Банк задач по математике

Задача 1.2.1

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Являются ли четыре ненормальные матрицы $2 \times 2$

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

линейно независимыми?

(ii)

Покажите, что девять матриц $3 \times 3$

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

образуют базис в векторном пространстве матриц $3 \times 3$ . Этот базис называется спиральным базисом (и может быть расширен на любую размерность). Какие из этих матриц ненормальны?

(iii)

Образуют ли восемь косоэрмитовых матриц $3 \times 3$

\Gamma _{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma _{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\Gamma _{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma _{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix},

\Gamma _{5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma _{6} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix},

\Gamma _{7} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma _{8} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix}

вместе с единичной матрицей $3 \times 3$ ортонормированный базис в векторном пространстве матриц $3 \times 3$ над полем комплексных чисел? Найдите все попарные скалярные произведения $\left\langle A, B \right\rangle := \operatorname {tr}(AB^{*})$ . Обсудите.

Задача 1.2.2

(i)(ii)

?

(i)

Тетраэдр в векторном пространстве $\mathbb {R}^{3}$ можно описать, задав векторы $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}, \overrightarrow {v}_{4}$ , нормальные к его граням и по длине равные площадям этих граней. Приведите пример.

(ii)

Рассмотрим тетраэдр, определённый тройкой линейно независимых векторов $\overrightarrow {v}_{j} \in \mathbb {R}^{3}$ , $j = 1,2,3$ . Покажите, что векторы нормали к граням, определённым парами этих векторов, нормированные на площадь грани, задаются формулами

\overrightarrow {n}_{1} = \frac{1}{2}\overrightarrow {v}_{2} \times \overrightarrow {v}_{3}, \quad \overrightarrow {n}_{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow {v}_{3} \times \overrightarrow {v}_{1}, \quad \overrightarrow {n}_{3} = \frac{1}{2}\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}.

Покажите, что

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{2}{3V}\overrightarrow {n}_{2} \times \overrightarrow {n}_{3}, \quad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{2}{3V}\overrightarrow {n}_{3} \times \overrightarrow {n}_{1}, \quad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{2}{3V}\overrightarrow {n}_{1} \times \overrightarrow {n}_{2}

где $V$ — объём тетраэдра, задаваемый формулой

V = \frac{1}{3!}(\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}) \cdot \overrightarrow {v}_{3} = \sqrt{\frac{2}{9}(\overrightarrow {n}_{1} \times \overrightarrow {n}_{2}) \cdot \overrightarrow {n}_{3}}.

Примените это к нормированным векторам, образующим ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{3}$

\overrightarrow {n}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {n}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {n}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Задача 1.2.3

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Покажите, что любую положительно полуопределённую матрицу $M$ размера $n \times n$ ранга один можно записать в виде $M = \overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{T}$ , где $\overrightarrow {v}$ — некоторый (столбцовый) вектор в $\mathbb {C}^{n}$ .

(ii)

Пусть $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ — нормированные (столбцовые) векторы в $\mathbb {C}^{n}$ . Пусть $A$ — положительно полуопределённая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что $(\overrightarrow {u}^{*}\overrightarrow {v})(\overrightarrow {u}^{*}A\overrightarrow {v}) \geq 0$ .

(iii)

Покажите, что если эрмитовы матрицы $S$ и $T$ положительно полуопределены и коммутируют ( $ST = TS$ ), то их произведение $ST$ также положительно полуопределено. Нужно показать, что

(ST\overrightarrow {v})^{*}\overrightarrow {v} \geq 0

для всех $\overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n}$ . Заметим, что если $S = 0_{n}$ , то очевидно $(STu)^{*}\overrightarrow {u} = 0$ . Поэтому предположим, что $S \neq 0_{n}$ , т.е. $\left\| S\right\| > 0$ .

Задача 1.2.4

Покажите, что симметричные матрицы

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

положительно полуопределены. Обобщите на случай $n \times n$ .

