Задачи и решения по вводному и продвинутому матричному исчислению

Глава 1

Основные операции

[116/70%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

1.1 · Задачи главы

1.2 · Дополнительные задачи

1.1 · Задачи главы[81/100%]

Задача 1.1.1

(i)(ii)

Пусть $\overrightarrow {e}_{1}, \overrightarrow {e}_{2}, \overrightarrow {e}_{3}$ — стандартный базис в $\mathbb {R}^{3}$

\overrightarrow {e}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {e}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {e}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим нормированные векторы

\overrightarrow {a} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\overrightarrow {e}_{1}+\overrightarrow {e}_{2}+\overrightarrow {e}_{3}), \quad \overrightarrow {b} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-\overrightarrow {e}_{1}-\overrightarrow {e}_{2}+\overrightarrow {e}_{3}),

\overrightarrow {c} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-\overrightarrow {e}_{1}+\overrightarrow {e}_{2}-\overrightarrow {e}_{3}), \quad \overrightarrow {d} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\overrightarrow {e}_{1}-\overrightarrow {e}_{2}-\overrightarrow {e}_{3}).

Эти векторы являются единичными векторами, задающими направления четырёх связей атома в решётке алмаза. Покажите, что данные четыре вектора линейно зависимы.

(ii)

Найдите скалярные произведения $\overrightarrow {a}^{T}\overrightarrow {b}$ , $\overrightarrow {b}^{T}\overrightarrow {c}$ , $\overrightarrow {c}^{T}\overrightarrow {d}$ , $\overrightarrow {d}^{T}\overrightarrow {a}$ . Обсудите результат.

Задача 1.1.2

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим нормированный вектор $\overrightarrow {v}$ в $\mathbb {R}^{3}$ и матрицу перестановки $P$ соответственно

\overrightarrow {v} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Являются ли три вектора $\overrightarrow {v}$ , $P\overrightarrow {v}$ , $P^{2}\overrightarrow {v}$ линейно независимыми?

(ii)

Рассмотрим симметричную матрицу $A$ размера $4 \times 4$ и вектор $\overrightarrow {b}$ в $\mathbb {R}^{4}$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Являются ли векторы $\overrightarrow {b}$ , $A\overrightarrow {b}$ , $A^{2}\overrightarrow {b}$ , $A^{3}\overrightarrow {b}$ в $\mathbb {R}^{4}$ линейно независимыми? Покажите, что матрица $A$ обратима. Рассмотрите векторы-столбцы матрицы $A$

\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

Найдите обратную матрицу к $A$ .

Задача 1.1.3

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим гильбертово пространство $M_{2}(\mathbb {R})$ матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что матрицы

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

линейно независимы.

(ii)

Используйте метод ортонормирования Грама-Шмидта, чтобы найти ортонормированный базис для $M_{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 1.1.4

(i)(ii)

Рассмотрим векторное пространство матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ и матрицы

A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Являются ли эти четыре матрицы $2 \times 2$ линейно независимыми?

(ii)

Матрица $M$ размера $n \times n$ называется нормальной, если $MM^{*} = M^{*}M$ . Какие из четырёх матриц $A_{j}$ ( $j = 1,2,3,4$ ) являются нормальными матрицами?

Задача 1.1.5

(i)(ii)

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы спина Паули

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

и $\sigma_{0} = I_{2}$ . Рассмотрим векторное пространство матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что матрицы $2 \times 2$

\frac{1}{\sqrt{2}}I_{2}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma _{1}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma _{2}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma _{3}

линейно независимы.

(ii)

Покажите, что любая комплексная матрица $2 \times 2$ имеет единственное представление вида

a_{0}I_{2}+ia_{1}\sigma _{1}+ia_{2}\sigma _{2}+ia_{3}\sigma _{3}

для некоторых $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb {C}$ .

Задача 1.1.6

Рассмотрим нормированный вектор $\overrightarrow {v}_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}^{T}$ в $\mathbb {R}^{3}$ . Найдите три нормированных вектора $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}$ такие, что

\sum _{j=0}^{3} \overrightarrow {v}_{j} = \overrightarrow {0}, \quad \overrightarrow {v}_{j}^{T}\overrightarrow {v}_{k} = -\frac{1}{3} \quad (j \neq k).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.7

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите четыре нормированных вектора $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}, \overrightarrow {v}_{4}$ в $\mathbb {R}^{3}$ такие, что

\overrightarrow {v}_{j}^{T}\overrightarrow {v}_{k} = \frac{4}{3}\delta _{jk}-\frac{1}{3} = \begin{cases} 1 & \text{при } j = k \\ -1/3 & \text{при } j \neq k \end{cases}.

(ii)

Вычислите вектор и матрицу соответственно

\sum _{j=1}^{4} \overrightarrow {v}_{j}, \quad \frac{3}{4}\sum _{j=1}^{4} \overrightarrow {v}_{j}\overrightarrow {v}_{j}^{T}.

Задача 1.1.8

Найдите множество всех четырёх (столбцовых) векторов $\overrightarrow {u}_{1}, \overrightarrow {u}_{2}, \overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}$ в $\mathbb {R}^{2}$ таких, что выполняются следующие условия $\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {u}_{2} = 0$ , $\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {u}_{1} = 0$ , $\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {u}_{1} = 1$ , $\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {u}_{2} = 1$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.9

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{11} \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

где $a_{11}, a_{12} \in \mathbb {R}$ . Можно ли упростить выражение $A^{3}+3AC(A+C)+C^{3}$ для вычисления?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.10

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ . Пусть $AB = 0_{2}$ и $BA = 0_{2}$ . Можем ли мы заключить, что хотя бы одна из этих двух матриц является нулевой матрицей $2 \times 2$ ? Докажите или опровергните.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.11

Пусть $A$ , $C$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $\overrightarrow {x}$ , $\overrightarrow {y}$ , $\overrightarrow {b}$ , $\overrightarrow {d}$ — векторы-столбцы в $\mathbb {R}^{n}$ . Запишите систему уравнений $(A+iC)(\overrightarrow {x}+i\overrightarrow {y}) = (\overrightarrow {b}+i\overrightarrow {d})$ как систему вещественных уравнений размера $2n \times 2n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.12

Пусть $A$ , $B$ — симметричные матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ , т.е. $A^{T} = A$ , $B^{T} = B$ . Каково условие на $A$ , $B$ , при котором $AB$ симметрична?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.13

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Вычислите произведение матриц

\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}.

(ii)

Запишите квадратичный многочлен $3x_{1}^{2}-8x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+6x_{1}x_{3}-3x_{3}^{2}$ в матричной форме.

Задача 1.1.14

Квадратная матрица $M$ размера $n \times n$ называется нормальной, если $MM^{*} = M^{*}M$ . Пусть $A$ , $B$ — нормальные матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $AB^{*} = B^{*}A$ , $BA^{*} = A^{*}B$ . Покажите, что их сумма $A+B$ нормальна. Покажите, что их произведение $AB$ нормально.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.15

Пусть $A$ — нормальная матрица размера $n \times n$ . Покажите, что $\operatorname {ker}(A) = \operatorname {ker}(A^{*})$ , где $\operatorname {ker}$ обозначает ядро.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.16

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ . Покажите, что $A^{m}$ является эрмитовой матрицей для всех $m \in \mathbb {N}$ .

(ii)

Пусть $B$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ . Является ли $iB$ косоэрмитовой?

Задача 1.1.17

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ с $A^{2} = 0_{n}$ . Обратима ли матрица $I_{n}+A$ ?

(ii)

Пусть $B$ — матрица размера $n \times n$ с $B^{3} = 0_{n}$ . Покажите, что $I_{n}+B$ имеет обратную.

