Нормы и скалярные произведения

Рассмотрим векторы в $\mathbb {C}^{4}$

Найдите евклидову норму, а затем нормируйте векторы. Являются ли эти векторы ортогональными друг другу?

Рассмотрим векторы в $\mathbb {R}^{3}$

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Спектральная норма определяется как

Можно показать, что $\left\| \mathbf{A}\right\|_{2}$ можно также вычислить как

Собственные значения $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ вещественны и неотрицательны. Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

Вычислите $\left\| \mathbf{A}\right\|_{2}$ этим методом.

Пусть $\left\{ \overrightarrow {v}_{j} : j = 1, \ldots , r\right\}$ — ортогональный набор векторов в $\mathbb {R}^{n}$ с $r \leq n$. Покажите, что

Рассмотрим матрицу $\mathbf{A}$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$. Найдите норму $\mathbf{A}$, порождённую скалярным произведением $\left\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \right\rangle = \sqrt{\operatorname {tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^{*})}$.

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Скалярное произведение можно определить как

Скалярное произведение порождает норму $\left\| \mathbf{A}\right\|^{2} = \left\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \right\rangle = \operatorname {tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^{*})$. Эта норма называется нормой Гильберта–Шмидта.

Найдите норму $\left\| \mathbf{A}\right\| = \sqrt{\operatorname {tr}(\mathbf{A}^{*}\mathbf{A})}$ кососимметрично-эрмитовой матрицы

не вычисляя $\mathbf{A}^{*}$.

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — диагональные матрицы размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$. Предположим, что

и

Можно ли утверждать, что $\mathbf{A} = \mathbf{B}$?

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Пусть $\left\| \cdot \right\|$ — подчинённая матричная норма, для которой $\left\| I_{n}\right\| = 1$. Предположим, что $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$. Предположим, что $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$. Покажите, что

Пусть $\mathbf{A}$ — невырожденная матрица $n \times n$, а $\mathbf{B}$ — матрица $n \times n$. Предположим, что $\left\| \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\right\| < 1$.

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ и $t \in \mathbb {R}$. Пусть $\left\| \cdot \right\|$ — матричная норма. Покажите, что

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots , \mathbf{A}_{p}$ — матрицы $m \times m$ над $\mathbb {C}$. Тогда имеет место неравенство

и (формула Троттера)

Пусть $p = 2$. Найдите оценку для матриц $2 \times 2$

Пусть $U_{1}$, $U_{2}$ — унитарные матрицы $n \times n$. Пусть $\overrightarrow {v}$ — нормированный вектор в $\mathbb {C}^{n}$. Рассмотрим норму матрицы $k \times k$ $M$

где $\left\| \overrightarrow {v}\right\|$ обозначает евклидову норму. Покажите, что если $\left\| U_{1}-U_{2}\right\| \leq \epsilon$, то $\left\| U_{1}\overrightarrow {v}-U_{2}\overrightarrow {v}\right\| \leq \epsilon$.

Дана матрица $2 \times 2$ (матрица поворота)

Вычислите $\left\| R(\alpha )\right\| = \sup_{\left\| \overrightarrow {x}\right\| =1}\left\| R(\alpha )\overrightarrow {x}\right\|$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$. Пусть $\rho (\mathbf{A})$ — спектральный радиус матрицы $\mathbf{A}$. Тогда имеем

Пусть

Вычислите $\rho (\mathbf{A})$ и правую часть неравенства.

Пусть $t \in \mathbb {R}$. Рассмотрим симметричную матрицу $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$

Найдите условие на $t$, при котором $\rho (\mathbf{A}(t)) < 1$, где $\rho (\mathbf{A}(t))$ обозначает спектральный радиус $\mathbf{A}(t)$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$. Один из подходов к вычислению $\mathrm{exp}\left(\mathbf{A}\right)$ состоит в вычислении разложения по собственным значениям $\mathbf{A} = XBX^{-1}$ и последующем применении формулы $e^{\mathbf{A}} = Xe^{B}X^{-1}$. Используя разложение Шура, имеем

где $U$ унитарна, матрица $N = (n_{jk})$ строго верхнетреугольная ($n_{jk} = 0, j \geq k$), а $\lambda (\mathbf{A}) = \left\{ \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}\right\}$ — спектр матрицы $\mathbf{A}$. Используя аппроксимацию Паде для вычисления $e^{\mathbf{A}}$, имеем

где

Рассмотрим ненормальную матрицу

Вычислите $\left\| R_{11}-e^{\mathbf{A}}\right\|_{2}$, где $\left\| \cdot \right\|_{2}$ обозначает 2-норму.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$ с $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$. Тогда $\ln (I_{n}+\mathbf{A})$ существует. Покажите, что

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Покажите, что $\left\| [\mathbf{A},\mathbf{B}]\right\| \leq 2\left\| \mathbf{A}\right\| \left\| \mathbf{B}\right\|$.

