10.1

Векторное пространство, линейная независимость

[22/41%]
Показать
LaTeX
Задача 993

Доказать, что для любого вектора uu имеют место равенства 0⋅u=0,(−1)⋅u=−u0 \cdot u = 0,(-1) \cdot u = -u.

?
Задача 994

В каких из следующих случаев указанные операции на множестве XX определены и задают на нем структуру линейного пространства над полем k\mathbb {k} :

?
(1)

k=R,X\mathbb {k} = \mathbb {R}, X — полуплоскость y⩾0y \geqslant 0, операции сложения и умножения на числа стандартные (т. е. покоординатные);

(2)

k=R,X\mathbb {k} = \mathbb {R}, X — множество векторов на плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на заданной прямой; операции стандартные;

(3)

k=R,X\mathbb {k} = \mathbb {R}, X — множество векторов на плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на заданной прямой; операции сложения « +^\widehat{+} » и умножения на числа « ⋅^\widehat{\cdot } » заданы формулами

u+^v=u+v−x0,λ⋅^u=λu+(1−λ)x0 u \widehat{+} v = u+v-x_{0}, \quad \lambda \widehat{\cdot } u = \lambda u+(1-\lambda ) x_{0}

где x0∈Xx_{0} \in X — фиксированный вектор;

(4)

k=R,X\mathbb {k} = \mathbb {R}, X — множество векторов плоскости, лежащих в первом и третьем координатных углах (xy⩾0)(x y \geqslant 0); операции стандартные;

(5)

k=R,X\mathbb {k} = \mathbb {R}, X — все векторы пространства, кроме векторов, параллельных некоторой прямой; операции стандартные;

(6)

k=R,X=Q\mathbb {k} = \mathbb {R}, X = \mathbb {Q}; операции стандартные;

(7)

k=R,X=C\mathbb {k} = \mathbb {R}, X = \mathbb {C}; операции стандартные;

(8)

k=R,X=(0,∞)\mathbb {k} = \mathbb {R}, X = (0, \infty ); операции сложения « +^\widehat{+} » и умножения на числа « ⋅^\widehat{\cdot } » заданы формулами

u+^v=uv,λ⋅^u=uλ u \widehat{+} v = u v, \quad \lambda \widehat{\cdot } u = u^{\lambda }
(9)

k=Q,X=(0,∞)∩Q\mathbb {k} = \mathbb {Q}, X = (0, \infty ) \cap \mathbb {Q}; операции такие же, как и в предыдущем пункте;

(10)

k=R,X=R2\mathbb {k} = \mathbb {R}, X = \mathbb {R}^{2}; операции заданы следующим образом:

(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2),λ⋅(x,y)=(λx,0) \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right) = \left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right), \quad \lambda \cdot (x, y) = (\lambda x, 0)
(11)

k\mathbb {k} любое, XX — множество многочленов над k\mathbb {k} степени ровно nn; операции стандартные;

(12)

k\mathbb {k} любое, XX — множество многочленов над k\mathbb {k} степени не выше nn;

(13)

k=R,X\mathbb {k} = \mathbb {R}, X — множество монотонных функций на отрезке; операции стандартные;

(14)

k=R,X\mathbb {k} = \mathbb {R}, X — множество всех бесконечных арифметических прогрессий со стандартными операциями;

(15)

k=R,X\mathbb {k} = \mathbb {R}, X — множество всех бесконечных геометрических прогрессий со стандартными операциями?

Задача 995

Можно ли задать структуру линейного пространства:

?
(1)

на множестве, состоящем из двух элементов;

(2)

на абелевой группе Z\mathbb {Z} целых чисел;

(3)

на прямой R\mathbb {R} со следующей операцией умножения на числа: λ⋅u=λ2u\lambda \cdot u = \lambda^{2} u

(4)

на прямой R\mathbb {R} с операцией умножения на числа λ⋅u=λ3u\lambda \cdot u = \lambda^{3} u?

Задача 996

Доказать, что в линейно независимой системе векторов всякая подсистема также линейно независима.

?
Задача 997

Пусть система векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} линейно независима, а система a1,…,ak,ak+1a_{1}, \ldots , a_{k}, a_{k+1} линейно зависима. Доказать, что вектор ak+1a_{k+1} линейно выражается через остальные, и это разложение единственно.

?
Задача 998

Пусть вектор xx линейно выражается двумя различными способами через векторы a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k}. Доказать, что система a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} линейно зависима.

