Билинейные и квадратичные функции

Привести пример невырожденной билинейной функции, ограничение которой на некоторое ненулевое подпространство равно нулю.

Показать, что вектор $x$ тогда и только тогда принадлежит левому (соответственно, правому) ядру билинейной функции, когда $B^{\top } X = 0$ (соответственно $B X = 0$), где $B$ — матрица функции, а $X$ столбец координат $x^{1}, \ldots , x^{n}$, при этом размерности правого и левого ядер совпадают.

Найти левое $L$ и правое $R$ ядра билинейной функции

в $\mathbb {R}^{2}$ и убедиться, что $L \neq R$.

Пусть $\varphi$ — невырожденная билинейная (соответственно, полуторалинейная) функция, $l$ — линейная (соответственно, полулинейная) функция. Показать, что существует такой вектор $b$, что для всех векторов $a$ имеет место равенство $l(a) = \varphi (a, b)$.

Пусть в линейном пространстве $V$ дана билинейная (полуторалинейная) функция $\varphi$ с матрицей $B$ в некотором базисе. Показать, что для любого оператора А в пространстве $V$ функция $\varphi_{\mathrm{A}}(a, b) = \varphi (a, \mathrm{~ A} b)$ билинейна (соответственно, полуторалинейна) и имеет в том же базисе матрицу $B A$, где $A$ — матрица оператора А. Показать, что сопоставление $\mathrm{A} \mapsto \varphi_{\mathrm{A}}$ задает линейное отображение пространства операторов в пространство билинейных (соответственно, полуторалинейных) функций, и это отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда функция $\varphi$ невырожденна.

Доказать, что для любой ненулевой полуторалинейной функции $\varphi$ существует такой вектор $a$, что $\varphi (a, a) \neq 0$.

Пусть $\varphi$ — невырожденная полуторалинейная функция. Доказать, что если для оператора А имеет место тождество $\varphi (v, \mathbf{A} v) = 0$ для любого вектора $v$, то $\mathbf{A} = 0$. Показать, что это утверждение перестает быть верным, если вместо полуторалинейной рассматривать билинейную функцию.

Пусть на линейном пространстве $V$ задана невырожденная билинейная (или полуторалинейная) функция. Пусть $W \subset V$ — подпространство, на котором данная функция тождественно обращается в нуль. Доказать, что $\operatorname {dim} W \leqslant \frac{1}{2} \operatorname {dim} V$.

Доказать, что для симметрической или кососимметрической билинейной функции $\varphi$ левое и правое ядра совпадают. Это подпространство называют ядром функции $\varphi$ и обозначают $\operatorname {Ker} \varphi$. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для эрмитовых функций.

Доказать, что любую билинейную функцию можно представить в виде суммы симметрической и кососимметрической функций, а любую полуторалинейную функцию можно представить в виде суммы эрмитовой и косоэрмитовой функций. Верно ли аналогичное утверждение в случае пространства над произвольным полем?

Пусть $\varphi$ — билинейная или полуторалинейная функция на пространстве $V$ с одним из условий симметрии, а $W \subset V$ — подпространство. Доказать, что $W \cap W^{\perp }$ совпадает с ядром ограничения $\varphi$ на $W$.

Пусть $\varphi$ — билинейная или полуторалинейная функция на линейном пространстве $V$ с одним из условий симметрии, а $W \subset V$ — подпространство. Доказать, что $V = W+W^{\perp }$ тогда и только тогда, когда функция $\varphi$ невырожденна на $W$.

Доказать, что условие $\varphi (b, a) = \overline{\varphi (a, b)}$ не может быть выполнено тождественно ни для какой ненулевой билинейной функции на комплексном линейном пространстве. Доказать, что ненулевая полуторалинейная функция $\varphi$ не может быть ни симметрической, $\varphi (b, a) = \varphi (a, b)$, ни кососимметрической, $\varphi (b, a) = -\varphi (a, b)$.

Пусть $\varphi : L \times L \rightarrow \mathbb {k}$ — билинейная функция со свойством: если $\varphi (x, y) = 0$, то $\varphi (y, x) = 0$. Доказать, что тогда $\varphi$ либо симметрична, либо кососимметрична.

Пусть $\varphi$ — симметрическая или кососимметрическая билинейная функция (а в случае комплексного пространства — эрмитова функция). Пусть $W$ — подпространство линейного пространства $V$, а $W^{\perp }$ — его ортогональное дополнение относительно $\varphi$. Доказать, что $\operatorname {dim} W^{\perp } \geqslant \operatorname {dim} V-\operatorname {dim} W$ и равенство имеет место при условии $\operatorname {Ker} \varphi \cap W = 0$.

