Банк задач по математике

Задача 1015

(1)(2)

Найти координаты вектора $(1,0,0)$ пространства $\mathbb {R}^{3}$ в базисе:

?

(1)

$e_{1} = (0,1,0), e_{2} = (0,0,1), e_{3} = (1,0,0)$ ;

(2)

$e_{1} = (1,1,0), e_{2} = (0,1,1), e_{3} = (1,0,1)$ .

Задача 1016

(1)(2)(3)

В каждом из следующих случаев проверить, что векторы $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ образуют базис пространства $\mathbb {R}^{n}$ , и найти координаты вектора $x$ в этом базисе:

?

(1)

$n = 3, e_{1} = (1,5,3), e_{2} = (2,7,3), e_{3} = (3,9,4) ; x = (2,1,1)$ ;

(2)

$n = 4, e_{1} = (1,2,-1,2), e_{2} = (2,3,0,-1), e_{3} = (1,2,1,4)$ , $e_{4} = (1,3,-1,0) ; x = (7,14,-1,2)$ ;

(3)

$n = 4, e_{1} = (1,2,1,1), e_{2} = (2,3,1,0), e_{3} = (3,1,1,-2)$ ,

e_{4} = (4,2,-1,-6) ; x = (0,0,2,7)

Задача 1017

Доказать, что многочлены $1, t-a,(t-a)^{2}, \ldots ,(t-a)^{n}$ образуют базис в пространстве $\mathbb {R}_{n}[t]$ многочленов степени не выше $n$ с вещественными коэффициентами. Найти координаты многочлена $P(t) \in \mathbb {R}_{n}[t]$ в этом базисе.

?

Задача 1018

Доказать, что многочлены $2 t+t^{3}, t^{3}-t^{5}, t+t^{3}$ образуют базис пространства нечетных многочленов степени не выше 5. Найти координаты многочлена $5 t-t^{3}+2 t^{5}$ в этом базисе.

?

Задача 1019

Доказать, что матрицы

\left(\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right), \quad \left(\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right), \quad \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right), \quad \left(\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right)

образуют базис пространства вещественных матриц порядка 2, и найти координаты матрицы

\left(\begin{smallmatrix} 5 & 14 \\ 6 & 13 \end{smallmatrix}\right) \quad \text{ в этом базисе. }

?

Задача 1020

Доказать, что матрицы

\begin{aligned} & \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right), \quad \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right), \quad \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right) \\ & \left(\begin{smallmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right), \quad \left(\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right), \quad \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{smallmatrix}\right) \end{aligned}

образуют базис пространства вещественных симметричных матриц порядка 3, и найти координаты матрицы

\left(\begin{smallmatrix} 0 & 6 & 1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{smallmatrix}\right) \quad \text{ в этом базисе. }

?

Задача 1021

(1)(2)(3)(4)

Найти координаты многочлена $t^{5}-t^{4}+t^{3}-t^{2}-t+1$ в базисе:

?

(1)

$1, t, t^{2}, t^{3}, t^{4}, t^{5}$

(2)

$1, t+1, t^{2}+1, t^{3}+1, t^{4}+1, t^{5}+1$ ;

(3)

$1+t^{3}, t+t^{3}, t^{2}+t^{3}, t^{3}, t^{4}+t^{3}, t^{5}+t^{3}$

(4)

$1, t-1,(t-1)^{2},(t-1)^{3},(t-1)^{4},(t-1)^{5}$ .

Задача 1022

Доказать, что множество $\operatorname {Mat}_{m \times n}(\mathbb {k})$ матриц размера $m \times n$ с элементами из $\mathbb {k}$ образует линейное пространство над $\mathbb {k}$ относительно стандартных операций. Найти его размерность и какойнибудь базис.

?

Задача 1023

Найти размерность и базис пространства матриц порядка $n$ :

?

(1)

с нулевой последней строкой;

(2)

с нулевой диагональю;

(3)

диагональных;

(4)

верхнетреугольных;

(5)

симметричных;

(6)

кососимметричных.

Задача 1024

(1)(2)(3)(4)

Найти размерность и базис пространства однородных многочленов от четырех переменных степени:

?

(1)

$1$ ;

(2)

$2$ ;

(3)

$3$ ;

(4)

$4$ .

Задача 1025

Найти размерность пространства однородных многочленов степени $k$ от $n$ переменных.

?

Задача 1026

Доказать, что последовательности

f_{1} = (2,3,5,8,13, \ldots ) \quad \text{ и } \quad f_{2} = (1,2,3,5,8, \ldots )

образуют базис в пространстве последовательностей со свойством $a_{k} = a_{k-1}+a_{k-2}, k = 3,4, \ldots$ , и разложить по этому базису последовательность $f = (1,1,2,3,5,8, \ldots )$ .

?

Задача 1027

Найти матрицу перехода от базиса

e_{1} = (2,3,-2), \quad e_{2} = (5,0,-1), \quad e_{3} = (2,1,-1)

в $\mathbb {R}^{3}$ к базису

e_{1}^{\prime } = (1,1,-1), \quad e_{2}^{\prime } = (1,-1,0), \quad e_{3}^{\prime } = (1,1,1)

?

Задача 1028

В пространстве многочленов степени не выше трех найти матрицу перехода от базиса $1,1+t, 1+t^{2}, 1+t^{3}$ к базису $1+t^{3}$ , $t+t^{3}, t^{2}+t^{3}, t^{3}$ .

?

Задача 1029

Найти матрицу перехода от базиса $1, t, \ldots , t^{n}$ пространства $\mathbb {k}_{n}[t]$ многочленов степени не выше $n$ к базису $1,(t+a), \ldots ,(t+a)^{n}$ .

?

Задача 1030

Найти матрицу перехода от базиса $1, \cos x, \sin x, \cos 2 x$ , $\sin 2 x, \ldots , \cos n x, \sin n x$ пространства тригонометрических многочленов степени не выше $n$ к базису $1, \cos (x-a), \sin (x-a), \cos 2(x-a)$ , $\sin 2(x-a), \ldots , \cos n(x-a), \sin n(x-a)$ . Найти матрицу, обратную к ней.

?

Задача 1031

Пусть $C_{1}$ является матрицей перехода от первого базиса ко второму, а $C_{2}$ — матрицей перехода от второго базиса к третьему. Найти матрицу перехода от первого базиса к третьему.

?

Задача 1032

Как изменится матрица перехода от первого базиса ко второму, если:

?

(1)

поменять местами $i$ -й и $j$ -й векторы первого базиса;

(2)

поменять местами $i$ -й и $j$ -й векторы второго базиса;

(3)

записать векторы обоих базисов в обратном порядке;

(4)

прибавить к $i$ -му вектору первого базиса $j$ -й;

(5)

прибавить к $i$ -му вектору второго базиса $j$ -й;

(6)

умножить $i$ -й вектор первого базиса на число $\lambda$ ;

(7)

умножить $i$ -й вектор второго базиса на число $\lambda$ ?

Базис, размерность, координаты