?

Задача 1.2.5

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ и $A \neq 0_{n}$ . Покажите, что $A^{m} \neq 0_{n}$ для всех $m \in \mathbb {N}$ .

?

Задача 1.2.6

Пусть $A \in \mathbb {R}^{m \times n}$ — ненулевая матрица. Пусть $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$ , $\overrightarrow {y} \in \mathbb {R}^{m}$ — векторы такие, что $c := \overrightarrow {y}^{T}A\overrightarrow {x} \neq 0$ . Покажите, что матрица $B := A-c^{-1}A\overrightarrow {x}\overrightarrow {y}^{T}A$ имеет ранг, ровно на единицу меньший ранга $A$ .

?

Задача 1.2.7

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим двумерное евклидово пространство и пусть $\overrightarrow {e}_{1}$ , $\overrightarrow {e}_{2}$ — стандартный базис. Рассмотрим семь векторов

\overrightarrow {v}_{0} = \overrightarrow {0}, \quad \overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{2}\overrightarrow {e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow {e}_{2}, \quad \overrightarrow {v}_{2} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {e}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow {e}_{2},

\overrightarrow {v}_{3} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow {e}_{2}, \quad \overrightarrow {v}_{4} = \frac{1}{2}\overrightarrow {e}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow {e}_{2}, \quad \overrightarrow {v}_{5} = -\overrightarrow {e}_{1}, \quad \overrightarrow {v}_{6} = \overrightarrow {e}_{1}.

Найдите расстояние между векторами и выберите пары векторов с наименьшим расстоянием.

(ii)

Рассмотрим векторы в $\mathbb {R}^{2}$

\overrightarrow {v}_{k} = \begin{pmatrix} \cos ((k-1)\pi /4) \\ \sin ((k-1)\pi /4) \end{pmatrix}, \quad k = 1,3,5,7

и

\overrightarrow {v}_{k} = \sqrt{2} \begin{pmatrix} \cos ((k-1)\pi /4) \\ \sin ((k-1)\pi /4) \end{pmatrix}, \quad k = 2,4,6,8

которые играют роль в решёточной модели Больцмана. Найдите углы между векторами.

Задача 1.2.8

Покажите, что матрицы $4 \times 4$

\Pi = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1 & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1 & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}, \quad \tilde{\Pi } = I_{4}-\Pi

являются проекционными матрицами. Опишите подпространства $\mathbb {R}^{4}$ , на которые они проецируют.

?

Задача 1.2.9

(i)(ii)

?

(i)

Векторы $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ , $\overrightarrow {w}$ указывают на вершины равностороннего треугольника

\overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} -1/(2\sqrt{3}) \\ 1/2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {w} = \begin{pmatrix} -1/(2\sqrt{3}) \\ -1/2 \end{pmatrix}.

Найдите площадь этого треугольника.

(ii)

Пусть $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ — (столбцовые) векторы в $\mathbb {R}^{n}$ . Покажите, что

A = \sqrt{\left|(\overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {u})(\overrightarrow {v}^{T}\overrightarrow {v})-(\overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {v})^{2}\right|}

вычисляет площадь, натянутую на векторы $\overrightarrow {u}$ и $\overrightarrow {v}$ .

Задача 1.2.10

Предположим, что две плоскости в $\mathbb {R}^{3}$ , заданные уравнениями

kx_{1}+\ell x_{2}+mx_{3}+n = 0, \quad k'x_{1}+\ell 'x_{2}+m'x_{3}+n' = 0

являются зеркальными отражениями друг друга относительно третьей плоскости в $\mathbb {R}^{3}$ , заданной уравнением

ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}+d = 0.

