Аффинные пространства

Доказать, что для любой точки $A$ аффинного пространства имеет место равенство $\overrightarrow {A A} = 0$.

Доказать, что линейное пространство $V$ становится аффинным пространством $X$, если точками $A \in X$ считать векторы $a \in V$, а отображение $X \times V \rightarrow X$ определить как $(x, a) \mapsto x+a$.

Определить, является ли $Y$ аффинным подпространством аффинного пространства $X$, и, если является, найти линейное подпространство $L$, с которым $Y$ ассоциировано, в каждом из перечисленных ниже случаев:

Доказать, что если прямая имеет две общие точки с аффинным подпространством, то она целиком содержится в нем.

Доказать, что система точек $A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}$ аффинно независима тогда и только тогда, когда для произвольной точки $O$ равенства

выполняются, если и только если все $\lambda_{i}$ равны нулю.

Доказать, что в $k$-мерной плоскости любая система из $k+2$ точек аффинно зависима.

Доказать, что множество решений любой совместной системы неоднородных линейных уравнений образует аффинное подпространство.

Составить параметрические уравнения плоскости

Составить параметрические уравнения двумерной плоскости, проходящей через три точки: $A_{1}(0,1,0,1,5), A_{2}(3,-1,3,4,0)$, $A_{3}(2,2,7,6,1)$. Найти систему уравнений, задающую эту плоскость.

Составить параметрические уравнения, а также найти систему линейных уравнений, которые задают аффинную оболочку объединения:

Доказать, что две плоскости $P_{1} = p_{1}+L_{1}$ и $P_{2} = p_{2}+L_{2}$ совпадают тогда и только тогда, когда $L_{1} = L_{2}$ и $p_{2}-p_{1} \in L_{1}$.

Доказать, что в пространстве многочленов $\mathbb {k}_{n}[t]$ степени не выше $n$ подмножество $\left\{ f \in \mathbb {k}_{n}[t] \mid f(\alpha ) = \beta \right\}$ при фиксированных $\alpha , \beta \in \mathbb {k}$ является аффинным подпространством, и найти его размерность.

Доказать, что две плоскости $P_{1} = p_{1}+L_{1}$ и $P_{2} = p_{2}+L_{2}$ пересекаются тогда и только тогда, когда $p_{2}-p_{1} \in L_{1}+L_{2}$; в этом случае пересечение является плоскостью $P = p_{0}+L_{1} \cap L_{2}$ для некоторой точки $p_{0}$.

Доказать, что любые две прямые в аффинном пространстве содержатся в одной трехмерной плоскости. Каким может быть взаимное расположение двух прямых в $n$-мерном аффинном пространстве при $n \geqslant 3$?

Доказать, что любые две двумерные плоскости в аффинном пространстве содержатся в одной пятимерной плоскости. Каким может быть взаимное расположение двух двумерных плоскостей в $n$-мерном аффинном пространстве при $n \geqslant 5$?

В аффинном пространстве заданы две плоскости: $P_{1} = p_{1}+L_{1}$ и $P_{2} = p_{2}+L_{2}$, где $L_{1} = \left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right\rangle$ и $L_{2} = \left\langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\rangle$, причем каждая из систем векторов $\left\{ a_{1}, \ldots , a_{5}\right\}$ и $\left\{ b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\}$ линейно независима. С помощью рангов $r$ и $R$ систем векторов $\left\{ a_{1}, \ldots , a_{5}, b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\}$ и $\left\{ \overrightarrow {p_{1} p_{2}}, a_{1}, \ldots , a_{5}, b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\}$ выразить необходимые и достаточные условия того, чтобы данные плоскости:

Определить взаимное расположение плоскостей $P_{1}$ и $P_{2}$ :