Собственные значения, собственные векторы

Доказать, что множество всех собственных векторов оператора А с одним и тем же собственным значением $\lambda$ вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Это подпространство называется собственным подпространством, отвечающим собственному значению $\lambda$, и обозначается через $V_{\lambda }(\mathbf{A})$.

Доказать, что множество собственных значений оператора A на конечномерном пространстве совпадает со множеством корней многочлена $\chi_{\mathrm{A}}(\lambda )$. Кратность корня $\lambda$ в характеристическом многочлене будет называться кратностью собственного значения $\lambda$.

Доказать, что если $v_{1}, \ldots , v_{k}$ — собственные векторы одного и того же оператора с попарно различными собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$, то векторы $v_{1}, \ldots , v_{k}$ линейно независимы.

Пусть $V$ — вещественное пространство и $\mathrm{J}, \mathrm{J}^{2} = -\mathrm{Id}$, — комплексная структура на нем. Доказать, что:

Пусть $V$ — комплексное пространство. Сопряженное комплексное линейное пространство $\bar{V}$ как множество совпадает с $V$, операция сложения векторов также совпадает со сложением в $V$, а умножение на комплексные числа определено следующим образом:

(в правой части последнего равенства подразумевается умножение в $V$). Установить естественный изоморфизм $\left(V_{\mathbb {R}}\right)_{\mathbb {C}} \rightarrow V \oplus \bar{V}$.

Доказать, что если характеристический многочлен $\chi_{\mathrm{A}}(\lambda )$ оператора А, действующего в пространстве $V$ размерности $n$, имеет ровно $n$ попарно различных корней, то существует базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$, в котором матрица оператора А диагональна.

Доказать, что все собственные значения оператора А в конечномерном пространстве отличны от нуля тогда и только тогда, когда $\det A \neq 0$.

Доказать, что если А — невырожденный оператор на конечномерном пространстве, то А и $\mathbf{A}^{-1}$ имеют одни и те же собственные векторы. Как связаны между собой их соответствующие собственные значения?

Доказать, что размерность собственного подпространства $V_{\lambda }(\mathbf{A})$ не превосходит кратности корня $\lambda$ в характеристическом многочлене оператора A.

Доказать, что кратность корня $\lambda$ полупростого оператора совпадает с размерностью собственного подпространства $V_{\lambda }$ этого оператора.

Найти собственные значения, их кратности и собственные подпространства линейных операторов:

Найти собственные значения и собственные подпространства оператора транспонирования $\mathbf{T}: X \rightarrow X^{\top }$, действующего в пространстве Mat $_{n}$ квадратных матриц порядка $n$.

Найти собственные значения и собственные подпространства оператора:

Найти собственные значения, их кратности и соответствующие собственные подпространства операторов дифференцирования $\frac{d}{d x}$ и двукратного дифференцирования $\frac{d^{2}}{d x^{2}}$, действующих:

Пусть $p_{0}(t)$ — произвольный фиксированный вещественный многочлен, отличный от константы. Определим преобразование $\varphi$ пространства $\mathbb {R}^{t}$ всех вещественных многочленов в себя, которое сопоставляет произвольному многочлену $p(t)$ его остаток $r(t)$ при делении на $p_{0}(t): \varphi (p(t)) = r(t), p(t) = q(t) p_{0}(t)+r(t)$.

Пусть А, В — линейные операторы на конечномерном пространстве. Доказать, что собственные значения операторов АВ и ВА совпадают.

Пусть А, В — линейные операторы в произвольном векторном пространстве. Доказать, что ненулевые собственные значения операторов АВ и ВА совпадают.

Пусть $x$ — собственный вектор оператора А с собственным значением $\lambda$, а $f(t)$ — некоторый многочлен. Доказать, что $x$ является собственным вектором оператора $f(\mathbf{A})$ с собственным значением $f(\lambda )$.

Пусть D — оператор дифференцирования, а $\mathbf{X}$ — оператор умножения на $x$ в бесконечномерном пространстве $\mathbb {R}^{x}$ всех многочленов (или пространстве $C^{\infty }(\mathbb {R})$ бесконечно гладких функций) от $x$ с вещественными коэффициентами. Рассмотрим также операторы

Доказать следующие тождества:

В условиях предыдущей задачи доказать, что если функция $\psi (x)$ является собственным вектором оператора $\mathbf{H}$ с собственным значением $\lambda$, то $\mathbf{A}_{+} \psi$ и $\mathbf{A}_{-} \psi$ также будут собственными векторами (если они ненулевые) для оператора $\mathbf{H}$ с собственными значениями $\lambda +2$ и $\lambda -2$ соответственно.

Задача 1172: пусть D — оператор дифференцирования, а $\mathbf{X}$ — оператор умножения на $x$ в бесконечномерном пространстве $\mathbb {R}^{x}$ всех многочленов (или пространстве $C^{\infty }(\mathbb {R})$ бесконечно гладких функций) от $x$ с вещественными коэффициентами. Рассмотрим также операторы

В условиях задачи 1172 доказать, что если $\psi_{0}$ лежит в ядре оператора $\mathbf{A}_{-}$, то векторы $\psi_{k} = \mathbf{A}_{+}^{k} \psi_{0}$ являются собственными для оператора Н. Вычислить соответствующие собственные значения $\lambda_{k}$.

Задача 1172: пусть D — оператор дифференцирования, а $\mathbf{X}$ — оператор умножения на $x$ в бесконечномерном пространстве $\mathbb {R}^{x}$ всех многочленов (или пространстве $C^{\infty }(\mathbb {R})$ бесконечно гладких функций) от $x$ с вещественными коэффициентами. Рассмотрим также операторы

Рассмотрим

(многочлены Эрмита), где оператор $\mathbf{A}_{+}$ определен в задаче 1172. Доказать следующие тождества:

Доказать, что для данного оператора А в $n$-мерном пространстве над полем $\mathbb {k}$ существует базис, в котором А имеет диагональную матрицу, тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Выяснить, какие из следующих матриц линейных операторов можно привести к диагональному виду заменой базиса. В случае, когда это возможно, найти базис из собственных векторов и матрицу оператора в этом базисе:

Матрицы $A$ и $B$ называются подобными, если существует невырожденная матрица $C$, для которой $B = C^{-1} A C$. Определить, какая из двух матриц

подобна матрице $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.

Определить, какая из двух матриц

подобна матрице

Доказать, что если операторы А и В коммутируют, то для любого собственного значения $\lambda$ оператора А собственное подпространство $V_{\lambda }(\mathbf{A})$ инвариантно относительно В.

Доказать, что линейный оператор в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем всегда имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказать, что линейный оператор в пространстве $V$ размерности $n$ над алгебраически замкнутым полем всегда имеет инвариантное подпространство размерности $n-1$.

Доказать, что для любого линейного оператора А в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем найдется базис, в котором матрица этого оператора верхнетреугольная.

Привести матрицы преобразования к треугольному виду и найти базис, в котором они имеют этот вид:

Показать, что в пространстве $V$ размерности $n$ над алгебраически замкнутым полем всякий оператор А имеет инвариантные подпространства всех размерностей от 0 до $n$.

Пусть $\mathrm{A}_{1}, \ldots , \mathrm{A}_{k}, \ldots$ — набор попарно коммутирующих операторов на конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Доказать, что