Покажите, что ( $r^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}$ )

\begin{pmatrix} k' \\ \ell ' \\ m' \end{pmatrix} = \frac{1}{r^{2}} \begin{pmatrix} a^{2}-b^{2}-c^{2} & 2ab & 2ac \\ 2ab & -a^{2}+b^{2}-c^{2} & 2bc \\ 2ac & 2bc & -a^{2}-b^{2}+c^{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k \\ \ell \\ m \end{pmatrix}.

?

Задача 1.2.11

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $A^{2} = I_{n}$ . Найдите матрицу $(A^{-1}+iI_{n})^{-1}$ .

(ii)

Пусть $B$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Найдите условие на $B$ , при котором

(I_{n}+iB)(I_{n}-iB) = I_{n}.

Это означает, что $(I_{n}-iB)$ является обратной к $(I_{n}+iB)$ .

Задача 1.2.12

Рассмотрим векторное пространство $\mathbb {R}^{d}$ . Предположим, что $\left\{ \overrightarrow {v}_{j}\right\}_{j=1}^{d}$ и $\left\{ \overrightarrow {w}_{k}\right\}_{k=1}^{d}$ — два базиса в $\mathbb {R}^{d}$ . Тогда существует обратимая матрица размера $d \times d$

T = (t_{jk})_{j,k=1}^{d}

такая, что

\overrightarrow {v}_{j} = \sum _{k=1}^{d} t_{jk}\overrightarrow {w}_{k}, \quad j = 1,\ldots ,d.

Говорят, что базисы $\left\{ \overrightarrow {v}_{j}\right\}_{j=1}^{d}$ и $\left\{ \overrightarrow {w}_{k}\right\}_{k=1}^{d}$ имеют одинаковую ориентацию, если $\operatorname {det}\left(T\right) > 0$ . Если $\operatorname {det}\left(T\right) < 0$ , то они имеют противоположную ориентацию. Рассмотрим два базиса в $\mathbb {R}^{2}$

\left\{ \overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} , \quad \left\{ \overrightarrow {w}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow {w}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right\} .

Найдите ориентацию.

?

Задача 1.2.13

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\omega > 0$ (фиксировано) и $t \geq 0$ . Покажите, что матрица $4 \times 4$

S(t) = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1+3e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} \\ 1-e^{-\omega t} & 1+3e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} \\ 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1+3e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} \\ 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1+3e^{-\omega t} \end{pmatrix}

является стохастической матрицей (вероятностной матрицей). Найдите собственные значения $S(t)$ . Пусть

\pi = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите векторы $\pi S(t)$ , $(\pi S(t))S(t)$ и т.д. Верно ли, что $S(t_{1}+t_{2}) = S(t_{1})S(t_{2})$ ?

(ii)

Пусть $\epsilon \in [0,1]$ . Рассмотрим стохастическую матрицу

S(\epsilon ) = \begin{pmatrix} \epsilon & 1-\epsilon \\ 1-\epsilon & \epsilon \end{pmatrix}.

Пусть $n = 1,2,\ldots$ . Покажите, что

S^{n}(\epsilon ) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+(2\epsilon -1)^{n} & 1-(2\epsilon -1)^{n} \\ 1-(2\epsilon -1)^{n} & 1+(2\epsilon -1)^{n} \end{pmatrix}.

Задача 1.2.14

Можно ли найти такие матрицы $4 \times 4$ $A$ и $B$ , что

A \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \; ?

Разумеется, хотя бы одна из матриц $A$ и $B$ должна быть вырожденной. Основное поле $\mathbb {F}$ может быть $\mathbb {R}$ или иметь $\operatorname {char}(\mathbb {F}) = 2$ .

?

Задача 1.2.15

?

(i)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ такие, что $A^{2} \neq 0_{2}$ , но $A^{3} = 0_{2}$ .

(ii)

Найдите все неэрмитовы матрицы $2 \times 2$ $B$ такие, что $BB^{*} = I_{2}$ .

(iii)

Найдите все эрмитовы матрицы $2 \times 2$ $H$ такие, что $H^{2} = 0_{2}$ .