?
Задача 999

Пусть a,b,ca, b, c — линейно независимая система векторов. Будут ли линейно зависимы следующие системы векторов:

?
(1)

a+b+c,a+b,aa+b+c, a+b, a;

(2)

a+b,b+c,c+aa+b, b+c, c+a;

(3)

a−b,b−c,c−aa-b, b-c, c-a

(4)

αa−βb,γb−αc,βc−γa\alpha a-\beta b, \gamma b-\alpha c, \beta c-\gamma a?

Задача 1000

Если каждый вектор системы векторов y1,…,yny_{1}, \ldots , y_{n} есть линейная комбинация векторов x1,…,xmx_{1}, \ldots , x_{m}, то говорят, что система y1,…,yny_{1}, \ldots , y_{n} линейно выражается через систему x1,…,xmx_{1}, \ldots , x_{m}. Доказать транзитивность этого понятия: если система векторов y1,…,yny_{1}, \ldots , y_{n} линейно выражается через систему x1,…,xmx_{1}, \ldots , x_{m}, а система z1,…,zpz_{1}, \ldots , z_{p} линейно выражается через систему y1,…,yny_{1}, \ldots , y_{n}, то система векторов z1,…,zpz_{1}, \ldots , z_{p} линейно выражается через систему x1,…,xmx_{1}, \ldots , x_{m}.

?
Задача 1001

Доказать, что если рассматривать R\mathbb {R} как линейное пространство над Q\mathbb {Q}, то векторы 1 и ξ\xi из R\mathbb {R} линейно независимы тогда и только тогда, когда ξ\xi иррационально.

?
Задача 1002

В условиях предыдущей задачи доказать, что при любом nn векторы 1,ξ,ξ2,…,ξn1, \xi , \xi^{2}, \ldots , \xi^{n} линейно независимы тогда и только тогда, когда ξ\xi — трансцендентное число.

Задача 1001: R\mathbb {R} рассматривается как линейное пространство над Q\mathbb {Q}, ξ∈R\xi \in \mathbb {R}.

?
Задача 1003

Каким условиям должен удовлетворять скаляр ξ\xi, чтобы векторы (ξ,1,0),(1,ξ,1)(\xi , 1,0),(1, \xi , 1) и (0,1,ξ)(0,1, \xi ) из R3\mathbb {R}^{3} были линейно зависимы? Каков будет ответ на этот же вопрос при замене R3\mathbb {R}^{3} на Q3\mathbb {Q}^{3}?

?
Задача 1004

Доказать линейную независимость всех геометрических прогрессий, начинающихся с единицы, в векторном пространстве бесконечных последовательностей.

?
Задача 1005

Исследовать на линейную зависимость следующие системы функций (n>0)(n > 0):

?
(1)

1,cos⁡x,cos⁡2x,…,cos⁡nx1, \cos x, \cos 2 x, \ldots , \cos n x

(2)

sin⁡x,sin⁡2x,…,sin⁡nx\sin x, \sin 2 x, \ldots , \sin n x

(3)

1, a1cos⁡x+b1sin⁡x,a2cos⁡2x+b2sin⁡2x,…,ancos⁡nx+bnsin⁡nxa_{1} \cos x+b_{1} \sin x, a_{2} \cos 2 x+b_{2} \sin 2 x, \ldots , a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x (для каждого 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n числа aia_{i} и bib_{i} не обращаются в нуль одновременно);

(4)

1,cos⁡x,cos⁡2x,…,cos⁡nx;1, \cos x, \cos^{2} x, \ldots , \cos^{n} x ;

(5)

sin⁡x,sin⁡2x,…,sin⁡nx\sin x, \sin^{2} x, \ldots , \sin^{n} x;

(6)

1,sin⁡x,cos⁡x,sin⁡2x,cos⁡2x,…,sin⁡nx,cos⁡nx1, \sin x, \cos x, \sin^{2} x, \cos^{2} x, \ldots , \sin^{n} x, \cos^{n} x, где n>1n > 1;

(7)

1,ln⁡x,ln⁡2x,…,ln⁡nx1, \ln x, \ln 2 x, \ldots , \ln n x;

(8)

2α1x,2α2x,…,2αnx2^{\alpha_{1} x}, 2^{\alpha_{2} x}, \ldots , 2^{\alpha_{n} x}, где все числа α1,…,αn\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} различны;

(9)

xα1,xα2,…,xαnx^{\alpha_{1}}, x^{\alpha_{2}}, \ldots , x^{\alpha_{n}}, где все числа α1,…,αn\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} различны.

