Ортогональные системы векторов

Доказать, что всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова (эрмитова) пространства линейно независима.

Проверить ортогональность данных векторов и дополнить их до ортогонального базиса всего пространства $\mathbb {R}^{4}:(1,-1,-1,1)$, $(3,1,1,-1)$.

Проверить ортогональность пары векторов $(1,-i, 1+i$), $(1+i,-1+i, 0)$ эрмитова пространства $\mathbb {C}^{3}$ и дополнить ее до ортогонального базиса всего пространства $\mathbb {C}^{3}$.

Относительно евклидова скалярного произведения $(A, B) = \operatorname {tr}\left(A^{\top } B\right) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} b_{i j}$ проверить ортогональность следующей системы матриц:

и дополнить ее до ортогонального базиса всего пространства вещественных квадратных матриц второго порядка.

Дополнить данную систему векторов до ортонормированного базиса всего трехмерного пространства:

Дополнить систему векторов до ортонормированного базиса всего пространства $\mathbb {R}^{4}$ :

Дополнить данную систему векторов до ортонормированного базиса всего эрмитова пространства $\mathbb {C}^{4}$ :

Методом ортогонализации Грама-Шмидта построить ортогональный базис подпространства, порожденного векторами:

Методом ортогонализации Грама-Шмидта построить ортогональный базис подпространства пространства многочленов, порожденного многочленами $x^{3}, x^{4}, x^{5}, x^{6}$ со скалярным произведением, заданным интегралом:

Методом ортогонализации Грама-Шмидта построить ортогональный базис эрмитова пространства $\mathbb {C}^{3}$, порожденного векторами $(1+i, 0,1-i),(1+i,-i, 1+i),(-2 i, 1,2)$.

Доказать, что процесс ортогонализации не увеличивает длины ортогонализуемых векторов, т. е.

где векторы $b_{k}$ получены из системы $a_{k}$ процессом ортогонализации. При каких условиях для некоторого $l, 1 < l \leqslant n$, имеет место равенство $\left|b_{l}\right| = \left|a_{l}\right|$?

Доказать, что в процессе ортогонализации системы векторов $a_{k}$ евклидова пространства возникает нулевой вектор $b_{l}$, если и только если исходная система $a_{k}$ была линейно зависимой. Точнее, $b_{l} = 0$ тогда и только тогда, когда вектор $a_{l}$ линейно выражается через векторы $a_{i}, i = 1,2, \ldots , l-1$.

Последовательность многочленов задана рекуррентной формулой

Последовательность многочленов задана рекуррентной формулой

Найти явные выражения для $P_{2}(x), P_{3}(x), P_{4}(x), P_{5}(x)$.

Определенные таким образом многочлены называются многочленами Лежандра.

Доказать, что многочлены, определенные формулами

Доказать, что ортогональный базис $Q_{k}(t), k = 1,2, \ldots , n$, в пространстве многочленов степени не выше $n$ со скалярным произведением, заданным интегралом

может быть получен некоторой линейной заменой переменной $x = x(t)$ из многочленов Лежандра $P_{k}(x)$ (т. е. $Q_{k}(t) = P_{k}(x(t))$).

Доказать, что матрица перехода от базиса $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ к базису $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{k}$, полученному в результате процесса ортогонализации из базиса $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$, всегда является верхнетреугольной, причем все диагональные элементы этой матрицы равны единице.

Пусть даны линейно независимая система векторов $a_{1}$, $a_{2}, \ldots , a_{k}$ и такая ортогональная система $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{k}$, что матрица перехода от первой системы ко второй является верхнетреугольной. Доказать, что векторы $b_{i}$ ортогональной системы, полученной из $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k}$ процессом ортогонализации, отличаются от векторов системы $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{k}$ лишь постоянными множителями: $b_{i} = \alpha_{i} c_{i}$, $i = 1,2, \ldots , k$.

Доказать, что в результате применения процесса ортогонализации к многочленам $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$ со скалярным произведением $(f, g) = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$ получаются многочлены, отличающиеся лишь постоянными множителями от многочленов Лежандра $P_{k}(x)$. Найти эти множители.

Ортогональной (унитарной) матрицей $U$ называется матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Доказать, что:

Доказать, что произвольную невырожденную матрицу $A$ можно представить в виде произведения $A = U R$ ортогональной (унитарной) матрицы $U$ и верхнетреугольной матрицы $R$. Насколько однозначно такое представление?

Представить матрицу

в виде произведения ортогональной матрицы $U$ на верхнетреугольную $R$ с положительными числами на диагонали.

Представить матрицу

в виде произведения унитарной матрицы $U$ на верхнетреугольную $R$.

Доказать, что координаты $x^{i}, i = 1, \ldots , n$, произвольного вектора $x$ относительно ортогонального базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ могут быть найдены по формулам

Такие координаты называют коэффициентами Фурье вектора $x$ относительно ортогонального базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$.

В евклидовом пространстве непрерывных на отрезке $[-\pi , \pi ]$ функций со скалярным произведением

проверить попарную ортогональность функций следующей системы:

$1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \ldots , \cos n x, \sin n x$.

В подпространстве, порожденном функциями

евклидова пространства тригонометрических многочленов со скалярным произведением

найти коэффициенты Фурье функции $\cos^{3} x$ относительно ортогонального базиса $f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}$.

Пусть $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{k}$ — ортонормированная система векторов евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$. Доказать, что для всех $x \in \mathbb {R}^{n}$ выполняется неравенство Бесселя

причем равенство (равенство Парсеваля) достигается для всех $x$ тогда и только тогда, когда система $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{k}$ является ортонормированным базисом в $\mathbb {R}^{n}$, т.е. $k = n$.

Показать, что число $(e_{i}, x)$ равно длине проекции вектора $x$ на одномерное пространство, порожденное вектором $e_{i}$, а если система $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ образует базис в $\mathbb {R}^{n}$, то $\left(e_{i}, x\right)$ просто равно $i$-й координате $x^{i}$ вектора $x$ относительно этого базиса.