(iv)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $C$ над $\mathbb {R}$ такие, что $C^{T}C+CC^{T} = I_{2}$ , $C^{2} = 0_{2}$ .

(v)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ такие, что $A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3}$ , $A_{3}A_{1} = A_{2}A_{3}$ .

(vi)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $A^{2} = B^{2} = I_{2}$ , $AB = -I_{2}$ .

Задача 1.2.16

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ , а $B$ — матрица размера $p \times q$ . Тогда прямой суммой $A$ и $B$ , обозначаемой $A \oplus B$ , называется матрица размера $(m+p) \times (n+q)$ , определённая как

A \oplus B := \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}.

Пусть $A_{1}$ , $A_{2}$ — матрицы размера $m \times m$ , а $B_{1}$ , $B_{2}$ — матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что

(A_{1} \oplus B_{1})(A_{2} \oplus B_{2}) = (A_{1}A_{2}) \oplus (B_{1}B_{2}).

?

Задача 1.2.17

Рассмотрим симметричную матрицу $A$ и нормированный вектор $\overrightarrow {v}$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Вычислите $S_{j} = \overrightarrow {v}^{*}A^{j}\overrightarrow {v}$ для $j = 1,2,3$ . Можно ли восстановить $A$ по $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ и информации о том, что $A$ вещественна и симметрична?

?

Задача 1.2.18

(i)(ii)

Стандартный симплекс $\Delta_{n}$ определяется как множество в $\mathbb {R}^{n}$

\Delta _{n} := \left\{ (x_{1},\ldots ,x_{n})^{T} : x_{j} \geq 0, \; \sum _{j=1}^{n} x_{j} = 1\right\} .

Рассмотрим $n$ аффинно независимых точек $B_{1},\ldots ,B_{n} \in \Delta_{n}$ . Они натягивают $(n-1)$ -симплекс, обозначаемый $\Lambda = \operatorname {Con}(B_{1},\ldots ,B_{n})$ , то есть

\Lambda = \operatorname {Con}(B_{1},\ldots ,B_{n}) = \left\{ \lambda _{1}B_{1}+\cdots +\lambda _{n}B_{n} : \sum _{j=1}^{n} \lambda _{j} = 1, \; \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n} \geq 0\right\} .

Этому множеству соответствует обратимая матрица $[\Lambda ]$ размера $n \times n$ , столбцами которой являются $B_{1},\ldots ,B_{n}$ . Обратно, рассмотрим матрицу $C = (b_{jk})$ , где $C_{k} = (b_{1k},\ldots ,b_{nk})^{T}$ ( $k = 1,\ldots ,n$ ). Если $\operatorname {det}\left(C\right) \neq 0$ и сумма элементов в каждом столбце равна 1, то матрица $C$ соответствует $(n-1)$ -симплексу $\operatorname {Con}(B_{1},\ldots ,B_{n})$ в $\Delta_{n}$ . Пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ — матрицы размера $n \times n$ с неотрицательными элементами, у каждой из которых сумма элементов в каждом столбце равна 1.

?

(i)

Покажите, что $C_{1}C_{2}$ и $C_{2}C_{1}$ также являются такими матрицами.

(ii)

Являются ли матрицы $C_{1} \otimes C_{2}$ , $C_{2} \otimes C_{1}$ размера $n^{2} \times n^{2}$ такими же матрицами?

Задача 1.2.19

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $S$ , $T$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $S^{2} = I_{n}$ , $(TS)^{2} = I_{n}$ . Тогда $S$ и $T$ обратимы. Покажите, что $STS^{-1} = T^{-1}$ , $ST^{-1}S = T$ .

(ii)

Пусть $A$ — обратимая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , а $B$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим матрицу $n \times n$ $D := A^{-1}BA$ . Покажите, что $D^{n} = A^{-1}B^{n}A$ , используя $AA^{-1} = I_{n}$ .