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Тогда

Пусть

Вычислите $\left\| [\mathbf{A},\mathbf{B}]\right\|$, $\left\| \mathbf{A}\mathbf{B}\right\|$, $\left\| \mathbf{B}\mathbf{A}\right\|$, $\left\| \mathbf{A}\right\|$, $\left\| \mathbf{B}\right\|$ и таким образом проверьте неравенство для этих матриц. Норма задаётся формулой $\left\| \mathbf{C}\right\| = \sqrt{\operatorname {tr}(\mathbf{C}\mathbf{C}^{*})}$.

Обозначим через $\left\| \cdot \right\|_{HS}$ норму Гильберта-Шмидта, а через $\left\| \cdot \right\|_{O}$ — операторную норму, т.е.

где $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$ над $\mathbb {C}$, $\overrightarrow {x} \in \mathbb {C}^{n}$, а $\left\| \overrightarrow {x}\right\|$ — евклидова норма.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$. Логарифмическая норма определяется как

Пусть $\left\| \mathbf{A}\right\| := \sup_{\overrightarrow {x}=1}\left|\mathbf{A}\overrightarrow {x}\right|$. Пусть $\mathbf{A}$ — единичная матрица $I_{n}$ размера $n \times n$. Найдите $\mu [I_{n}]$.

Рассмотрим гильбертово пространство $\mathbb {R}^{n}$ и $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in \mathbb {R}^{n}$. Скалярное произведение $\left\langle \overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \right\rangle$ задаётся формулой

Таким образом норма задаётся формулой $\left\| \overrightarrow {x}\right\| = \sqrt{ \left\langle \overrightarrow {x}, \overrightarrow {x} \right\rangle }$. Покажите, что $\left|\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {y}\right| \leq \left\| \overrightarrow {x}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {y}\right\|$.

Пусть $\mathbf{A}$ — эрмитова матрица размера $n \times n$. Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n}$ и $\lambda \in \mathbb {C}$. Рассмотрим уравнение

Пусть $M$ — матрица размера $m \times n$ над $\mathbb {C}$. Норма Фробениуса матрицы $M$ задаётся формулой

Пусть $U_{m}$ — унитарная матрица размера $m \times m$, а $U_{n}$ — унитарная матрица размера $n \times n$. Покажите, что

Покажите, что $\left\| M\right\|_{F}$ есть квадратный корень из суммы квадратов сингулярных чисел $M$.

Пусть $M$ — матрица размера $m \times n$ над $\mathbb {C}$. Найдите матрицу $\mathbf{A}$ ранга $1$ размера $m \times n$ над $\mathbb {C}$, которая минимизирует

Примените метод к матрице $3 \times 2$

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Спектральным радиусом матрицы $\mathbf{A}$ называется неотрицательное число $\rho (\mathbf{A})$, определяемое как

где $\lambda_{j}(\mathbf{A})$ ($j = 1, \ldots , n$) — собственные значения $\mathbf{A}$. Определим норму $\mathbf{A}$ как

где $\left\| \mathbf{A}\overrightarrow {x}\right\|$ обозначает евклидову норму. Верно ли, что $\rho (\mathbf{A}) \leq \left\| \mathbf{A}\right\|$? Докажите или опровергните.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$, а $I_{m}$ — единичная матрица размера $m \times m$. Рассмотрим норму матрицы $M$ размера $k \times k$

где $\left\| \overrightarrow {x}\right\|$ обозначает евклидову норму. Покажите, что $\left\| \mathbf{A} \otimes I_{m}\right\| = \left\| \mathbf{A}\right\|$.

Найдите матрицы $2 \times 2$ $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ над $\mathbb {C}$, которые минимизируют

и найдите минимум.