Задача 1.1.18

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Предположим, что $A^{2} = 0_{n}$ . Найдите обратную к $I_{n}+iA$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.19

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ , а $c$ — константа. Предположим, что обратные к $(A-cI_{n})$ и $(A+B-cI_{n})$ существуют. Покажите, что

(A-cI_{n})^{-1}B(A+B-cI_{n})^{-1} \equiv (A-cI_{n})^{-1}-(A+B-cI_{n})^{-1}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.20

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Матрица $M$ размера $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ ортогональна тогда и только тогда, когда столбцы $M$ образуют ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что матрица

\begin{pmatrix} \sqrt{3}/3 & 0 & -\sqrt{6}/3 \\ \sqrt{3}/3 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3 & -\sqrt{2}/2 & \sqrt{6}/6 \end{pmatrix}

ортогональна.

(ii)

Представьте ненормальную матрицу размера $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{(относительно естественного базиса)}

относительно ортонормированного базиса в $\mathbb {R}^{3}$

\left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\right\} .

Задача 1.1.21

Рассмотрим матрицу вращения

R(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix}.

Пусть $n$ — положительное целое число. Вычислите $R^{n}(\theta )$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.22

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим матрицу размера $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 1 & \beta \end{pmatrix}

где $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ . Найдите условие на $\alpha$ , $\beta$ , при котором обратная матрица существует. Найдите обратную матрицу в этом случае.

(ii)

Пусть $t \neq 0$ и $s \in \mathbb {R}$ . Найдите обратную к матрице

M = \begin{pmatrix} t & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Задача 1.1.23

Пусть

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли найти матрицу перестановки $P$ размера $4 \times 4$ такую, что $A = PBP^{T}$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.24

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим матрицу перестановки $P$ размера $3 \times 3$

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $A$ размера $3 \times 3$ такие, что $PAP^{T} = A$ .

(ii)

Рассмотрим матрицу перестановки $P$ размера $4 \times 4$

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $A$ размера $4 \times 4$ такие, что $PAP^{T} = A$ .

Задача 1.1.25

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $\pi$ — перестановка на $\left\{ 1,2,\ldots ,n\right\}$ . Матрица $P_{\pi }$ , для которой $p_{i*} = e_{\pi (i)*}$ , называется матрицей перестановки, соответствующей $\pi$ , где $p_{i*}$ — это $i$ -я строка $P_{\pi }$ , а $e_{ij} = 1$ , если $i = j$ , и 0 в противном случае. Пусть $n = 4$ и $\pi = (3\; 2\; 4\; 1)$ . Найдите $P_{\pi }$ .

(ii)

Найдите соответствующую матрицу перестановки для перестановки

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Задача 1.1.26

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите обратимую матрицу $T$ размера $2n \times 2n$ такую, что

T^{-1} \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix} T = \begin{pmatrix} 0_{n} & -I_{n} \\ I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

(ii)

Покажите, что матрица $R$ размера $2n \times 2n$

R = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} I_{n} & I_{n} \\ I_{n} & -I_{n} \end{pmatrix}

обратима. Найдите обратную матрицу.

Задача 1.1.27

Пусть $M$ — матрица размера $2n \times 2n$ , где $n \geq 1$ . Тогда $M$ можно записать в блочном виде

M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

где $A, B, C, D$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $M^{-1}$ существует и что матрица $D$ размера $n \times n$ также невырождена. Найдите $M^{-1}$ , используя это условие.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.28

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ , где $m \geq n$ . Предположим, что ранг $A$ равен $n$ . Покажите, что существует матрица $B$ размера $m \times n$ такая, что матрица $B^{*}A$ размера $n \times n$ невырождена. Матрицу $B$ можно выбрать так, чтобы $B^{*}A = I_{n}$ .

(ii)

Матрица $J$ размера $n^{2} \times n$ называется матрицей выбора, если $J^{T}$ является матрицей размера $n \times n^{2}$

[E_{11} \; E_{22} \; \ldots \; E_{nn}]

где $E_{ii}$ — матрица размера $n \times n$ , состоящая из нулей, кроме единицы на $(i,i)$ -й позиции. Найдите $J$ для $n = 2$ и вычислите $J^{T}J$ . Вычислите $J^{T}J$ для произвольного $n$ .

Задача 1.1.29

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Можно ли заключить, что $A^{2}$ положительно полуопределена?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.30

(i)(ii)(iii)(iv)(v)

Матрица $\Pi$ размера $n \times n$ называется проекционной матрицей, если $\Pi^{*} = \Pi$ , $\Pi^{2} = \Pi$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ — проекционные матрицы. Является ли $\Pi_{1}+\Pi_{2}$ проекционной матрицей?

(ii)

Пусть $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ — проекционные матрицы. Является ли $\Pi_{1}\Pi_{2}$ проекционной матрицей?

(iii)

Пусть $\Pi$ — проекционная матрица. Является ли $I_{n}-\Pi$ проекционной матрицей? Вычислите $\Pi (I_{n}-\Pi )$ .

(iv)

Является ли

\Pi = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

проекционной матрицей?

(v)

Пусть $\epsilon \in [0,1]$ . Покажите, что матрица $2 \times 2$

\Pi (\epsilon ) = \begin{pmatrix} \epsilon & \sqrt{\epsilon -\epsilon ^{2}} \\ \sqrt{\epsilon -\epsilon ^{2}} & 1-\epsilon \end{pmatrix}

является проекционной матрицей. Каковы собственные значения $\Pi (\epsilon )$ ? Будьте изобретательны.

Задача 1.1.31

(i)(ii)

Пусть $m \geq 1$ и $N \geq 2$ . Предположим, что $N > m$ . Пусть $X$ — матрица размера $N \times m$ над $\mathbb {R}$ такая, что $X^{*}X = I_{m}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Определим $\Pi := XX^{*}$ . Вычислите $\Pi^{2}$ , $\Pi^{*}$ и $\operatorname {tr}(\Pi )$ .

(ii)

Приведите пример такой матрицы $X$ , где $m = 1$ и $N = 2$ .

Задача 1.1.32

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Квадратная матрица $A$ называется идемпотентной, если $A^{2} = A$ . Найдите все матрицы $A$ размера $2 \times 2$ над действительными числами, которые идемпотентны и для которых $a_{ij} \neq 0$ при $i,j = 1,2$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — идемпотентные матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что $A+B$ идемпотентна тогда и только тогда, когда $AB = BA = 0_{n}$ .

Задача 1.1.33

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A+B$ обратима. Покажите, что

(A+B)^{-1}A = I_{n}-(A+B)^{-1}B, \quad A(A+B)^{-1} = I_{n}-B(A+B)^{-1}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.34

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите матрицы $A$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ такие, что $A^{2} = -I_{2}$ , $A^{*} = -A$ .

(ii)

Найдите матрицы $C$ , $D$ размера $2 \times 2$ такие, что $CD = 0_{2}$ и $DC \neq 0_{2}$ .

Задача 1.1.35

Найдите матрицы $F$ и $F'$ размера $2 \times 2$ из двух уравнений

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}(F+iF'), \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}(F-iF').

Найдите антикоммутатор $F$ и $F'$ , т.е. $[F,F']_{+} \equiv FF'+F'F$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.36

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все матрицы $X$ размера $2 \times 2$ такие, что

X \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} X.

(ii)

Наложите дополнительные условия так, чтобы $\operatorname {tr}(X) = 0$ и $\operatorname {det}\left(X\right) = +1$ .

Задача 1.1.37

(i)(ii)

Пусть $\overrightarrow {v}$ — нормированный (столбцовый) вектор в $\mathbb {C}^{n}$ . Рассмотрим матрицу $A$ размера $n \times n$

A = \overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{*}-\frac{1}{2}I_{n}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите $A^{*}$ и $AA^{*}$ .

(ii)

Обратима ли матрица $A$ ?

Задача 1.1.38

Найдите все матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{pmatrix}

над $\mathbb {R}$ с $a_{12} \neq 0$ такие, что $A^{2} = I_{2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.39

(i)(ii)(iii)

Пусть $z = x+iy$ , где $x,y \in \mathbb {R}$ , и, следовательно, $\bar{z} = x-iy$ . Рассмотрим отображения

x+iy \leftrightarrow \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} = A(x,y), \quad 1 \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad i \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Вычислите $z^{2}$ и $A^{2}(x,y)$ . Обсудите результат.

