6a

6.1 Прямая линия: 6.1.1 Доверительные интервалы для углового коэффициента и свободного члена, 6.1.2 Доверительный интервал для точки пересечения с осью X, 6.1.3 Доверительные интервалы и полосы прогноза, 6.1.4 Доверительные интервалы прогноза отклика, 6.1.5 Обратное предсказание (калибровка)

[4/100%]
Показать
LaTeX
Задача 6a.1

При подгонке прямой Yi=β0+β1xi+εi(i=1,2,…,n)Y_{i} = \beta_{0}+\beta_{1} x_{i}+\varepsilon_{i}(i = 1,2, \ldots , n) докажите, что Yˉ\bar{Y} и β^1\widehat{\beta }_{1} некоррелированы. Если Y^0=β^0+β^1x0\widehat{Y}_{0} = \widehat{\beta }_{0}+\widehat{\beta }_{1} x_{0}, выведите отсюда, что

Var⁡[Y^0]=σ2{1n+(x0−xˉ)2∑(xi−xˉ)2} \operatorname {Var}\left[\widehat{Y}_{0}\right] = \sigma ^{2}\left\{ \frac{1}{n}+\frac{\left(x_{0}-\bar{x}\right)^{2}}{\sum \left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}\right\}
?
Задача 6a.2

Используя обозначения раздела 6.1.2, докажите, что ϕ^=−β^0/β^1\widehat{\phi } = -\widehat{\beta }_{0} / \widehat{\beta }_{1} является оценкой максимального правдоподобия для ϕ\phi.

?
Задача 6a.3

Дана общая линейная регрессионная модель; покажите, как найти доверительный интервал для отношения a1Tβ/a2Tβ\mathbf{a}_{1}^{T} \mathbf{\beta } / \mathbf{a}_{2}^{T} \mathbf{\beta } двух линейных параметрических функций.

?
Задача 6a.4

Используя обозначения раздела 6.1.5, покажите, что при xˉ=0\bar{x} = 0

x^0−x~0x^0=1−r2 \frac{\widehat{x}_{0}-\tilde{x}_{0}}{\widehat{x}_{0}} = 1-r^{2}

где rr — коэффициент корреляции пар (xi,Yi)\left(x_{i}, Y_{i}\right).

?