Рассмотрим матрицу $4 \times 4$ (гамильтониан)

где $\omega$ — частота, а $\hbar$ — постоянная Планка, делённая на $2\pi$. Найдите норму $\hat{H}$, то есть

применяя два различных метода. В первом методе примените метод множителей Лагранжа, где ограничение есть $\left\| \overrightarrow {x}\right\| = 1$. Во втором методе вычислим $\hat{H}^{*}\hat{H}$ и найдём квадратный корень из наибольшего собственного значения. Это и есть $\left\| \hat{H}\right\|$. Заметим, что $\hat{H}^{*}\hat{H}$ положительно полуопределена.

Пусть $\mathbf{A}$ — обратимая матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Рассмотрим линейную систему $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$. Число обусловленности матрицы $\mathbf{A}$ определяется как

Найдите число обусловленности для матрицы

для бесконечной нормы, 1-нормы и 2-нормы.

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — невырожденные матрицы $n \times n$. Покажите, что

для всех матричных норм, где $\operatorname {Cond}$ обозначает число обусловленности.

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Дано расстояние $\left\| \mathbf{A}-\mathbf{B}\right\|$. Найдите расстояния $\left\| \mathbf{A} \otimes I_{n}-\mathbf{B} \otimes I_{n}\right\|$ и $\left\| \mathbf{A} \otimes I_{n}-I_{n} \otimes \mathbf{B}\right\|$.

Пусть $\mathbf{A}$ — положительно полуопределённая матрица $n \times n$. Покажите, что

для всех $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in \mathbb {C}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Предположим, что $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$, где

Покажите, что матрица $\mathbf{B} = I_{n}+\mathbf{A}$ обратима, то есть $\mathbf{B} \in GL(n,\mathbb {R})$. Чтобы показать, что разложение

сходится, примените

Затем вычислите $(I_{n}+\mathbf{A})(I_{n}-\mathbf{A}+\mathbf{A}^{2}-\mathbf{A}^{3}+\cdots )$.

Пусть $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$. Найдите $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ такие, что

В качестве нормы $\left\| \cdot \right\|$ рассмотрите норму Фробениуса и max-норму.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Предположим, что $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$. Тогда $I_{n}+\mathbf{A}$ обратима. Можем ли мы заключить, что $I_{n} \otimes I_{n}+\mathbf{A} \otimes \mathbf{A}$ обратима?

Пусть $\mathbf{A}$ — положительно полуопределённая (и, следовательно, эрмитова) матрица $n \times n$. Верно ли, что $\left\| \mathbf{A}^{1/2}\right\| = \left\| \mathbf{A}\right\|^{1/2}$?

Пусть $\mathbf{A}$ — заданная симметричная матрица $4 \times 4$ над $\mathbb {R}$. Найдите симметричные матрицы $2 \times 2$ $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ над $\mathbb {R}$ такие, что

минимальна. Норма $\left\| \cdot \right\|$ — это норма Гильберта-Шмидта над $\mathbb {R}$, задаваемая формулой

где $X, Y$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Такая задача называется задачей о ближайшем произведении Кронекера. Заметим, что поскольку $\mathbf{A}^{T} = \mathbf{A}$, $\mathbf{B}^{T} = \mathbf{B}$, $\mathbf{C}^{T} = \mathbf{C}$, $\operatorname {tr}(\mathbf{B}^{2} \otimes \mathbf{C}^{2}) = \operatorname {tr}(\mathbf{B}^{2})\operatorname {tr}(\mathbf{C}^{2})$ и $\operatorname {tr}(\mathbf{A}(\mathbf{B} \otimes \mathbf{C})) = \operatorname {tr}((\mathbf{B} \otimes \mathbf{C})\mathbf{A})$, мы имеем

Поскольку

мы имеем

Мы также имеем $\operatorname {tr}(\mathbf{B}^{2}) = b_{11}^{2}+2b_{12}^{2}+b_{22}^{2}$, $\operatorname {tr}(\mathbf{C}^{2}) = c_{11}^{2}+2c_{12}^{2}+c_{22}^{2}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Верно ли, что $\left\| I_{n}+\mathbf{A}\right\| \leq 1+\left\| \mathbf{A}\right\|$?

Пусть $\left\{ \overrightarrow {v}_{1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{m}\right\}$ — линейно независимое множество векторов в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ с $m \leq n$.