(ii)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $A(x,y)$ .

(iii)

Вычислите $A(x,y) \otimes A(x,y)$ и найдите собственные значения и нормированные собственные векторы.

Задача 1.1.40

(i)(ii)

Пусть $A \in \mathbb {C}^{n \times m}$ , где $n \geq m$ и $\operatorname {rank}(A) = m$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что матрица размера $m \times m$ $A^{*}A$ обратима.

(ii)

Положим $\Pi = A(A^{*}A)^{-1}A$ . Покажите, что $\Pi$ является матрицей проектирования, т.е. $\Pi^{2} = \Pi$ и $\Pi = \Pi^{*}$ .

Задача 1.1.41

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ , а $\Pi$ — матрица проектирования размера $n \times n$ . Тогда $\Pi A \Pi$ снова является эрмитовой матрицей. Остаётся ли это верным, если $A$ — нормальная матрица, т.е. $AA^{*} = A^{*}A$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.42

Матрица $C$ размера $n \times n$ вида

C = \begin{pmatrix} c_{0} & c_{n-1} & \ldots & c_{2} & c_{1} \\ c_{1} & c_{0} & c_{n-1} & & c_{2} \\ \vdots & c_{1} & c_{0} & & \vdots \\ c_{n-2} & & \ddots & \ddots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{n-2} & & c_{1} & c_{0} \end{pmatrix}

называется циркулянтной матрицей. Покажите, что множество всех циркулянтных матриц размера $n \times n$ образует $n$ -мерное векторное пространство.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.43

(i)(ii)(iii)

Две матрицы $A$ , $B$ размера $n \times n$ называются подобными, если существует обратимая матрица $S$ размера $n \times n$ такая, что $A = SBS^{-1}$ . Если $A$ подобна $B$ , то $B$ также подобна $A$ , поскольку $B = S^{-1}AS$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что две матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A^{T}

подобны.

(ii)

Рассмотрим две обратимые матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Подобны ли эти матрицы?

(iii)

Рассмотрим две обратимые матрицы $2 \times 2$

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Подобны ли эти матрицы?

Задача 1.1.44

(i)(ii)(iii)

Матрица размера $n \times n$ называется нильпотентной, если некоторая её степень равна нулевой матрице, т.е. существует положительное целое число $p$ такое, что $A^{p} = 0_{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что всякая ненулевая нильпотентная матрица недиагонализируема.

(ii)

Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что эта матрица нильпотентна.

(iii)

Является ли произведение двух нильпотентных матриц размера $n \times n$ нильпотентным?

Задача 1.1.45

Матрица $A$ , для которой $A^{p} = 0_{n}$ , где $p$ — положительное целое число, называется нильпотентной. Если $p$ — наименьшее положительное целое число, для которого $A^{p} = 0_{n}$ , то говорят, что $A$ нильпотентна индекса $p$ . Найдите все матрицы $A$ размера $2 \times 2$ над вещественными числами, которые нильпотентны при $p = 2$ , т.е. $A^{2} = 0_{2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.46

(i)(ii)

Пусть

\overrightarrow {a} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix}

— векторы в $\mathbb {R}^{3}$ . Векторное произведение $\times$ определяется как

\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b} := \begin{pmatrix} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2} \\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3} \\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что можно найти матрицу $S(\overrightarrow {a})$ размера $3 \times 3$ такую, что $\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b} = S(\overrightarrow {a})\overrightarrow {b}$ .

(ii)

Выразите тождество Якоби

\overrightarrow {a} \times (\overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c})+\overrightarrow {c} \times (\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b})+\overrightarrow {b} \times (\overrightarrow {c} \times \overrightarrow {a}) = \overrightarrow {0}

через матрицы $S(\overrightarrow {a})$ , $S(\overrightarrow {b})$ и $S(\overrightarrow {c})$ .

Задача 1.1.47

Пусть

\overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {y} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix}

— два нормированных вектора в $\mathbb {R}^{3}$ . Предположим, что $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {y} = 0$ , т.е. векторы ортогональны. Является ли вектор $\overrightarrow {x} \times \overrightarrow {y}$ снова единичным вектором? Имеем

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} = 1, \quad y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} = 1 \tag {1}

\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {y} = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3} = 0. \tag {2}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.48

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим три линейно независимых нормированных вектор-столбца в $\mathbb {R}^{3}$

\overrightarrow {a}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {a}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {a}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите ``объём'' $V_{\overrightarrow {a}} := \overrightarrow {a}_{1}^{T}(\overrightarrow {a}_{2} \times \overrightarrow {a}_{3})$ .

(ii)

Из трёх векторов $\overrightarrow {a}_{1}$ , $\overrightarrow {a}_{2}$ , $\overrightarrow {a}_{3}$ составим ортогональную матрицу $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Найдите определитель и след. Обсудите результат.

(iii)

Найдите векторы

\overrightarrow {b}_{1} = \frac{1}{V_{\overrightarrow {a}}}\overrightarrow {a}_{2} \times \overrightarrow {a}_{3}, \quad \overrightarrow {b}_{2} = \frac{1}{V_{\overrightarrow {a}}}\overrightarrow {a}_{3} \times \overrightarrow {a}_{1}, \quad \overrightarrow {b}_{3} = \frac{1}{V_{\overrightarrow {a}}}\overrightarrow {a}_{1} \times \overrightarrow {a}_{2}.

Являются ли эти три вектора линейно независимыми?

Задача 1.1.49

Пусть $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}$ — три нормированных линейно независимых вектора в $\mathbb {R}^{3}$ . Дайте интерпретацию величины $A$ , определённой равенством

\cos \left(\frac{1}{2}A\right) = \frac{1+\overrightarrow {v}_{1} \cdot \overrightarrow {v}_{2}+\overrightarrow {v}_{2} \cdot \overrightarrow {v}_{3}+\overrightarrow {v}_{3} \cdot \overrightarrow {v}_{1}}{\sqrt{2(1+\overrightarrow {v}_{1} \cdot \overrightarrow {v}_{2})(1+\overrightarrow {v}_{2} \cdot \overrightarrow {v}_{3})(1+\overrightarrow {v}_{3} \cdot \overrightarrow {v}_{1})}}

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение. Рассмотрите сначала случай, когда $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}$ — стандартный базис в $\mathbb {R}^{3}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.50

Пусть $\overrightarrow {v}$ — вектор-столбец в $\mathbb {R}^{n}$ и $\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}$ . Пусть

A := \frac{\overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{T}}{\overrightarrow {v}^{T}\overrightarrow {v}}

где $^{T}$ обозначает транспонирование, т.е. $\overrightarrow {v}^{T}$ — вектор-строка. Вычислите $A^{2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.51

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Квадратная матрица $A$ над $\mathbb {C}$ называется косоэрмитовой, если $A = -A^{*}$ . Покажите, что такая матрица нормальна, т.е. $AA^{*} = A^{*}A$ .

(ii)

Пусть $A$ — косоэрмитова матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , т.е. $A^{*} = -A$ . Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$ , т.е. $U^{*} = U^{-1}$ . Покажите, что $B := U^{*}AU$ — косоэрмитова матрица.

Задача 1.1.52

Пусть $A$ , $X$ , $Y$ — матрицы $n \times n$ . Предположим, что $XA = I_{n}$ , $AY = I_{n}$ . Покажите, что $X = Y$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.53

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ . Предположим, что $A$ невырождена, т.е. $A^{-1}$ существует. Покажите, что если $BA = 0_{n}$ , то $B = 0_{n}$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ и $A+B = I_{n}$ , $AB = 0_{n}$ . Покажите, что $A^{2} = A$ и $B^{2} = B$ .

