8.7 Планы с простой блочной структурой, 8.8 Ковариационный анализ

Упражнения 3f, № 2, в разделе 3.7 дали следующий двухэтапный метод нахождения оценок наименьших квадратов для общей модели ANCOVA $G$, скажем. Сначала находим оценку наименьших квадратов $\widehat{\mathbf{\beta }}$ величины $\mathbf{\beta }$ для модели $\mathbb {E}\left[\mathbf{Y}\right] = \mathbf{X} \mathbf{\beta }$ и остаточную сумму квадратов $\mathbf{Y}^{T} \mathbf{R} \mathbf{Y}$. Во-вторых, $\widehat{\gamma }_{G}$ находится заменой $\mathbf{Y}$ на $\mathbf{Y}-\mathbf{Z} \mathbf{\gamma }$ в $\mathbf{Y}^{T} \mathbf{R Y}$ и минимизацией по $\mathbf{\gamma }$. Это минимальное значение является корректной остаточной суммой квадратов для модели $G$. В-третьих, обращаясь к теореме 3.6, мы видим, что $\widehat{\mathbf{\beta }}_{G}$ получается из $\widehat{\mathbf{\beta }}$ заменой $\mathbf{Y}$ на $\mathbf{Y}-\mathbf{X} \widehat{\mathbf{\gamma }}$. Этот метод можно применить к модели для $H$, а также для $G$. Теперь примените этот метод к следующей задаче. Рассмотрим модель $Y_{i j} = \mu_{i}+\gamma_{i} x_{j}+\varepsilon_{i j}$, где $i = 1,2 ; j = 1,2, \ldots , J$; и $\varepsilon_{i j}$ независимо распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$. Выведите $F$-статистику для проверки гипотезы, что $\gamma_{1} = \gamma_{2}$, и покажите, что эта статистика является квадратом обычной $t$-статистики для проверки параллельности двух прямых.

Пусть $Y_{i j} = \mu_{i}+\gamma_{1} z_{i j}+\gamma_{2} w_{i j}+\varepsilon_{i j}$, где $i = 1,2, \ldots , I ; j = 1,2, \ldots , J$; и $\varepsilon_{i j}$ независимо распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$.

Пусть $Y_{i j k} = \mu_{i j}+\gamma_{i j} z_{i j k}+\varepsilon_{i j k}$, где $i = 1,2, \ldots , I ; i = 1,2, \ldots , J$; $k = 1,2, \ldots , K$; и $\varepsilon_{i j k}$ независимо распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$. Получите статистику критерия для проверки гипотезы