8a

8.1 Введение, 8.2 Однофакторная классификация: 8.2.1 Общая теория, 8.2.2 Доверительные интервалы, 8.2.3 Исходные предположения

[5/100%]
Показать
LaTeX
Задача 8a.1

Выразите H:μ1=⋯=μIH: \mu_{1} = \cdots = \mu_{I} в виде Aμ=0\mathbf{A} \mathbf{\mu } = \mathbf{0}. Каков ранг A\mathbf{A}? Поскольку эта матрица не единственна, найдите другую матрицу, скажем A1\mathbf{A}_{1}, также удовлетворяющую H:A1μ=0H: \mathbf{A}_{1} \mathbf{\mu } = \mathbf{0}. Какова была бы связь между A\mathbf{A} и A1\mathbf{A}_{1}?

?
Задача 8a.2

Получите тождество, указанное в (8.3), а именно

∑i∑j(Yij−Yˉ..)2=∑i∑i(Yij−Yˉi.)2+∑i∑j(Yˉi.−Yˉ..)2. \sum _{i} \sum _{j}\left(Y_{i j}-\bar{Y} . .\right)^{2} = \sum _{i} \sum _{i}\left(Y_{i j}-\bar{Y}_{i .}\right)^{2}+\sum _{i} \sum _{j}\left(\bar{Y}_{i .}-\bar{Y}_{. .}\right)^{2} .
?
Задача 8a.3

Получите оценки наименьших квадратов для μi\mu_{i}, используя β^=(XTX)−1XTY\widehat{\mathbf{\beta }} = \left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{T} \mathbf{Y} напрямую, где X\mathbf{X} задаётся формулой (8.2).

?
Задача 8a.4

Докажите, что

∑i∑j(Yˉi.−Yˉ..)2=∑iYi.2Ji−Y.22n. \sum _{i} \sum _{j}\left(\bar{Y}_{i .}-\bar{Y}_{. .}\right)^{2} = \sum _{i} \frac{Y_{i .}^{2}}{J_{i}}-\frac{Y_{.2}^{2}}{n} .

Получите аналогичное выражение для ∑i∑j(Yij−Yˉi)2\sum_{i} \sum_{j}\left(Y_{i j}-\bar{Y}_{i}\right)^{2}.

?
Задача 8a.5

Найдите (а) E[∑i∑j(Yˉi.−Yˉ..)2]\mathbb {E}\left[\sum_{i} \sum_{j}\left(\bar{Y}_{i .}-\bar{Y} . .\right)^{2}\right] и (б) E[∑i∑j(Yij−Yˉi.)2]\mathbb {E}\left[\sum_{i} \sum_{j}\left(Y_{i j}-\bar{Y}_{i .}\right)^{2}\right]. Указание: используйте теорему 4.1(ii) для первого выражения.

?
(a)
(b)