Задача 1.1.54

Найдите матрицу $A$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ такую, что

A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.55

Рассмотрим векторное пространство $\mathbb {R}^{4}$ . Найдите все попарно ортогональные векторы (вектор-столбцы) $\overrightarrow {x}_{1}, \ldots , \overrightarrow {x}_{p}$ , компоненты которых могут принимать только значения $+1$ или $-1$ . Вычислите матрицу

\sum _{j=1}^{p} \overrightarrow {x}_{j}\overrightarrow {x}_{j}^{T}

и найдите собственные значения и собственные векторы этой матрицы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.56

Матрица Адамара $H(n)$ размера $(n+1) \times (n+1)$ любой размерности строится рекурсивно следующим образом

H(n) = \begin{pmatrix} H(n-1) & H(n-1) \\ H(n-1) & -H(n-1) \end{pmatrix}

где $n = 1,2,\ldots$ , а $H(0)$ — матрица $1 \times 1$ , $H(0) = (1)$ . Вектор-столбцы матрицы $H(n)$ образуют базис в $\mathbb {R}^{n}$ . Они попарно ортогональны друг другу. Найдите $H(1)$ , $H(2)$ , $H(3)$ и $H(3)H^{T}(3)$ . Найдите собственные значения $H(1)$ и $H(2)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.57

Матрица Адамара — это матрица $H$ размера $n \times n$ с элементами из множества $\left\{ -1,+1\right\}$ , такая что любые две различные строки или столбца матрицы $H$ имеют скалярное произведение 0. Постройте матрицу Адамара размера $4 \times 4$ , отправляясь от вектор-столбца $\overrightarrow {x}_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{T}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.58

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим симметричную матрицу $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 6 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $X$ — матрица размера $m \times n$ . Ранг по столбцам — это максимальное число линейно независимых столбцов. Ранг по строкам — это максимальное число линейно независимых строк. Ранг по строкам и ранг по столбцам матрицы $X$ равны (это общее число называется рангом $X$ ). Найдите ранг $A$ и обозначьте его через $k$ .

(ii)

Найдите подматрицу $k \times k$ матрицы $A$ , имеющую ранг $k$ .

(iii)

Найдите матрицы перестановок $P$ и $Q$ размера $3 \times 3$ такие, что в матрице $PAQ$ подматрица из пункта (ii) находится в верхнем левом углу $A$ .

Задача 1.1.59

Найдите все матрицы $A$ размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ , удовлетворяющие уравнению $A^{T}A = 0_{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.60

(i)(ii)

Квадратная матрица $A$ такая, что $A^{2} = I_{n}$ , называется инволютивной.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ над вещественными числами, которые являются инволютивными. Предположите, что $a_{ij} \neq 0$ при $i,j = 1,2$ .

(ii)

Покажите, что матрица $n \times n$ $A$ инволютивна тогда и только тогда, когда $(I_{n}-A)(I_{n}+A) = 0_{n}$ .

Задача 1.1.61

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ — симметричная матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $P$ — произвольная матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $P^{T}AP$ симметрична.

(ii)

Пусть $B$ — кососимметричная матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ , т.е. $B^{T} = -B$ . Пусть $P$ — произвольная матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $P^{T}BP$ кососимметрична.

Задача 1.1.62

Пусть $A$ — матрица $m \times n$ . Ранг по столбцам матрицы $A$ — это максимальное число линейно независимых столбцов. Ранг по строкам — это максимальное число линейно независимых строк. Ранг по строкам и ранг по столбцам матрицы $A$ равны (эта величина называется рангом матрицы $A$ ). Найдите ранг матрицы $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.63

Матрица Картана $A$ — это квадратная матрица, элементы $a_{ij}$ которой удовлетворяют следующим условиям:

$a_{ij}$ — целое число, одно из $\left\{ -3,-2,-1,0,2\right\}$
$a_{jj} = 2$ для всех диагональных элементов $A$
$a_{ij} \leq 0$ вне диагонали
$a_{ij} = 0$ тогда и только тогда, когда $a_{ji} = 0$
Существует обратимая диагональная матрица $D$ такая, что $DAD^{-1}$ даёт симметричную положительно определённую квадратичную форму. Приведите недиагональную матрицу Картана $2 \times 2$ и её собственные значения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.64

Пусть $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Предположим, что $AB^{T}$ и $CD^{T}$ симметричны и $AD^{T}-BC^{T} = I_{n}$ , где $^{T}$ обозначает транспонирование. Покажите, что $A^{T}D-C^{T}B = I_{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.65

Пусть $n$ — положительное целое число. Пусть $A_{n}$ — кососимметричная матрица $(2n+1) \times (2n+1)$ , у которой каждый элемент в первых $n$ поддиагоналях ниже главной диагонали равен 1, а каждый из оставшихся элементов ниже главной диагонали равен $-1$ . Приведите $A_{1}$ и $A_{2}$ . Найдите ранг $A_{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.66

(i)(ii)

Вектор $\overrightarrow {u} = (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$ называется вероятностным вектором, если его компоненты неотрицательны и их сумма равна 1.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Является ли вектор $\overrightarrow {u} = (1/2,0,1/4,1/4)$ вероятностным вектором?

(ii)

Можно ли ``нормировать'' вектор $\overrightarrow {v} = (2,3,5,1,0)$ так, чтобы получить вероятностный вектор?

Задача 1.1.67

Матрица $n \times n$ $P = (p_{ij})$ называется стохастической матрицей, если каждая её строка является вероятностным вектором, т.е. если каждый элемент $P$ неотрицателен и сумма элементов в каждой строке равна 1. Пусть $A$ и $B$ — две стохастические матрицы $n \times n$ . Является ли произведение матриц $AB$ также стохастической матрицей?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.68

(i)(ii)

Числовой образ, также известный как поле значений, матрицы $n \times n$ $A$ над комплексными числами определяется как

F(A) := \left\{ \overrightarrow {z}^{*}A\overrightarrow {z} : \left\| \overrightarrow {z}\right\| = \overrightarrow {z}^{*}\overrightarrow {z} = 1, \; \overrightarrow {z} \in \mathbb {C}^{n}\right\} .

Теорема о выпуклости Тёплица–Хаусдорфа утверждает, что числовой образ квадратной матрицы является выпуклым компактным подмножеством комплексной плоскости.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите числовой образ для матриц $2 \times 2$

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ и симметричная матрица $5 \times 5$

A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \alpha \end{pmatrix}.

Покажите, что множество $F(A)$ лежит на вещественной оси. Покажите, что $\left|\overrightarrow {z}^{*}A\overrightarrow {z}\right| \leq \alpha +8$ .

Задача 1.1.69

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , а $F(A)$ — поле значений. Пусть $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что $F(U^{*}AU) = F(A)$ .

(ii)

Примените теорему к двум унитарно эквивалентным матрицам размера $2 \times 2$

A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Задача 1.1.70

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ над $\mathbb {C}$ . Псевдообратная матрица Мура-Пенроуза $A^{+}$ — это единственная матрица размера $n \times m$ , удовлетворяющая условиям

AA^{+}A = A, \quad A^{+}AA^{+} = A^{+}, \quad (AA^{+})^{*} = AA^{+}, \quad (A^{+}A)^{*} = A^{+}A.

Также известно, что

\overrightarrow {x} = A^{+}\overrightarrow {b} \tag {1}

является решением наименьшей длины среди решений задачи наименьших квадратов для $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что если $(A^{*}A)^{-1}$ существует, то $A^{+} = (A^{*}A)^{-1}A^{*}$ .

(ii)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}.

Найдите псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза $A^{+}$ для $A$ .

Задача 1.1.71

Числа Фибоначчи определяются рекуррентным соотношением (линейным разностным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами) $s_{n+2} = s_{n+1}+s_{n}$ , где $n = 0,1,\ldots$ и $s_{0} = 0$ , $s_{1} = 1$ . Запишите это рекуррентное соотношение в матричной форме. Найдите $s_{6}$ , $s_{5}$ и $s_{4}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.72

Предположим, что $A = A_{1}+iA_{2}$ — невырожденная матрица размера $n \times n$ , где $A_{1}$ и $A_{2}$ — вещественные матрицы размера $n \times n$ . Предположим также, что $A_{1}$ невырождена. Найдите обратную к $A$ , используя обратную к $A_{1}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.73

Пусть $A$ и $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Предположим, что $A \neq B$ , $A^{3} = B^{3}$ и $A^{2}B = B^{2}A$ . Является ли $A^{2}+B^{2}$ обратимой?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.74

Пусть $A$ — симметричная матрица размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}.

