6.2 Прямая линия, проходящая через начало координат, 6.3 Взвешенный метод наименьших квадратов для прямой линии: 6.3.1 Известные веса, 6.3.2 Неизвестные веса

[3/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 6b.1

(a)(b)

Пусть $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ — независимые случайные величины такие, что для $i = 1,2, \ldots , n$

\mathbb {E}\left[Y_{i} \mid X = x_{i}\right] = \beta _{1} x_{i}

\operatorname {Var}\left[Y_{i} \mid X = x_{i}\right] = \sigma ^{2} w_{i}^{-1} \quad \left(w_{i} > 0\right)

(a)

Если условное распределение $Y$ при заданном $x$ является распределением типа III (масштабированным гамма-распределением),

f(y \mid x) = \frac{1}{a_{x}^{p} \Gamma (p)} y^{p-1} \exp \left(-y / a_{x}\right) \quad 0 \leq y < \infty , \quad p > 0

где $\alpha_{x}$ — функция от $x$ , и $w_{i}^{-1} = x_{i}^{2}$ , докажите, что оценка максимального правдоподобия для $\beta_{1}$ также является взвешенной оценкой наименьших квадратов.

(b)

Если условное распределение $Y$ при заданном $x$ является пуассоновским, и $w_{i}^{-1} = x_{i}$ , покажите, что оценка максимального правдоподобия — это в точности взвешенная оценка наименьших квадратов.

Задача 6b.2

Дана модель $Y_{i} = \beta_{1} x_{i}+\varepsilon_{i}(i = 1,2, \ldots , n)$ , где $\varepsilon_{i}$ независимо распределены как $N\left(0, \sigma^{2} w_{i}^{-1}\right), w_{i} > 0$ ; покажите, как предсказать $x_{0}$ для заданного значения $Y_{0}$ величины $Y$ . Кратко опишите метод построения доверительного интервала для $x_{0}$ .

Задача 6b.3

Дана линия регрессии

Y_{i} = \beta _{0}+\beta _{1} x_{i}+\varepsilon _{i} \quad (i = 1,2, \ldots , n)

где $\varepsilon_{i}$ независимы, $\mathbb {E}\left[\varepsilon_{i}\right] = 0$ и $\operatorname {Var}\left[\varepsilon_{i}\right] = \sigma^{2} x_{i}^{2}$ ; покажите, что взвешенное оценивание наименьших квадратов эквивалентно обычному оцениванию наименьших квадратов для модели

\frac{Y_{i}}{x_{i}} = \beta _{1}+\frac{\beta _{0}}{x_{i}}+\delta _{i} .