Задача 1.2.20

Найдите все обратимые матрицы $S$ размера $2 \times 2$ такие, что

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} S \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} S \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 1.2.21

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим матрицу $A$ размера $3 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Можно ли найти матрицы $B$ размера $2 \times 3$ такие, что $AB = I_{2}$ ?

(ii)

Рассмотрим матрицу $X$ размера $3 \times 2$

X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Можно ли найти матрицы $Y$ размера $2 \times 3$ такие, что $XY = I_{2}$ ?

Задача 1.2.22

Пусть $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{3}$ и $\times$ — векторное произведение. Найдите все решения

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.

?

Задача 1.2.23

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Пусть $A$ — матрица размера $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ и $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {R}^{3}$ . Найдите условия на $A$ , $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ , при которых

A(\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) = (A\overrightarrow {u}) \times (A\overrightarrow {v}).

(ii)

Рассмотрим три вектора $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}$ в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что $\overrightarrow {v}_{1} \cdot (\overrightarrow {v}_{2} \times \overrightarrow {v}_{3}) = 0$ , если $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}$ линейно зависимы.

(iii)

Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что $(\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) \cdot (\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) \equiv (\overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {u})(\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {v})-(\overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {v})^{2}$ .

(iv)

Пусть $\overrightarrow {a}$ , $\overrightarrow {b}$ , $\overrightarrow {c}$ , $\overrightarrow {d}$ — векторы в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что (тождество Лагранжа)

(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot (\overrightarrow {c} \times \overrightarrow {d}) \equiv \det \begin{pmatrix} \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {c} & \overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {c} \\ \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {d} & \overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {d} \end{pmatrix}.

Задача 1.2.24

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Рассмотрим четыре ненулевых вектора $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}, \overrightarrow {v}_{4}$ в $\mathbb {R}^{3}$ . Пусть

\overrightarrow {w} := (\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}) \times (\overrightarrow {v}_{3} \times \overrightarrow {v}_{4}) \neq \overrightarrow {0}.

Найдите $\overrightarrow {w} \times (\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2})$ и $\overrightarrow {w} \times (\overrightarrow {v}_{3} \times \overrightarrow {v}_{4})$ . Обсудите результат. Заметьте, что $\overrightarrow {v}_{1}$ и $\overrightarrow {v}_{2}$ порождают плоскость в $\mathbb {R}^{3}$ , а $\overrightarrow {v}_{3}$ и $\overrightarrow {v}_{4}$ порождают плоскость в $\mathbb {R}^{3}$ .

(ii)

Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v}, \overrightarrow {w}$ — векторы в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что (тождество Якоби)

\overrightarrow {u} \times (\overrightarrow {v} \times \overrightarrow {w})+\overrightarrow {w} \times (\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v})+\overrightarrow {v} \times (\overrightarrow {w} \times \overrightarrow {u}) = \overrightarrow {0}.

(iii)

Рассмотрим нормированные векторы-столбцы

\overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^{T}, \quad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{T}.

Образуют ли три вектора $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}$ ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{3}$ ?

(iv)

Пусть $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}, \overrightarrow {v}_{4}$ — векторы-столбцы в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что

(\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2})^{T}(\overrightarrow {v}_{3} \times \overrightarrow {v}_{4}) \equiv (\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {v}_{3})(\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {v}_{4})-(\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {v}_{3})(\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {v}_{4}).

Частный случай при $\overrightarrow {v}_{3} = \overrightarrow {v}_{1}$ , $\overrightarrow {v}_{4} = \overrightarrow {v}_{2}$ имеет вид

(\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2})^{T}(\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}) \equiv (\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {v}_{1})(\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {v}_{2})-(\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {v}_{1})(\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {v}_{2}).