Задача 1006

Доказать, что в пространстве многочленов всякая конечная система, состоящая из многочленов различных степеней и не содержащая нуля, линейно независима.

?
Задача 1007

Каким условиям должны удовлетворять скаляры ξ,η,ζ\xi , \eta , \zeta, чтобы векторы (1,ξ,ξ2),(1,η,η2)\left(1, \xi , \xi^{2}\right),\left(1, \eta , \eta^{2}\right) и (1,ζ,ζ2)\left(1, \zeta , \zeta^{2}\right) были линейно зависимы? Обобщить эту задачу на случай произвольной размерности.

?
Задача 1008

Доказать, что в каждой системе XX векторов пространства kn\mathbb {k}^{n}, содержащей хотя бы один ненулевой вектор, можно выбрать такую линейно независимую подсистему X′X^{\prime }, что линейные оболочки ⟨X⟩\langle X\rangle и ⟨X′⟩\left\langle X^{\prime }\right\rangle совпадают. Всякая такая подсистема X′X^{\prime } называется базой данной системы XX.

?
Задача 1009

Доказать, что все базы системы векторов состоят из одинакового числа векторов. Это число называется рангом системы.

?
Задача 1010

Доказать, что в пространстве kn\mathbb {k}^{n} :

?
(1)

любой ненулевой вектор данной системы можно включить в базу этой системы;

(2)

любую линейно независимую подсистему можно дополнить до базы этой системы.

Задача 1011

Доказать, что если две системы векторов имеют одинаковый ранг и одна из этих систем линейно выражается через другую, то линейные оболочки этих систем совпадают.

?
Задача 1012

Найти ранг системы векторов:

?
(1)

x1=(1,−1,0,0)x_{1} = (1,-1,0,0), x3=(0,0,1,−1)x_{3} = (0,0,1,-1), x2=(0,1,−1,0),x4=(−1,0,0,1)x_{2} = (0,1,-1,0), \quad x_{4} = (-1,0,0,1);

(2)

x1=(1,1,1,1,1),x3=(1,−1,1,−1,1)x_{1} = (1,1,1,1,1), \quad x_{3} = (1,-1,1,-1,1), x2=(1,i,−1,−i,1),x4=(1,−i,−1,i,1)x_{2} = (1, i,-1,-i, 1), \quad x_{4} = (1,-i,-1, i, 1).

Задача 1013

Для каждой из следующих систем векторов найти какуюлибо базу:

?
(1)

x1=(−1,4,−3,−2)x_{1} = (-1,4,-3,-2),

x3=(3,−2,1,0)x_{3} = (3,-2,1,0),

x2=(3,−7,5,3)x_{2} = (3,-7,5,3),

x4=(−4,1,0,1)x_{4} = (-4,1,0,1);

(2)

x1=(14,−27,−49,113)x_{1} = (14,-27,-49,113),

x3=(−29,55,96,−227)x_{3} = (-29,55,96,-227),

x2=(43,−82,−145,340),x4=(85,−163,−292,679);x_{2} = (43,-82,-145,340), \quad x_{4} = (85,-163,-292,679) ;

(3)

x1=(3−i,1−2i,−7+5i,4+3i),x2=(1+3i,1+i,−6−7i,4i)x_{1} = (3-i, 1-2 i,-7+5 i, 4+3 i), x_{2} = (1+3 i, 1+i,-6-7 i, 4 i), x3=(0,1,1,−3)x_{3} = (0,1,1,-3).

Задача 1014

Найти все базы следующих систем векторов:

?
(1)

x1=(1,2,3,0,−1),x2=(0,1,1,1,0),x3=(1,3,4,1,−1)x_{1} = (1,2,3,0,-1), \quad x_{2} = (0,1,1,1,0), \quad x_{3} = (1,3,4,1,-1);

(2)

x1=(1+i,1−i,2+3i),x2=(i,1,2)x_{1} = (1+i, 1-i, 2+3 i), \quad x_{2} = (i, 1,2), x3=(1−i,−1−i,−2+3i),x4=(4,−4i,12i)x_{3} = (1-i,-1-i,-2+3 i), x_{4} = (4,-4 i, 12 i).