9.3 Неверная матрица дисперсий

Если первый столбец $\mathbf{X}$ равен $\mathbf{1}_{n}$ и

воспользуйтесь (9.8), чтобы показать, что

Указание: рассмотрите $\mathbf{P 1}_{n}$.

Когда $\operatorname {Var}\left[\varepsilon \right] = \sigma^{2} \mathbf{V}$, подходящей оценкой $\mathbf{\beta }$ является обобщённая оценка наименьших квадратов $\beta * = \left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{V}^{-1} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T} \mathbf{V}^{-1} \mathbf{Y}$. Если $\mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{-1} \mathbf{X}\right) = \mathcal{C}(\mathbf{X})$, покажите, что $\mathbf{\beta }^{*}$ и $\widehat{\mathbf{\beta }}$ совпадают. Указание: $\mathbf{V}^{-1} \mathbf{X} = \mathbf{X W}$, где $\mathbf{W}$ невырождена.