Пусть $\varphi$ — невырожденная билинейная или полуторалинейная функция с одним из условий симметрии, а $W_{0}$ — ядро ограничения $\varphi$ на подпространство $W$. Доказать, что $\left(W^{\perp }\right)_{0} = W_{0} = W \cap W^{\perp }$.

Доказать, что если неотрицательная вещественная квадратичная функция обращается в нуль хотя бы на одном ненулевом наборе вещественных значений переменных, то эта функция вырожденна.

Доказать, что $\psi$ косоэрмитова тогда и только тогда, когда функция $i \psi$ эрмитова. Доказать, что любая косоэрмитова функция диагонализируема с числами $\pm i$ и нулями на диагонали.

Доказать, что определитель любой эрмитовой матрицы действительное число, а определитель любой косоэрмитовой матрицы — действительное или чисто мнимое (в зависимости от размерности).

Доказать, что для симметрической (или эрмитовой) функции $\varphi$ над полем $\mathbb {R}$ (или $\mathbb {C}$) множество всех векторов $a$, для которых $\varphi (a, a) = 0$, тогда и только тогда есть подпространство линейного пространства, когда один из индексов инерции формы $\varphi$ равен нулю.

Пусть $Q(x, y)$ — эрмитова форма на комплексном линейном пространстве $V,{ }^{R} Q(x, y) = \operatorname {Re} Q(x, y)$. Доказать, что:

Пусть $\varphi$ — вещественная билинейная симметрическая или комплексная эрмитова функция. Доказать, что неравенство

имеет место для всех пар векторов $a, b$ в том и только в том случае, когда один из индексов инерции $\varphi$ равен нулю. Неравенство является строгим для любых линейно независимых пар векторов тогда и только тогда, когда один из индексов инерции совпадает с размерностью пространства.

Пусть существуют линейная замена координат (возможно вырожденная), переводящая квадратичную функцию $\varphi$ в функцию $\psi$, и замена — переводящая функцию $\psi$ в функцию $\varphi$. Доказать, что эти две функции эквивалентны, т. е. существует невырожденное преобразование, переводящее одну из этих функций в другую.

Доказать, что квадратичная функция в вещественном линейном пространстве распадается в произведение двух линейных функций тогда и только тогда, когда ее ранг не превосходит 2, а в случае ранга 2 сигнатура равна нулю. Доказать, что для распадения квадратичной функции в комплексном пространстве в произведение двух линейных функций необходимо и достаточно, чтобы ее ранг не превосходил 2.

Доказать, что вещественная квадратичная функция является неотрицательно определенной тогда и только тогда, когда ее матрица $A$ представляется в виде $A = C^{\top } C$ для некоторой вещественной матрицы $C$. При этом форма положительно определена, если матрица $C$ невырожденна.

(Критерий Сильвестра). Доказать, что квадратичная функция положительно определена тогда и только тогда, когда все ее угловые главные миноры (т.е. миноры, образованные первыми $k$ строками и первыми $k$ столбцами матрицы) положительны.

Доказать, что в положительно определенной квадратичной функции все коэффициенты при квадратах положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности функции.

Доказать следующие утверждения.

1. Для положительной определенности квадратичной функции необходимо и достаточно, чтобы все главные (т. е. симметричные относительно главной диагонали) миноры ее матрицы были положительны.

2. Для того чтобы квадратичная функция $f$ была неотрицательно определена (т. е. $f \geqslant 0$ для всех значений переменных), необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были неотрицательны. Показать, что (в отличие от положительно определенных функций) для неотрицательности $f$ недостаточно неотрицательности всех угловых миноров ее матрицы.

3. Для того чтобы вещественная симметричная матрица $A$ представлялась в виде $A = C^{\top } C$ для некоторой вещественной невырожденной матрицы $C$, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы $A$ были положительны.

4. Для того чтобы вещественная симметричная матрица $A$ представлялась в виде $A = C^{\top } C$ для некоторой вещественной матрицы $C$, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы $A$ были неотрицательны. Если ранг матрицы $A$ равен $r$, то и ранг $C$ равен $r$, и можно считать, что в матрице $C$ первые $r$ строк линейно независимы, а остальные — нулевые.

Доказать, что если квадратичная функция с матрицей $A$ положительно определена, то и квадратичная функция с матрицей $A^{-1}$ также положительно определена.

Доказать, что квадратичная функция $f$ тогда и только тогда отрицательно определена (т. е. функция $-f$ положительно определена), когда знаки угловых миноров $D_{1}, D_{2}, \ldots , D_{n}$ чередуются, и $D_{1} < 0$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис для билинейной или полуторалинейной функции $\varphi$ ранга $r$, в котором ее матрица является блочнодиагональной, с единственным ненулевым блоком размера $r \times r$ в левом верхнем углу. Показать, что такой же вид будет иметь матрица этой функции в любом базисе вида $a_{1}, \ldots , a_{r}, e_{r+1}, \ldots , e_{n}$.

