11.6

Подстановка оператора (матрицы) в функцию числового аргумента

[12/67%]
Показать
LaTeX
Задача 1201

Найти kk-ю степень AkA^{k} жордановой клетки

A=(α100…000α10…0000α1…00…………………0000…α10000…0α) порядка n A =\left(\begin{smallmatrix} \alpha & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \alpha & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \alpha \end{smallmatrix}\right) \text{ порядка } n
?
Задача 1202

Доказать, что значение многочлена f(x)f(x) от жордановой клетки (11.1) определяется формулой

f(A)=(f(α)f′(α)1!f′′(α)2!f′′′(α)3!…f(n−1)(α)(n−1)!0f(α)f′(α)1!f′′(α)2!…f(n−2)(α)(n−2)!……………………0000…f(α)) f(A) =\left(\begin{smallmatrix} f(\alpha ) & \frac{f^{\prime }(\alpha )}{1 !} & \frac{f^{\prime \prime }(\alpha )}{2 !} & \frac{f^{\prime \prime \prime }(\alpha )}{3 !} & \ldots & \frac{f^{(n-1)}(\alpha )}{(n-1) !} \\ 0 & f(\alpha ) & \frac{f^{\prime }(\alpha )}{1 !} & \frac{f^{\prime \prime }(\alpha )}{2 !} & \ldots & \frac{f^{(n-2)}(\alpha )}{(n-2) !} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & f(\alpha ) \end{smallmatrix}\right)
?
Задача 1203

Пусть μA(λ)=(λ−λ1)r1…(λ−λs)rs\mu_{\mathrm{A}}(\lambda ) = \left(\lambda -\lambda_{1}\right)^{r_{1}} \ldots \left(\lambda -\lambda_{s}\right)^{r_{s}} — минимальный многочлен оператора А. Если для каждого k=1,…,sk = 1, \ldots , s функция f(λ)f(\lambda ) определена в точке λk\lambda_{k} и дифференцируема в ней по меньшей мере rk−1r_{k}-1 раз, то говорят, что функция f(λ)f(\lambda ) определена на спектре оператора A, а систему чисел

(f(j)(λk))1⩽k⩽s;1⩽j⩽rk−1 \left(f^{(j)}\left(\lambda _{k}\right)\right)_{1 \leqslant k \leqslant s ; 1 \leqslant j \leqslant r_{k}-1}

называют системой значений функции f(λ)f(\lambda ) на спектре оператора А. Доказать, что значения многочленов g(λ)g(\lambda ) и h(λ)h(\lambda ) от оператора А совпадают тогда и только тогда, когда совпадают значения этих многочленов на спектре оператора A\mathbf{A}.

?
Задача 1204

Пусть функция f(λ)f(\lambda ) определена на спектре оператора A\mathbf{A} с минимальным многочленом μA(λ)=(λ−λ1)r1…(λ−λs)rs\mu_{\mathrm{A}}(\lambda ) = \left(\lambda -\lambda_{1}\right)^{r_{1}} \ldots \left(\lambda -\lambda_{s}\right)^{r_{s}}. Рассмотрим многочлен

r(λ)=∑k=1s(αk,1+αk,2(λ−λk)+…+αk,rs(λ−λk)rk−1)⋅μA(λ)(λ−λk)rk r(\lambda ) = \sum _{k = 1}^{s}\left(\alpha _{k, 1}+\alpha _{k, 2}\left(\lambda -\lambda _{k}\right)+\ldots +\alpha _{k, r_{s}}\left(\lambda -\lambda _{k}\right)^{r_{k}-1}\right) \cdot \frac{\mu _{\mathrm{A}}(\lambda )}{\left(\lambda -\lambda _{k}\right)^{r_{k}}}

где

αk,j=1(j−1)!((λ−λk)rkf(λ)μA(λ))λ=λk(j−1) \alpha _{k, j} = \frac{1}{(j-1) !}\left(\frac{\left(\lambda -\lambda _{k}\right)^{r_{k}} f(\lambda )}{\mu _{\mathrm{A}}(\lambda )}\right)_{\lambda = \lambda _{k}}^{(j-1)}

j=1,2,…,rk,k=1,2,…,sj = 1,2, \ldots , r_{k}, k = 1,2, \ldots , s. Доказать, что:

?
(1)

системы значений многочлена r(λ)r(\lambda ) и функции f(λ)f(\lambda ) на спектре оператора А совпадают;

(2)

среди всех многочленов с этим свойством r(λ)r(\lambda ) имеет наименьшую степень.

Этот многочлен r(λ)r(\lambda ) называется интерполяционным многочленом функции f(λ)f(\lambda ) на спектре оператора А. Значение f(A)f(\mathbf{A}) функции ff от оператора А по определению полагается равным rr (А).

Задача 1205

Вычислить A100A^{100}, где

A=(10151327−20−2−10) A =\left(\begin{smallmatrix} 10 & 1 & 5 \\ 13 & 2 & 7 \\ -20 & -2 & -10 \end{smallmatrix}\right)
?
Задача 1206

Вычислить A101A^{101}, где

A=(−2−3−4−100111) A =\left(\begin{smallmatrix} -2 & -3 & -4 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right)
?
Задача 1207

Вычислить exp⁡A\exp A, где:

?
(1)

A=(0−330)A = \left(\begin{array}{rr}0 & -3 \\ 3 & 0\end{array}\right);

(2)

A=(0−1−1−1−1−2011)A = \left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right);

(3)

A=(011−101−1−10)A = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0\end{array}\right).

Задача 1208

Для любой квадратной матрицы AA доказать тождество

det⁡exp⁡A=exp⁡tr⁡A \det \exp A = \exp \operatorname {tr} A
?
Задача 1209

Найти cos⁡A\cos A и sin⁡A\sin A, если A=(1−4−31−5−4−154)A = \left(\begin{array}{rrr}1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -4 \\ -1 & 5 & 4\end{array}\right).

?
Задача 1210

Найти ln⁡A\ln A, если A=(2−4−31−4−4−155)A = \left(\begin{array}{rrr}2 & -4 & -3 \\ 1 & -4 & -4 \\ -1 & 5 & 5\end{array}\right).

?
Задача 1211

Решить уравнение X2=AX^{2} = A, если:

?
(1)

A=(5−5−412−1−1−12)A = \left(\begin{array}{rrr}5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right);

(2)

A=(2−4−31−4−4−155)A = \left(\begin{array}{rrr}2 & -4 & -3 \\ 1 & -4 & -4 \\ -1 & 5 & 5\end{array}\right).

Задача 1212

На пространстве Cn[t]\mathbb {C}_{n}[t] многочленов степени не выше nn рассмотрим оператор дифференцирования D\mathbf{D} :

(Df)(x)=f′(x) (\mathbf{D} f)(x) = f^{\prime }(x)

Вычислить expD.

?