9d

9.6 Влияние случайных объясняющих переменных (9.6.1-9.6.6), 9.7 Коллинеарность: 9.7.1 Влияние на дисперсии оцениваемых коэффициентов, 9.7.2 Факторы инфляции дисперсии, 9.7.3 Дисперсии и собственные значения, 9.7.4 Теория возмущений, 9.7.5 Коллинеарность и прогнозирование

[5/100%]
Показать
LaTeX
Задача 9d.1

Докажите, что в регрессии с двумя объясняющими переменными xx и zz

Var⁡[β^0]=σ2n[1+11−r2(1CVx2−2rCVxCVz+1CVz2)] \operatorname {Var}\left[\widehat{\beta }_{0}\right] = \frac{\sigma ^{2}}{n}\left[1+\frac{1}{1-r^{2}}\left(\frac{1}{\mathrm{CV}_{x}^{2}}-\frac{2 r}{\mathrm{CV}_{x} \mathrm{CV}_{z}}+\frac{1}{\mathrm{CV}_{z}^{2}}\right)\right]
?
Задача 9d.2

Докажите, что Rjy^=0R_{j}^{\widehat{y}} = 0 тогда и только тогда, когда x∗(j)\mathrm{x}^{*(j)} ортогонален столбцам X∗(j)\mathbf{X}^{*(j)}.

?
Задача 9d.3

Покажите, что Rxx\mathbf{R}_{x x} положительно определена при условии, что X\mathbf{X} имеет полный ранг и содержит столбец из единиц.

?
Задача 9d.4

Покажите, что собственные значения λj\lambda_{j} матрицы Rxx\mathbf{R}_{x x} удовлетворяют условию

1≤λj≤p−1 1 \leq \lambda _{j} \leq p-1

Отсюда докажите, что VIFj≤κ2\mathrm{VIF}_{j} \leq \kappa^{2}, где κ\kappa — число обусловленности матрицы Rxx\mathbf{R}_{x x}.

?
Задача 9d.5

Докажите, что

∂∂xi∑i=1n(xi−xˉ)(Yi−Yˉ)=Yi−Yˉ \frac{\partial }{\partial x_{i}} \sum _{i = 1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right) = Y_{i}-\bar{Y}

и

∂∂xi∑i=1n(xi−xˉ)2=2(xi−xˉ). \frac{\partial }{\partial x_{i}} \sum _{i = 1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} = 2\left(x_{i}-\bar{x}\right) .
?