Тогда $a_{01} = a_{10}$ . Предположим, что $a_{00}a_{01} = a_{01}^{2}$ , $a_{00}a_{11} = a_{01}a_{11}$ . Найдите все матрицы $A$ , удовлетворяющие этим условиям.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.75

Рассмотрим обратимую матрицу размера $2 \times 2$

J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow J^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите все ненулевые матрицы $A$ размера $2 \times 2$ , такие что $AJ = JA$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.76

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим вектор-столбец в $\mathbb {R}^{8}$

\overrightarrow {x} = (20.0 \; 6.0 \; 4.0 \; 2.0 \; 10.0 \; 6.0 \; 8.0 \; 4.0)^{T}

где $^{T}$ обозначает транспонирование. Рассмотрим матрицы

H_{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

G_{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

H_{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad G_{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

H_{3} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad G_{3} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Вычислите векторы

H_1x, G_1x H_2H_1x, G_2H_1x, H_2G_1x, G_2G_1x H_3H_2H_1x, G_3H_2H_1x, H_3G_2H_1x, G_3G_2H_1x, H_3H_2G_1x, G_3H_2G_1x, H_3G_2G_1x, G_3G_2G_1x.

(ii)

Вычислите $H_{j}H_{j}^{T}$ , $G_{j}G_{j}^{T}$ , $H_{j}G_{j}^{T}$ для $j = 1,2,3$ .

(iii)

Как можно восстановить исходный вектор $\overrightarrow {x}$ из вектора

(H_{3}H_{2}H_{1}\overrightarrow {x}, G_{3}H_{2}H_{1}\overrightarrow {x}, H_{3}G_{2}H_{1}\overrightarrow {x}, G_{3}G_{2}H_{1}\overrightarrow {x}, H_{3}H_{2}G_{1}\overrightarrow {x}, G_{3}H_{2}G_{1}\overrightarrow {x}, H_{3}G_{2}G_{1}\overrightarrow {x}, G_{3}G_{2}G_{1}\overrightarrow {x}).

Эта задача играет роль в теории вейвлетов.

Задача 1.1.77

(i)(ii)

Дан сигнал в виде вектора-столбца

\overrightarrow {x} = (3.0 \; 0.5 \; 2.0 \; 7.0)^{T}.

Пирамидальный алгоритм (для вейвлетов Хаара) работает следующим образом: первые две компоненты $(3.0 \; 0.5)^{T}$ сигнала дают среднее $(3.0+0.5)/2 = 1.75$ и среднее разности $(3.0-0.5)/2 = 1.25$ . Вторые две компоненты $(2.0 \; 7.0)$ дают среднее $(2.0+7.0)/2 = 4.5$ и среднее разности $(2.0-7.0)/2 = -2.5$ . Таким образом, мы получаем вектор

(1.75 \; 1.25 \; 4.5 \; -2.5)^{T}.

Теперь берём среднее от 1.75 и 4.5, получая $(1.75+4.5)/2 = 3.125$ , и среднее разности $(1.75-4.5)/2 = -1.375$ . Таким образом, мы получаем вектор

\overrightarrow {y} = (3.125 \; -1.375 \; 1.25 \; -2.5)^{T}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите матрицу $4 \times 4$ $A$ такую, что

\overrightarrow {x} \equiv \begin{pmatrix} 3.0 \\ 0.5 \\ 2.0 \\ 7.0 \end{pmatrix} = A\overrightarrow {y} \equiv A \begin{pmatrix} 3.125 \\ -1.375 \\ 1.25 \\ -2.5 \end{pmatrix}.

(ii)

Покажите, что обратная к $A$ матрица существует. Затем найдите обратную матрицу.

Задача 1.1.78

Матрица $8 \times 8$

H = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

играет роль в дискретном вейвлет-преобразовании. Покажите, что матрица обратима, не вычисляя определитель. Найдите обратную матрицу.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.79

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

При $n = 4$ матрица преобразования для вейвлета Добеши задаётся как

D_{4} = \begin{pmatrix} c_{0} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ c_{3} & -c_{2} & c_{1} & -c_{0} \\ c_{2} & c_{3} & c_{0} & c_{1} \\ c_{1} & -c_{0} & c_{3} & -c_{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1+\sqrt{3} \\ 3+\sqrt{3} \\ 3-\sqrt{3} \\ 1-\sqrt{3} \end{pmatrix}.

Является ли $D_{4}$ ортогональной? Докажите или опровергните.

(ii)

При $n = 8$ матрица преобразования для вейвлета Добеши задаётся как

D_{8} = \begin{pmatrix} c_{0} & c_{1} & c_{2} & c_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c_{3} & -c_{2} & c_{1} & -c_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_{0} & c_{1} & c_{2} & c_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_{3} & -c_{2} & c_{1} & -c_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{0} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{3} & -c_{2} & c_{1} & -c_{0} \\ c_{2} & c_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{0} & c_{1} \\ c_{1} & -c_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{3} & -c_{2} \end{pmatrix}.

Является ли $D_{8}$ ортогональной? Докажите или опровергните.

Задача 1.1.80

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A$ и $A+B$ обратимы. Тогда $(A+B)^{-1} \equiv A^{-1}-A^{-1}B(A+B)^{-1}$ . Примените это тождество к $A = \sigma_{1}$ , $B = \sigma_{3}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.1.81

Пусть $A$ — положительно определённая матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Пусть $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$ . Покажите, что $A+\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}$ положительно определена.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

1.2 · Дополнительные задачи[35/0%]

Задача 1.2.1

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Являются ли четыре ненормальные матрицы $2 \times 2$

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

линейно независимыми?

(ii)

Покажите, что девять матриц $3 \times 3$

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

образуют базис в векторном пространстве матриц $3 \times 3$ . Этот базис называется спиральным базисом (и может быть расширен на любую размерность). Какие из этих матриц ненормальны?

(iii)

Образуют ли восемь косоэрмитовых матриц $3 \times 3$

\Gamma _{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma _{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\Gamma _{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma _{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix},

\Gamma _{5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma _{6} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix},

\Gamma _{7} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Gamma _{8} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix}

вместе с единичной матрицей $3 \times 3$ ортонормированный базис в векторном пространстве матриц $3 \times 3$ над полем комплексных чисел? Найдите все попарные скалярные произведения $\left\langle A, B \right\rangle := \operatorname {tr}(AB^{*})$ . Обсудите.

Задача 1.2.2

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Тетраэдр в векторном пространстве $\mathbb {R}^{3}$ можно описать, задав векторы $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}, \overrightarrow {v}_{4}$ , нормальные к его граням и по длине равные площадям этих граней. Приведите пример.

(ii)

Рассмотрим тетраэдр, определённый тройкой линейно независимых векторов $\overrightarrow {v}_{j} \in \mathbb {R}^{3}$ , $j = 1,2,3$ . Покажите, что векторы нормали к граням, определённым парами этих векторов, нормированные на площадь грани, задаются формулами

\overrightarrow {n}_{1} = \frac{1}{2}\overrightarrow {v}_{2} \times \overrightarrow {v}_{3}, \quad \overrightarrow {n}_{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow {v}_{3} \times \overrightarrow {v}_{1}, \quad \overrightarrow {n}_{3} = \frac{1}{2}\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}.

Покажите, что

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{2}{3V}\overrightarrow {n}_{2} \times \overrightarrow {n}_{3}, \quad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{2}{3V}\overrightarrow {n}_{3} \times \overrightarrow {n}_{1}, \quad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{2}{3V}\overrightarrow {n}_{1} \times \overrightarrow {n}_{2}

где $V$ — объём тетраэдра, задаваемый формулой

V = \frac{1}{3!}(\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}) \cdot \overrightarrow {v}_{3} = \sqrt{\frac{2}{9}(\overrightarrow {n}_{1} \times \overrightarrow {n}_{2}) \cdot \overrightarrow {n}_{3}}.

