Дополнительные задачи

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Дано расстояние $\left\| \mathbf{A}-\mathbf{B}\right\|$. Найдите расстояния $\left\| \mathbf{A} \otimes I_{n}-\mathbf{B} \otimes I_{n}\right\|$ и $\left\| \mathbf{A} \otimes I_{n}-I_{n} \otimes \mathbf{B}\right\|$.

Пусть $\mathbf{A}$ — положительно полуопределённая матрица $n \times n$. Покажите, что

для всех $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in \mathbb {C}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Предположим, что $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$, где

Покажите, что матрица $\mathbf{B} = I_{n}+\mathbf{A}$ обратима, то есть $\mathbf{B} \in GL(n,\mathbb {R})$. Чтобы показать, что разложение

сходится, примените

Затем вычислите $(I_{n}+\mathbf{A})(I_{n}-\mathbf{A}+\mathbf{A}^{2}-\mathbf{A}^{3}+\cdots )$.

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$. Найдите $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ такие, что

В качестве нормы $\left\| \cdot \right\|$ рассмотрите норму Фробениуса и max-норму.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Предположим, что $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$. Тогда $I_{n}+\mathbf{A}$ обратима. Можем ли мы заключить, что $I_{n} \otimes I_{n}+\mathbf{A} \otimes \mathbf{A}$ обратима?

Пусть $\mathbf{A}$ — положительно полуопределённая (и, следовательно, эрмитова) матрица $n \times n$. Верно ли, что $\left\| \mathbf{A}^{1/2}\right\| = \left\| \mathbf{A}\right\|^{1/2}$?

Пусть $\mathbf{A}$ — заданная симметричная матрица $4 \times 4$ над $\mathbb {R}$. Найдите симметричные матрицы $2 \times 2$ $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ над $\mathbb {R}$ такие, что

минимальна. Норма $\left\| \cdot \right\|$ — это норма Гильберта-Шмидта над $\mathbb {R}$, задаваемая формулой

где $X, Y$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Такая задача называется задачей о ближайшем произведении Кронекера. Заметим, что поскольку $\mathbf{A}^{T} = \mathbf{A}$, $\mathbf{B}^{T} = \mathbf{B}$, $\mathbf{C}^{T} = \mathbf{C}$, $\operatorname {tr}(\mathbf{B}^{2} \otimes \mathbf{C}^{2}) = \operatorname {tr}(\mathbf{B}^{2})\operatorname {tr}(\mathbf{C}^{2})$ и $\operatorname {tr}(\mathbf{A}(\mathbf{B} \otimes \mathbf{C})) = \operatorname {tr}((\mathbf{B} \otimes \mathbf{C})\mathbf{A})$, мы имеем

Поскольку

мы имеем

Мы также имеем $\operatorname {tr}(\mathbf{B}^{2}) = b_{11}^{2}+2b_{12}^{2}+b_{22}^{2}$, $\operatorname {tr}(\mathbf{C}^{2}) = c_{11}^{2}+2c_{12}^{2}+c_{22}^{2}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Верно ли, что $\left\| I_{n}+\mathbf{A}\right\| \leq 1+\left\| \mathbf{A}\right\|$?

Пусть $\left\{ \overrightarrow {v}_{1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{m}\right\}$ — линейно независимое множество векторов в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ с $m \leq n$.