Элементарные свойства скалярного произведения

Доказать, что требование билинейности (полуторалинейности) в аксиомах евклидова (эрмитова) пространства можно заменить на линейность по второму аргументу.

Показать, что функция $f$ от векторов $x$ и $y$ действительной плоскости, заданная формулой

определяет евклидово скалярное произведение на плоскости. Найти скалярное произведение векторов $(1,-1)$ и $(4,1)$.

Рассмотрим функцию $f$ от векторов $x$ и $y$ двумерного пространства, заданную следующим образом:

Доказать, что эта формула определяет евклидово скалярное произведение тогда и только тогда, когда $a > 0, a d-b^{2} > 0$.

Найти длины следующих векторов эрмитова пространства $\mathbb {C}^{3}$:

Проверить, являются ли евклидовыми скалярными произведениями в пространстве многочленов степени не выше $n$ следующие билинейные функции:

Даны многочлены $x^{2}$ и $x^{4}$. Найти их длины и угол $\varphi$ между ними в евклидовом пространстве многочленов степени не выше 4 со скалярным произведением, заданным интегралом:

Проверить, является ли:

Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать следующие неравенства:

При помощи неравенства Коши-Буняковского доказать, что в евклидовом (эрмитовом) пространстве выполнены неравенства треугольника

причем правое неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы $x$ и $y$ коллинеарны и одинаково направлены.

(Теорема Пифагора). Доказать, что если векторы $x$ и $y$ в евклидовом (эрмитовом) пространстве ортогональны, то

Верно ли обратное утверждение?

Доказать, что в параллелограмме, натянутом на векторы $x$ и $y$ евклидова пространства, сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин сторон. Верно ли аналогичное утверждение для эрмитова пространства?

Доказать, что всякое подпространство $L$ евклидова (эрмитова) пространства $V$ является евклидовым (эрмитовым) пространством относительно ограничения на $L$ скалярного произведения из $V$, т. е. скалярного произведения, определенного следующим образом: скалярное произведение $\left(l_{1}, l_{2}\right)_{L}$ двух векторов $l_{1}, l_{2} \in L$ равно их скалярному произведению $\left(l_{1}, l_{2}\right)_{V}$ как векторов из $V$. Такое скалярное произведение называется скалярным произведением, индуцированным вложением $L \subset V$ подпространства $L$ в пространство $V$.

На внешней прямой сумме $V \oplus W$ двух евклидовых (эрмитовых) пространств $V$ и $W$ ввести евклидово (эрмитово) скалярное произведение так, чтобы индуцированные стандартными вложениями

скалярные произведения на $V$ и $W$ совпадали с их исходными скалярными произведениями $(\cdot , \cdot )_{V}$ и $(\cdot , \cdot )_{W}$ соответственно, а подпространства $V$ и $W$ были ортогональны друг другу.

Доказать неравенство Коши-Буняковского для эрмитова пространства:

Пусть $V$ — вещественное евклидово пространство со скалярным произведением $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {R}}$. Показать, что его комплексификация $V_{\mathbb {C}}$ может быть превращена в эрмитово пространство, если ввести в ней эрмитово скалярное произведение $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {C}}$ по формуле

Пространство $V_{\mathbb {C}}$ с определенным таким образом эрмитовым произведением $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {C}}$ будем называть комплексификацией $V_{\mathbb {C}}$ евклидова пространства $V$. Какое эрмитово пространство получается комплексификацией из стандартного $\mathbb {R}^{n}$?

Доказать, что если $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис в вещественном евклидовом пространстве $V$, то векторы $e_{1}+i \cdot 0$, $e_{2}+i \cdot 0, \ldots , e_{n}+i \cdot 0$ будут задавать ортонормированный базис в комплексификации $V_{\mathbb {C}}$ относительно эрмитова скалярного произведения, введенного в предыдущей задаче.

Пусть $W$ — эрмитово пространство с эрмитовым скалярным произведением $(\cdot ,\cdot )$. Рассмотрим его овеществление $W_{\mathbb {R}}$. Доказать, что $W_{\mathbb {R}}$ становится евклидовым пространством, если ввести в $W_{\mathbb {R}}$ евклидово скалярное произведение $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {R}}$ по формуле

В случае $W = \mathbb {C}^{n}$ написать формулу для значения $\left(z_{1}, z_{2}\right)_{\mathbb {R}}$ в стандартных координатах $\left(x^{1}, \ldots , x^{n}, y^{1}, \ldots , y^{n}\right)$ овеществленного пространства $W_{\mathbb {R}}$, заданных равенствами $x^{k}+i y^{k} = z^{k}$. Показать, что если овеществить таким образом стандартное эрмитово пространство $\mathbb {C}^{n}$, то получится стандартное евклидово пространство $\mathbb {R}^{2 n}$.

Показать, что в условиях предыдущей задачи векторы $z$ и $i z$ всегда ортогональны относительно $(\cdot , \cdot )_{\mathbb {R}}$.

Задача 1284: $W$ — эрмитово пространство с эрмитовым скалярным произведением $(\cdot , \cdot )$, $W_{\mathbb {R}}$ — его овеществление с евклидовым скалярным произведением $\left(z_{1}, z_{2}\right)_{\mathbb {R}} = \operatorname {Re}\left(z_{1}, z_{2}\right)$.

Показать, что мнимая часть $\operatorname {Im}(\cdot , \cdot )$ эрмитова скалярного произведения является вещественной кососимметрической билинейной функцией в эрмитовом пространстве $W$, причем форма $\operatorname {Im}(\cdot , \cdot )$ инвариантна относительно умножения на $i$, т. е.

Показать, что эрмитово скалярное произведение $(\cdot , \cdot )$ однозначно восстанавливается как по своей действительной части $\operatorname {Re}(\cdot , \cdot )$, так и по своей мнимой части $\operatorname {Im}(\cdot , \cdot )$. Для этого выразить: