-1$. Найдите все обратимые матрицы $X$ размера $2 \times 2$ такие, что

Действуйте следующим образом: умножьте уравнение на $X$ и после преобразований получим

Это частный случай уравнения Сильвестра. Его можно записать в виде

Решите эту линейную систему, чтобы найти матрицу $X$, но при этом ещё нужно учесть, что матрица $X$ обратима.

Пусть $\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n^{m}} \equiv \bigotimes^{m}\mathbb {C}^{n}$ и $\overrightarrow {x} \in \mathbb {C}^{n}$. Определим произведение

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Найдите $\operatorname {vec}(A^{T})\overrightarrow {x}^{1}$. Какова связь между этим произведением и матричным произведением $A\overrightarrow {x}$?

Пусть $\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n^{m}} \equiv \bigotimes^{m}\mathbb {C}^{n}$. Если $\lambda \in \mathbb {C}$ и $\overrightarrow {x} \in \mathbb {C}^{n}$, $\overrightarrow {x} \neq \overrightarrow {0}$, удовлетворяют $\mathbf{A}\overrightarrow {x}^{m-1} = \lambda \overrightarrow {x}$, то говорят, что $(\lambda , \overrightarrow {x})$ — собственная пара тензора $\mathbf{A}$, где $\lambda$ — собственное значение $\mathbf{A}$, а $\overrightarrow {x}$ — соответствующий собственный вектор. Две собственные пары $(\lambda , \overrightarrow {x})$ и $(\lambda ', \overrightarrow {x}')$ эквивалентны, если $t^{m-2}\lambda = \lambda '$ и $t\overrightarrow {x} = \overrightarrow {x}'$ для некоторого ненулевого комплексного числа $t$.

Пусть $A$, $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$.

Пусть $A$ — матрица размера $2 \times 2$.

Пусть $A$, $B$ — матрицы размера $n \times n$. Покажите, что

где $\bullet$ обозначает произведение Адамара.

Найдите обратимую матрицу $X$ размера $3 \times 3$, которая одновременно удовлетворяет следующим трём матричным уравнениям

Приведите уравнения к уравнению Сильвестра и затем решите их. Первое уравнение можно записать в виде

где $\overrightarrow {0}$ — нулевой вектор-столбец.

Рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$ и

Примените vec-оператор к $R$, т.е. $\operatorname {vec}(R)$. Вычислите дискретное преобразование Фурье этого вектора в $\mathbb {C}^{4}$. Затем примените $\operatorname {vec}^{-1}$ к полученному вектору. Сравните эту матрицу размера $4 \times 4$ с матрицей $R$ размера $4 \times 4$. Обсудите.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Найдите матрицу $S_{n}$ такую, что $S_{n}\operatorname {vec}(A) = \operatorname {tr}(A)$. Докажите это равенство. Проиллюстрируйте ответ на примере

где

и