Примените это к нормированным векторам, образующим ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{3}$

\overrightarrow {n}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {n}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {n}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Задача 1.2.3

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что любую положительно полуопределённую матрицу $M$ размера $n \times n$ ранга один можно записать в виде $M = \overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{T}$ , где $\overrightarrow {v}$ — некоторый (столбцовый) вектор в $\mathbb {C}^{n}$ .

(ii)

Пусть $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ — нормированные (столбцовые) векторы в $\mathbb {C}^{n}$ . Пусть $A$ — положительно полуопределённая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что $(\overrightarrow {u}^{*}\overrightarrow {v})(\overrightarrow {u}^{*}A\overrightarrow {v}) \geq 0$ .

(iii)

Покажите, что если эрмитовы матрицы $S$ и $T$ положительно полуопределены и коммутируют ( $ST = TS$ ), то их произведение $ST$ также положительно полуопределено. Нужно показать, что

(ST\overrightarrow {v})^{*}\overrightarrow {v} \geq 0

для всех $\overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n}$ . Заметим, что если $S = 0_{n}$ , то очевидно $(STu)^{*}\overrightarrow {u} = 0$ . Поэтому предположим, что $S \neq 0_{n}$ , т.е. $\left\| S\right\| > 0$ .

Задача 1.2.4

Покажите, что симметричные матрицы

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

положительно полуопределены. Обобщите на случай $n \times n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.5

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ и $A \neq 0_{n}$ . Покажите, что $A^{m} \neq 0_{n}$ для всех $m \in \mathbb {N}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.6

Пусть $A \in \mathbb {R}^{m \times n}$ — ненулевая матрица. Пусть $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$ , $\overrightarrow {y} \in \mathbb {R}^{m}$ — векторы такие, что $c := \overrightarrow {y}^{T}A\overrightarrow {x} \neq 0$ . Покажите, что матрица $B := A-c^{-1}A\overrightarrow {x}\overrightarrow {y}^{T}A$ имеет ранг, ровно на единицу меньший ранга $A$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.7

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим двумерное евклидово пространство и пусть $\overrightarrow {e}_{1}$ , $\overrightarrow {e}_{2}$ — стандартный базис. Рассмотрим семь векторов

\overrightarrow {v}_{0} = \overrightarrow {0}, \quad \overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{2}\overrightarrow {e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow {e}_{2}, \quad \overrightarrow {v}_{2} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {e}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow {e}_{2},

\overrightarrow {v}_{3} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow {e}_{2}, \quad \overrightarrow {v}_{4} = \frac{1}{2}\overrightarrow {e}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow {e}_{2}, \quad \overrightarrow {v}_{5} = -\overrightarrow {e}_{1}, \quad \overrightarrow {v}_{6} = \overrightarrow {e}_{1}.

Найдите расстояние между векторами и выберите пары векторов с наименьшим расстоянием.

(ii)

Рассмотрим векторы в $\mathbb {R}^{2}$

\overrightarrow {v}_{k} = \begin{pmatrix} \cos ((k-1)\pi /4) \\ \sin ((k-1)\pi /4) \end{pmatrix}, \quad k = 1,3,5,7

\overrightarrow {v}_{k} = \sqrt{2} \begin{pmatrix} \cos ((k-1)\pi /4) \\ \sin ((k-1)\pi /4) \end{pmatrix}, \quad k = 2,4,6,8

которые играют роль в решёточной модели Больцмана. Найдите углы между векторами.

Задача 1.2.8

Покажите, что матрицы $4 \times 4$

\Pi = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1 & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1 & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}, \quad \tilde{\Pi } = I_{4}-\Pi

являются проекционными матрицами. Опишите подпространства $\mathbb {R}^{4}$ , на которые они проецируют.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.9

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Векторы $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ , $\overrightarrow {w}$ указывают на вершины равностороннего треугольника

\overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} -1/(2\sqrt{3}) \\ 1/2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {w} = \begin{pmatrix} -1/(2\sqrt{3}) \\ -1/2 \end{pmatrix}.

Найдите площадь этого треугольника.

(ii)

Пусть $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ — (столбцовые) векторы в $\mathbb {R}^{n}$ . Покажите, что

A = \sqrt{\left|(\overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {u})(\overrightarrow {v}^{T}\overrightarrow {v})-(\overrightarrow {u}^{T}\overrightarrow {v})^{2}\right|}

вычисляет площадь, натянутую на векторы $\overrightarrow {u}$ и $\overrightarrow {v}$ .

Задача 1.2.10

Предположим, что две плоскости в $\mathbb {R}^{3}$ , заданные уравнениями

kx_{1}+\ell x_{2}+mx_{3}+n = 0, \quad k'x_{1}+\ell 'x_{2}+m'x_{3}+n' = 0

являются зеркальными отражениями друг друга относительно третьей плоскости в $\mathbb {R}^{3}$ , заданной уравнением

ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}+d = 0.

Покажите, что ( $r^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}$ )

\begin{pmatrix} k' \\ \ell ' \\ m' \end{pmatrix} = \frac{1}{r^{2}} \begin{pmatrix} a^{2}-b^{2}-c^{2} & 2ab & 2ac \\ 2ab & -a^{2}+b^{2}-c^{2} & 2bc \\ 2ac & 2bc & -a^{2}-b^{2}+c^{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k \\ \ell \\ m \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.11

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $A^{2} = I_{n}$ . Найдите матрицу $(A^{-1}+iI_{n})^{-1}$ .

(ii)

Пусть $B$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Найдите условие на $B$ , при котором

(I_{n}+iB)(I_{n}-iB) = I_{n}.

Это означает, что $(I_{n}-iB)$ является обратной к $(I_{n}+iB)$ .

Задача 1.2.12

Рассмотрим векторное пространство $\mathbb {R}^{d}$ . Предположим, что $\left\{ \overrightarrow {v}_{j}\right\}_{j=1}^{d}$ и $\left\{ \overrightarrow {w}_{k}\right\}_{k=1}^{d}$ — два базиса в $\mathbb {R}^{d}$ . Тогда существует обратимая матрица размера $d \times d$

T = (t_{jk})_{j,k=1}^{d}

такая, что

\overrightarrow {v}_{j} = \sum _{k=1}^{d} t_{jk}\overrightarrow {w}_{k}, \quad j = 1,\ldots ,d.

Говорят, что базисы $\left\{ \overrightarrow {v}_{j}\right\}_{j=1}^{d}$ и $\left\{ \overrightarrow {w}_{k}\right\}_{k=1}^{d}$ имеют одинаковую ориентацию, если $\operatorname {det}\left(T\right) > 0$ . Если $\operatorname {det}\left(T\right) < 0$ , то они имеют противоположную ориентацию. Рассмотрим два базиса в $\mathbb {R}^{2}$

\left\{ \overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} , \quad \left\{ \overrightarrow {w}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow {w}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right\} .

Найдите ориентацию.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.13

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $\omega > 0$ (фиксировано) и $t \geq 0$ . Покажите, что матрица $4 \times 4$

S(t) = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1+3e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} \\ 1-e^{-\omega t} & 1+3e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} \\ 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1+3e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} \\ 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1-e^{-\omega t} & 1+3e^{-\omega t} \end{pmatrix}

является стохастической матрицей (вероятностной матрицей). Найдите собственные значения $S(t)$ . Пусть

\pi = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите векторы $\pi S(t)$ , $(\pi S(t))S(t)$ и т.д. Верно ли, что $S(t_{1}+t_{2}) = S(t_{1})S(t_{2})$ ?

(ii)

Пусть $\epsilon \in [0,1]$ . Рассмотрим стохастическую матрицу

S(\epsilon ) = \begin{pmatrix} \epsilon & 1-\epsilon \\ 1-\epsilon & \epsilon \end{pmatrix}.

Пусть $n = 1,2,\ldots$ . Покажите, что

S^{n}(\epsilon ) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+(2\epsilon -1)^{n} & 1-(2\epsilon -1)^{n} \\ 1-(2\epsilon -1)^{n} & 1+(2\epsilon -1)^{n} \end{pmatrix}.