Задача 1.2.25

Рассмотрим координаты

\overrightarrow {p}_{1} = (x_{1},y_{1},z_{1})^{T}, \quad \overrightarrow {p}_{2} = (x_{2},y_{2},z_{2})^{T}, \quad \overrightarrow {p}_{3} = (x_{3},y_{3},z_{3})^{T}

с $\overrightarrow {p}_{1} \neq \overrightarrow {p}_{2}$ , $\overrightarrow {p}_{2} \neq \overrightarrow {p}_{3}$ , $\overrightarrow {p}_{3} \neq \overrightarrow {p}_{1}$ . Образуем векторы

\overrightarrow {v}_{21} = \begin{pmatrix} x_{2}-x_{1} \\ y_{2}-y_{1} \\ z_{2}-z_{1} \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{31} = \begin{pmatrix} x_{3}-x_{1} \\ y_{3}-y_{1} \\ z_{3}-z_{1} \end{pmatrix}.

Что вычисляет $\frac{1}{2}\left|\overrightarrow {v}_{21} \times \overrightarrow {v}_{31}\right|$ ? Примените это к $\overrightarrow {p}_{1} = (0,0,0)^{T}$ , $\overrightarrow {p}_{2} = (1,0,1)^{T}$ , $\overrightarrow {p}_{3} = (1,1,1)^{T}$ .

?

Задача 1.2.26

Рассмотрим матрицу Хаара $K$ размера $4 \times 4$

K = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Найдите все эрмитовы матрицы $H$ размера $4 \times 4$ такие, что $KHK^{T} = H$ .

?

Задача 1.2.27

Рассмотрим вещественную симметричную матрицу $A$ размера $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/3 \\ -\sqrt{3}/6 & -5/6 & -\sqrt{2}/3 \\ \sqrt{6}/3 & -\sqrt{2}/3 & 1/3 \end{pmatrix}.

Покажите, что $A^{T} = A^{-1}$ , показав, что столбцы матрицы нормированы и попарно ортонормированы.

?

Задача 1.2.28

Пусть $X \in \mathbb {R}^{n \times n}$ . Покажите, что $X$ можно записать в виде

X = A+S+cI_{n}

где $A$ — антисимметричная ( $A^{T} = -A$ ), $S$ — симметричная ( $S^{T} = S$ ) с $\operatorname {tr}(S) = 0$ и $c \in \mathbb {R}$ .

?

Задача 1.2.29

Пусть $c_{j} > 0$ для $j = 1,\ldots ,n$ . Покажите, что матрицы размера $n \times n$

\left(\frac{\sqrt{c_{j}c_{k}}}{c_{j}+c_{k}}\right), \quad \left(\frac{1/c_{j}+1/c_{k}}{\sqrt{c_{j}c_{k}}}\right)

( $k = 1,\ldots ,n$ ) положительно определены.

?

Задача 1.2.30

Пусть $a,b \in \mathbb {R}$ и $c^{2} := a^{2}+b^{2}$ с $c^{2} > 0$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

M(a,b) = \frac{1}{c} \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}.

Покажите, что $M(a,b)M(a,b) = I_{2}$ . Таким образом, $M(a,b)$ можно рассматривать как квадратный корень из $I_{2}$ .

?

Задача 1.2.31

Покажите, что ненулевая матрица $A$ размера $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ , удовлетворяющая

A^{2}A^{T}+A^{T}A^{2} = 2A, \quad AA^{T}A = 2A, \quad A^{3} = 0_{3}

задаётся как

A = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{T} = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 1.2.32

Пусть $\overrightarrow {x}$ — нормированный вектор-столбец в $\mathbb {R}^{n}$ , т.е. $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x} = 1$ . Матрица $T$ называется матрицей Хаусхолдера, если $T := I_{n}-2\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}$ . Покажите, что

T^{2} = (I_{n}-2\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T})(I_{n}-2\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}) = I_{n}-4\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}+4\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T} = I_{n}.

?

