9.4 Влияние выбросов, 9.5 Устойчивость F-критерия к отклонению от нормальности: 9.5.1 Влияние регрессионных переменных, 9.5.2 Квадратично сбалансированные F-критерии

Заполните детали доказательства теоремы 9.2.

Покажите, что теория раздела 9.5.2 может быть также применена к случаю $H: \mathbf{A} \mathbf{\beta } = \mathbf{c}$, где $\mathrm{c} \neq \mathbf{0}$.

Рассмотрим регрессионную модель полного ранга

где $\varepsilon_{i}$ независимо и одинаково распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$, и предположим, что мы хотим проверить $H: \beta_{1} = \beta_{2} = \cdots = \beta_{p-1} = 0$.

Предполагая, что $H$ верна, найдите приближённое выражение для $\mathbb {E}\left[Z\right]$, где $Z = \frac{1}{2} \log F$, через диагональные элементы $\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T}$.