Задача 1.2.14

Можно ли найти такие матрицы $4 \times 4$ $A$ и $B$ , что

A \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \; ?

Разумеется, хотя бы одна из матриц $A$ и $B$ должна быть вырожденной. Основное поле $\mathbb {F}$ может быть $\mathbb {R}$ или иметь $\operatorname {char}(\mathbb {F}) = 2$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.15

(i)(ii)(iii)(iv)(v)(vi)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ такие, что $A^{2} \neq 0_{2}$ , но $A^{3} = 0_{2}$ .

(ii)

Найдите все неэрмитовы матрицы $2 \times 2$ $B$ такие, что $BB^{*} = I_{2}$ .

(iii)

Найдите все эрмитовы матрицы $2 \times 2$ $H$ такие, что $H^{2} = 0_{2}$ .

(iv)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $C$ над $\mathbb {R}$ такие, что $C^{T}C+CC^{T} = I_{2}$ , $C^{2} = 0_{2}$ .

(v)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ такие, что $A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3}$ , $A_{3}A_{1} = A_{2}A_{3}$ .

(vi)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $A^{2} = B^{2} = I_{2}$ , $AB = -I_{2}$ .

Задача 1.2.16

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ , а $B$ — матрица размера $p \times q$ . Тогда прямой суммой $A$ и $B$ , обозначаемой $A \oplus B$ , называется матрица размера $(m+p) \times (n+q)$ , определённая как

A \oplus B := \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}.

Пусть $A_{1}$ , $A_{2}$ — матрицы размера $m \times m$ , а $B_{1}$ , $B_{2}$ — матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что

(A_{1} \oplus B_{1})(A_{2} \oplus B_{2}) = (A_{1}A_{2}) \oplus (B_{1}B_{2}).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.17

Рассмотрим симметричную матрицу $A$ и нормированный вектор $\overrightarrow {v}$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Вычислите $S_{j} = \overrightarrow {v}^{*}A^{j}\overrightarrow {v}$ для $j = 1,2,3$ . Можно ли восстановить $A$ по $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ и информации о том, что $A$ вещественна и симметрична?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.18

(i)(ii)

Стандартный симплекс $\Delta_{n}$ определяется как множество в $\mathbb {R}^{n}$

\Delta _{n} := \left\{ (x_{1},\ldots ,x_{n})^{T} : x_{j} \geq 0, \; \sum _{j=1}^{n} x_{j} = 1\right\} .

Рассмотрим $n$ аффинно независимых точек $B_{1},\ldots ,B_{n} \in \Delta_{n}$ . Они натягивают $(n-1)$ -симплекс, обозначаемый $\Lambda = \operatorname {Con}(B_{1},\ldots ,B_{n})$ , то есть

\Lambda = \operatorname {Con}(B_{1},\ldots ,B_{n}) = \left\{ \lambda _{1}B_{1}+\cdots +\lambda _{n}B_{n} : \sum _{j=1}^{n} \lambda _{j} = 1, \; \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n} \geq 0\right\} .

Этому множеству соответствует обратимая матрица $[\Lambda ]$ размера $n \times n$ , столбцами которой являются $B_{1},\ldots ,B_{n}$ . Обратно, рассмотрим матрицу $C = (b_{jk})$ , где $C_{k} = (b_{1k},\ldots ,b_{nk})^{T}$ ( $k = 1,\ldots ,n$ ). Если $\operatorname {det}\left(C\right) \neq 0$ и сумма элементов в каждом столбце равна 1, то матрица $C$ соответствует $(n-1)$ -симплексу $\operatorname {Con}(B_{1},\ldots ,B_{n})$ в $\Delta_{n}$ . Пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ — матрицы размера $n \times n$ с неотрицательными элементами, у каждой из которых сумма элементов в каждом столбце равна 1.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что $C_{1}C_{2}$ и $C_{2}C_{1}$ также являются такими матрицами.

(ii)

Являются ли матрицы $C_{1} \otimes C_{2}$ , $C_{2} \otimes C_{1}$ размера $n^{2} \times n^{2}$ такими же матрицами?

Задача 1.2.19

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $S$ , $T$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $S^{2} = I_{n}$ , $(TS)^{2} = I_{n}$ . Тогда $S$ и $T$ обратимы. Покажите, что $STS^{-1} = T^{-1}$ , $ST^{-1}S = T$ .

(ii)

Пусть $A$ — обратимая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , а $B$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим матрицу $n \times n$ $D := A^{-1}BA$ . Покажите, что $D^{n} = A^{-1}B^{n}A$ , используя $AA^{-1} = I_{n}$ .

Задача 1.2.20

Найдите все обратимые матрицы $S$ размера $2 \times 2$ такие, что

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} S \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} S \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.21

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим матрицу $A$ размера $3 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Можно ли найти матрицы $B$ размера $2 \times 3$ такие, что $AB = I_{2}$ ?

(ii)

Рассмотрим матрицу $X$ размера $3 \times 2$

X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Можно ли найти матрицы $Y$ размера $2 \times 3$ такие, что $XY = I_{2}$ ?

Задача 1.2.22

Пусть $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{3}$ и $\times$ — векторное произведение. Найдите все решения

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.23

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ — матрица размера $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ и $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {R}^{3}$ . Найдите условия на $A$ , $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ , при которых

A(\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) = (A\overrightarrow {u}) \times (A\overrightarrow {v}).

(ii)

Рассмотрим три вектора $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}$ в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что $\overrightarrow {v}_{1} \cdot (\overrightarrow {v}_{2} \times \overrightarrow {v}_{3}) = 0$ , если $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}$ линейно зависимы.

(iii)

Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что $(\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) \cdot (\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) \equiv (\overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {u})(\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {v})-(\overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {v})^{2}$ .

(iv)

Пусть $\overrightarrow {a}$ , $\overrightarrow {b}$ , $\overrightarrow {c}$ , $\overrightarrow {d}$ — векторы в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что (тождество Лагранжа)

(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot (\overrightarrow {c} \times \overrightarrow {d}) \equiv \det \begin{pmatrix} \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {c} & \overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {c} \\ \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {d} & \overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {d} \end{pmatrix}.

Задача 1.2.24

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим четыре ненулевых вектора $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}, \overrightarrow {v}_{4}$ в $\mathbb {R}^{3}$ . Пусть

\overrightarrow {w} := (\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}) \times (\overrightarrow {v}_{3} \times \overrightarrow {v}_{4}) \neq \overrightarrow {0}.

Найдите $\overrightarrow {w} \times (\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2})$ и $\overrightarrow {w} \times (\overrightarrow {v}_{3} \times \overrightarrow {v}_{4})$ . Обсудите результат. Заметьте, что $\overrightarrow {v}_{1}$ и $\overrightarrow {v}_{2}$ порождают плоскость в $\mathbb {R}^{3}$ , а $\overrightarrow {v}_{3}$ и $\overrightarrow {v}_{4}$ порождают плоскость в $\mathbb {R}^{3}$ .

(ii)

Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v}, \overrightarrow {w}$ — векторы в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что (тождество Якоби)

\overrightarrow {u} \times (\overrightarrow {v} \times \overrightarrow {w})+\overrightarrow {w} \times (\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v})+\overrightarrow {v} \times (\overrightarrow {w} \times \overrightarrow {u}) = \overrightarrow {0}.

(iii)

Рассмотрим нормированные векторы-столбцы

\overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^{T}, \quad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{T}.

Образуют ли три вектора $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}$ ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{3}$ ?

(iv)

Пусть $\overrightarrow {v}_{1}, \overrightarrow {v}_{2}, \overrightarrow {v}_{3}, \overrightarrow {v}_{4}$ — векторы-столбцы в $\mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что

(\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2})^{T}(\overrightarrow {v}_{3} \times \overrightarrow {v}_{4}) \equiv (\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {v}_{3})(\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {v}_{4})-(\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {v}_{3})(\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {v}_{4}).