Задача 1.2.33

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что существуют ненулевые векторы $\overrightarrow {x}_{1}$ , $\overrightarrow {x}_{2}$ в $\mathbb {R}^{n}$ такие, что

\frac{\overrightarrow {x}_{1}^{T}A\overrightarrow {x}_{1}}{\overrightarrow {x}_{1}^{T}\overrightarrow {x}_{1}} \leq \frac{\overrightarrow {x}^{T}A\overrightarrow {x}}{\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x}} \leq \frac{\overrightarrow {x}_{2}^{T}A\overrightarrow {x}_{2}}{\overrightarrow {x}_{2}^{T}\overrightarrow {x}_{2}}

для любого ненулевого вектора $\overrightarrow {x}$ в $\mathbb {R}^{n}$ .

?

Задача 1.2.34

Обобщённый символ Кронекера можно определить следующим образом

\delta _{I,J} := \begin{cases} 1 & \text{если } J = (j_{1},\ldots ,j_{r}) \text{ является чётной перестановкой } I = (i_{1},\ldots ,i_{r}) \\ -1 & \text{если } J \text{ является нечётной перестановкой} \\ 0 & \text{если } J \text{ не является перестановкой } I \end{cases}

Покажите, что $\delta_{126,621} = -1$ , $\delta_{126,651} = 0$ , $\delta_{125,512} = 1$ . Приведите реализацию в системе компьютерной алгебры.

?

Задача 1.2.35

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $j_{0},j_{1},k_{0},k_{1} \in \left\{ 0,1\right\}$ . Рассмотрим тензор

T^{j_{0},j_{1}}_{k_{0},k_{1}}.

Задайте взаимно однозначное отображение, которое переводит $T^{j_{0},j_{1}}_{k_{0},k_{1}}$ в матрицу $S = (s_{\ell_{0},\ell_{1}})$ размера $2^{2} \times 2^{2}$ с $\ell_{0},\ell_{1} = 0,1,2,3$ , т.е.

\begin{pmatrix} t^{00}_{00} & t^{00}_{01} & t^{00}_{10} & t^{00}_{11} \\ t^{01}_{00} & t^{01}_{01} & t^{01}_{10} & t^{01}_{11} \\ t^{10}_{00} & t^{10}_{01} & t^{10}_{10} & t^{10}_{11} \\ t^{11}_{00} & t^{11}_{01} & t^{11}_{10} & t^{11}_{11} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} s_{00} & s_{01} & s_{02} & s_{03} \\ s_{10} & s_{11} & s_{12} & s_{13} \\ s_{20} & s_{21} & s_{22} & s_{23} \\ s_{30} & s_{31} & s_{32} & s_{33} \end{pmatrix}.

(ii)

Пусть $j_{0},j_{1},j_{2},k_{0},k_{1},k_{2} \in \left\{ 0,1\right\}$ . Рассмотрим тензор

T^{j_{0},j_{1},j_{2}}_{k_{0},k_{1},k_{2}}.

Задайте взаимно однозначное отображение, которое переводит $T^{j_{0},j_{1},j_{2}}_{k_{0},k_{1},k_{2}}$ в матрицу $S = (s_{\ell_{0},\ell_{1}})$ размера $2^{3} \times 2^{3}$ с $\ell_{0},\ell_{1} = 0,1,\ldots ,2^{3}-1$ .

(iii)

Пусть $n \geq 2$ и $j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n},k_{0},k_{1},\ldots ,k_{n} \in \left\{ 0,1\right\}$ . Рассмотрим тензор

T^{j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n-1}}_{k_{0},k_{1},\ldots ,k_{n-1}}.

Задайте взаимно однозначное отображение, которое переводит этот тензор в матрицу $S = (s_{\ell_{0},\ell_{1}})$ размера $2^{n} \times 2^{n}$ с $\ell_{0},\ell_{1} = 0,1,\ldots ,2^{n}-1$ . Приведите реализацию на SymbolicC++. Пользователь задаёт $n$ .

Дополнительные задачи