Банк задач по математике

Задача 8c.1

(a)(b)

?

(a)

Докажите, что

\sum _{i = 1}^{I} \sum _{j = 1}^{J} \sum _{k = 1}^{K}\left(\bar{Y}_{i . .}-\bar{Y}_{\ldots }\right)^{2} = \sum _{i = 1}^{I} \frac{Y_{i .}^{2}}{J K}-\frac{Y_{. .}^{2}}{I J K}

Получите аналогичное выражение для

\sum _{i = 1}^{I} \sum _{j = 1}^{J} \sum _{k = 1}^{K}\left(\bar{Y}_{i j .}-\bar{Y}_{i . .}-\bar{Y}_{. j .}+\bar{Y}_{\ldots }\right)^{2}

(b)

Используя таблицу 8.2, докажите следующее:

\begin{aligned} E\left[(I-1) S_{A}^{2}\right] & = \sigma ^{2}(I-1)+J K \sum _{i} \alpha _{i}^{* 2} \\ E\left[(J-1) S_{B}^{2}\right] & = \sigma ^{2}(J-1)+I K \sum _{j} \beta _{i}^{* 2} \\ E\left[(I-1) S_{A B}^{2}\right] & = \sigma ^{2}(I-1)(J-1)+K \sum _{i} \sum _{j}(\alpha \beta )_{i j}^{* 2} \end{aligned}

Задача 8c.2

(a)(b)(c)

Даны средние значения генеральной совокупности $\mu_{i j}\left(i = 1,2, \ldots , I ; j = 1,2, \ldots , J\right)$ , пусть

\begin{aligned} A_{i} & = \sum _{j} v_{j} \mu _{i j} \quad \left(\sum _{j} v_{j} = 1\right), \\ B_{i} & = \sum _{i} u_{i} \mu _{i j} \quad \left(\sum _{j} u_{j} = 1\right), \end{aligned}

и

\mu = \sum _{i} u_{i} A_{i} = \sum _{j} v_{j} B_{j} = \sum _{i} \sum _{j} u_{i} v_{j} \mu _{i j}

Определим $\alpha_{i} = A_{i}-\mu , \beta_{j} = B_{j}-\mu$ , и

(\alpha \beta )_{i j} = \mu _{i j}-A_{i}-B_{j}+\mu

?

(a)

Покажите, что $\sum_{i} u_{i} \alpha_{i} = \sum_{j} v_{j} \beta_{j} = 0, \sum_{i} u_{i}(\alpha \beta )_{i j} = 0$ (для всех $j$ ), и $\sum_{j} v_{j}(\alpha \beta )_{i j} = 0$ (для всех $i$ ).

(b)

Обратно, если дано

\mu _{i j} = \mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+(\alpha \beta )_{i j}

покажите, что параметры в уравнении выше однозначно определяются ограничениями из пункта (а).

(c)

Докажите, что если взаимодействия $\left\{ (\alpha \beta )_{i j}\right\}$ все равны нулю для некоторой системы весов $\left\{ u_{i}\right\}$ и $\left\{ v_{i}\right\}$ , то они равны нулю для любой системы весов. В этом случае покажите, что любой контраст в $\left\{ \alpha_{i}\right\}$ или $\left\{ \beta_{i}\right\}$ имеет значение, не зависящее от системы весов.

Задача 8c.3

Пусть $Y_{i j k} = \mu +\alpha_{i}+\beta_{j}+(\alpha \beta )_{i j}+\varepsilon_{i j k}$ , где $i = 1,2, \ldots , I ; j = 1,2, \ldots , J ; k = 1,2, \ldots , K_{i j}$ ; и $\varepsilon_{i j k}$ независимо распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ . Дано $K_{i j} = K_{i .} K_{. j} / K_{. .}$ для всех $i, j$ , найдите статистику критерия для проверки гипотезы $H:(\alpha \beta )_{i j} = 0$ (для всех $i, j$ ). Указание: По упражнению 2, справедливость $H$ не зависит от весов, используемых в ограничениях идентифицируемости $\sum_{i} u_{i} \alpha_{i} = \sum_{j} v_{j} \beta_{j} = 0$ . Поэтому мы можем использовать $u_{i} = K_{i .} / K_{.}$ и $v_{j} = K_{. j} / K_{. .}$ и найти оценки наименьших квадратов для $\alpha_{i}$ и $\beta_{j}$ , когда $H$ верна.

?

8.4 Двухфакторная классификация (сбалансированная)