Доказать, что ранг симметричной, кососимметричной или эрмитовой матрицы равен максимальному размеру ненулевых главных миноров.

Пусть $B$ — отличный от нуля главный минор порядка $r$ матрицы симметрической билинейной или комплексной эрмитовой функции $\varphi$ ранга $r$. Доказать, что если главные угловые миноры $B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{r} = B$ минора $B$ отличны от нуля, то существует базис, в котором матрица функции $\varphi$ имеет диагональный вид с числами

на диагонали.

Пусть $\varphi$ — (косо)симметрическая билинейная или комплексная эрмитова функция с ядром $\operatorname {Ker} \varphi$. Доказать, что $\operatorname {Ker} \varphi = W^{\perp }$ для любого дополнительного к $\operatorname {Ker} \varphi$ подпространства $W$ и что ограничение $\varphi$ на такое $W$ невырожденно.

Пусть $\varphi$ — невырожденная (косо)симметрическая билинейная или комплексная эрмитова функция, ограничение которой на подпространство $W$ размерности $k$ невырожденно, а ограничение на подпространство $W_{1} \supset W$ размерности $k+1$ вырожденно. Доказать, что найдется подпространство $W_{2} \supset W_{1}$ размерности $k+2$, ограничение на которое функции $\varphi$ снова невырожденно. Проверить, что в симметричном вещественном и эрмитовом случаях знаки определителей ограничений $\varphi$ на $W$ и на $W_{2}$ различны, а в кососимметричном случае эти знаки совпадают.

Пусть $\varphi$ — (косо)симметрическая билинейная или комплексная эрмитова функция ранга $r$, невырожденная на некотором подпространстве $W$ размерности $k < r$, а $e_{k+1}, \ldots , e_{n}$ — линейно независимые векторы, порождающие вместе с $W$ все пространство. Доказать, что среди этих векторов найдутся $r-k$ таких, что вместе с $W$ они порождают содержащее $W$ подпространство размерности $r$, ограничение $\varphi$ на которое невырожденно. Используя предыдущую задачу, показать, что если ограничения $\varphi$ на все линейные оболочки $\left\langle W, e_{j}\right\rangle$ вырожденны, то существует пара векторов $e_{j}, e_{l}$, для которых ограничение $\varphi$ на их линейную оболочку невырожденно.

Пусть $B$ — (косо)симметричная или комплексная эрмитова матрица. Показать, что любой отличный от нуля главный минор матрицы $B$ содержится в максимальном главном миноре, размер которого равен рангу матрицы $B$. Показать, что если некоторый главный минор порядка $r$ отличен от нуля, а все его окаймляющие главные миноры порядков $r+1$ и $r+2$ равны нулю, то $r$ — ранг матрицы $B$.

Пусть $f$ — квадратичная функция на вещественном линейном пространстве, $a$ и $b$ — такие векторы, что $f(a) < 0$ и $f(b) > 0$. Доказать, что векторы $a$ и $b$ линейно независимы.

Для квадратичных функций $f$ и $g$ выяснить, существует ли линейное преобразование, переводящее функцию $f$ в функцию $g$ :

Методом Лагранжа привести квадратичную функцию к нормальному виду, найти матрицу соответствующего линейного преобразования:

Показать, что симметрическая билинейная функция на двумерном линейном пространстве над полем характеристики 2, заданная матрицей $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, не приводится к диагональному виду.

Пусть $\varphi (x, y)$ — ненулевая кососимметрическая билинейная функция в $n$-мерном линейном пространстве. Доказать, что существует базис, в котором $\varphi (x, y)$ имеет канонический вид:

Привести кососимметрическую билинейную функцию к каноническому виду (с нахождением преобразования):

Следующие квадратичные функции привести к диагональному виду и найти выражение новых координат через старые:

Пусть дана квадратичная функция вида

где $l_{i}, i = 1, \ldots , p+q$, — вещественные линейные функции от $x_{1}, \ldots , x_{n}$. Доказать, что положительный индекс инерции функции $\varphi$ не превосходит $p$, а отрицательный индекс инерции не превосходит $q$.

В пространстве $\mathbb {R}_{1}[x]$ многочленов степени не выше 1 дана квадратичная функция

где $a > 0$. Найти положительный $p$ и отрицательный $q$ индексы инерции этой квадратичной функции в зависимости от $a$.

Найти все значения параметра $\alpha$, при которых данная квадратичная форма положительно определена:

Привести эрмитову полуторалинейную функцию к нормальному виду (с нахождением преобразования):

Привести косоэрмитову полуторалинейную функцию к нормальному виду (с нахождением преобразования):