Частный случай при $\overrightarrow {v}_{3} = \overrightarrow {v}_{1}$ , $\overrightarrow {v}_{4} = \overrightarrow {v}_{2}$ имеет вид

(\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2})^{T}(\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2}) \equiv (\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {v}_{1})(\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {v}_{2})-(\overrightarrow {v}_{2}^{T}\overrightarrow {v}_{1})(\overrightarrow {v}_{1}^{T}\overrightarrow {v}_{2}).

Задача 1.2.25

Рассмотрим координаты

\overrightarrow {p}_{1} = (x_{1},y_{1},z_{1})^{T}, \quad \overrightarrow {p}_{2} = (x_{2},y_{2},z_{2})^{T}, \quad \overrightarrow {p}_{3} = (x_{3},y_{3},z_{3})^{T}

с $\overrightarrow {p}_{1} \neq \overrightarrow {p}_{2}$ , $\overrightarrow {p}_{2} \neq \overrightarrow {p}_{3}$ , $\overrightarrow {p}_{3} \neq \overrightarrow {p}_{1}$ . Образуем векторы

\overrightarrow {v}_{21} = \begin{pmatrix} x_{2}-x_{1} \\ y_{2}-y_{1} \\ z_{2}-z_{1} \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{31} = \begin{pmatrix} x_{3}-x_{1} \\ y_{3}-y_{1} \\ z_{3}-z_{1} \end{pmatrix}.

Что вычисляет $\frac{1}{2}\left|\overrightarrow {v}_{21} \times \overrightarrow {v}_{31}\right|$ ? Примените это к $\overrightarrow {p}_{1} = (0,0,0)^{T}$ , $\overrightarrow {p}_{2} = (1,0,1)^{T}$ , $\overrightarrow {p}_{3} = (1,1,1)^{T}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.26

Рассмотрим матрицу Хаара $K$ размера $4 \times 4$

K = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Найдите все эрмитовы матрицы $H$ размера $4 \times 4$ такие, что $KHK^{T} = H$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.27

Рассмотрим вещественную симметричную матрицу $A$ размера $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/3 \\ -\sqrt{3}/6 & -5/6 & -\sqrt{2}/3 \\ \sqrt{6}/3 & -\sqrt{2}/3 & 1/3 \end{pmatrix}.

Покажите, что $A^{T} = A^{-1}$ , показав, что столбцы матрицы нормированы и попарно ортонормированы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.28

Пусть $X \in \mathbb {R}^{n \times n}$ . Покажите, что $X$ можно записать в виде

X = A+S+cI_{n}

где $A$ — антисимметричная ( $A^{T} = -A$ ), $S$ — симметричная ( $S^{T} = S$ ) с $\operatorname {tr}(S) = 0$ и $c \in \mathbb {R}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.29

Пусть $c_{j} > 0$ для $j = 1,\ldots ,n$ . Покажите, что матрицы размера $n \times n$

\left(\frac{\sqrt{c_{j}c_{k}}}{c_{j}+c_{k}}\right), \quad \left(\frac{1/c_{j}+1/c_{k}}{\sqrt{c_{j}c_{k}}}\right)

( $k = 1,\ldots ,n$ ) положительно определены.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.30

Пусть $a,b \in \mathbb {R}$ и $c^{2} := a^{2}+b^{2}$ с $c^{2} > 0$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

M(a,b) = \frac{1}{c} \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}.

Покажите, что $M(a,b)M(a,b) = I_{2}$ . Таким образом, $M(a,b)$ можно рассматривать как квадратный корень из $I_{2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.31

Покажите, что ненулевая матрица $A$ размера $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ , удовлетворяющая

A^{2}A^{T}+A^{T}A^{2} = 2A, \quad AA^{T}A = 2A, \quad A^{3} = 0_{3}

задаётся как

A = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{T} = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.32

Пусть $\overrightarrow {x}$ — нормированный вектор-столбец в $\mathbb {R}^{n}$ , т.е. $\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x} = 1$ . Матрица $T$ называется матрицей Хаусхолдера, если $T := I_{n}-2\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}$ . Покажите, что

T^{2} = (I_{n}-2\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T})(I_{n}-2\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}) = I_{n}-4\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T}+4\overrightarrow {x}\overrightarrow {x}^{T} = I_{n}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.33

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что существуют ненулевые векторы $\overrightarrow {x}_{1}$ , $\overrightarrow {x}_{2}$ в $\mathbb {R}^{n}$ такие, что

\frac{\overrightarrow {x}_{1}^{T}A\overrightarrow {x}_{1}}{\overrightarrow {x}_{1}^{T}\overrightarrow {x}_{1}} \leq \frac{\overrightarrow {x}^{T}A\overrightarrow {x}}{\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x}} \leq \frac{\overrightarrow {x}_{2}^{T}A\overrightarrow {x}_{2}}{\overrightarrow {x}_{2}^{T}\overrightarrow {x}_{2}}

для любого ненулевого вектора $\overrightarrow {x}$ в $\mathbb {R}^{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.34

Обобщённый символ Кронекера можно определить следующим образом

\delta _{I,J} := \begin{cases} 1 & \text{если } J = (j_{1},\ldots ,j_{r}) \text{ является чётной перестановкой } I = (i_{1},\ldots ,i_{r}) \\ -1 & \text{если } J \text{ является нечётной перестановкой} \\ 0 & \text{если } J \text{ не является перестановкой } I \end{cases}

Покажите, что $\delta_{126,621} = -1$ , $\delta_{126,651} = 0$ , $\delta_{125,512} = 1$ . Приведите реализацию в системе компьютерной алгебры.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2.35

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $j_{0},j_{1},k_{0},k_{1} \in \left\{ 0,1\right\}$ . Рассмотрим тензор

T^{j_{0},j_{1}}_{k_{0},k_{1}}.

Задайте взаимно однозначное отображение, которое переводит $T^{j_{0},j_{1}}_{k_{0},k_{1}}$ в матрицу $S = (s_{\ell_{0},\ell_{1}})$ размера $2^{2} \times 2^{2}$ с $\ell_{0},\ell_{1} = 0,1,2,3$ , т.е.

\begin{pmatrix} t^{00}_{00} & t^{00}_{01} & t^{00}_{10} & t^{00}_{11} \\ t^{01}_{00} & t^{01}_{01} & t^{01}_{10} & t^{01}_{11} \\ t^{10}_{00} & t^{10}_{01} & t^{10}_{10} & t^{10}_{11} \\ t^{11}_{00} & t^{11}_{01} & t^{11}_{10} & t^{11}_{11} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} s_{00} & s_{01} & s_{02} & s_{03} \\ s_{10} & s_{11} & s_{12} & s_{13} \\ s_{20} & s_{21} & s_{22} & s_{23} \\ s_{30} & s_{31} & s_{32} & s_{33} \end{pmatrix}.

(ii)

Пусть $j_{0},j_{1},j_{2},k_{0},k_{1},k_{2} \in \left\{ 0,1\right\}$ . Рассмотрим тензор

T^{j_{0},j_{1},j_{2}}_{k_{0},k_{1},k_{2}}.

Задайте взаимно однозначное отображение, которое переводит $T^{j_{0},j_{1},j_{2}}_{k_{0},k_{1},k_{2}}$ в матрицу $S = (s_{\ell_{0},\ell_{1}})$ размера $2^{3} \times 2^{3}$ с $\ell_{0},\ell_{1} = 0,1,\ldots ,2^{3}-1$ .

(iii)

Пусть $n \geq 2$ и $j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n},k_{0},k_{1},\ldots ,k_{n} \in \left\{ 0,1\right\}$ . Рассмотрим тензор

T^{j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n-1}}_{k_{0},k_{1},\ldots ,k_{n-1}}.

Задайте взаимно однозначное отображение, которое переводит этот тензор в матрицу $S = (s_{\ell_{0},\ell_{1}})$ размера $2^{n} \times 2^{n}$ с $\ell_{0},\ell_{1} = 0,1,\ldots ,2^{n}-1$ . Приведите реализацию на SymbolicC++. Пользователь задаёт $n$ .