Матрица линейного оператора

Найти матрицу линейного оператора в трехмерном пространстве $\mathbb {R}^{3}$ (со стандартным скалярным произведением), заданного формулой $x \mapsto (x, a) a$, где вектор $a = (1,2,3)$, в стандартном базисе пространства $\mathbb {R}^{3}$ и в базисе $b_{1} = (1,0,1), b_{2} = (2,0,-1), b_{3} = (1,1,0)$.

Рассмотрим пространство $\mathbb {R}_{5}[x]$ многочленов степени не выше пятой и его базис $1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5}$. Найти матрицы следующих операторов:

Найти матрицу линейного оператора А в пространстве $\mathbb {R}^{3}$, заданного формулой $\mathbf{A}(x) = [v, x]$, где $[\cdot , \cdot ]$ обозначает векторное произведение, а $v = (2,-1,3)$. Какие операторы можно представить в виде $x \mapsto [v, x]$ для некоторого вектора $v \in \mathbb {R}^{3}$?

Рассмотрим пространство $\mathrm{Mat}_{2}$ квадратных матриц порядка 2. Определим при помощи матрицы

два отображения:

Проверить, что отображения $L_{A}$ и $R_{A}$ являются линейными операторами и найти их матрицы в базисе

Пусть $A, B$ — матрицы операторов А и В соответственно в некотором фиксированном базисе. Какую матрицу имеет композиция $\mathbf{A} \circ$ В этих операторов в том же базисе?

Доказать, что определитель матрицы линейного оператора А в конечномерном векторном пространстве не зависит от выбора базиса. Этот определитель называется определителем оператора A и обозначается $\det \mathbf{A}$.

Доказать, что след матрицы линейного оператора А в конечномерном векторном пространстве не зависит от выбора базиса. Этот след называется следом оператора А и обозначается $\operatorname {tr} \mathbf{A}$.

Доказать, что на конечномерном линейном пространстве не существует таких линейных операторов А и В, что $\mathbf{A B}-\mathbf{B A} =$ Id.

Как изменится матрица линейного оператора, если поменять местами $i$-й и $j$-й базисные векторы?

Как изменится матрица линейного оператора, если $i$-й базисный вектор умножить на некоторое число $\lambda \neq 0$?

Как изменится матрица линейного оператора, если к $i$-му базисному вектору прибавить $j$-й?

Как связаны матрица $A$ оператора А в произвольном базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ конечномерного пространства $V$ и матрица $A^{*}$ сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ в дуальном базисе $e^{1}, \ldots , e^{n}$ пространства $V^{*}$?

Найти матрицу линейного оператора А в базисе $e_{1} = (3,2)$, $e_{2} = (2,1)$, если в стандартном базисе он имеет матрицу $\left(\begin{array}{rr}-2 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right)$.

Линейный оператор в некотором базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ имеет матрицу

Найти матрицу этого оператора в базисе:

Линейный оператор в некотором базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе

Линейный оператор А переводит векторы

в векторы

соответственно. Найти матрицу оператора А в стандартном базисе пространства $\mathbb {R}^{3}$.

Линейный оператор в базисе

имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе

Линейное пространство $V$ разложено в прямую сумму двух своих подпространств $V = L_{1} \oplus L_{2}$. Определим два отображения $\mathbf{P}$ и $\mathbf{R}$ пространства $V$ в себя, для этого рассмотрим произвольный вектор $x = x_{1}+x_{2} \in V$, где $x_{1} \in L_{1}, x_{2} \in L_{2}$, тогда:

Доказать, что: