Доверительные интервалы и области

Ссылаясь на раздел 5.1.1, докажите, что $\gamma = \sum_{j} \alpha_{j}$ есть ожидаемое число неверных утверждений. Указание: пусть $I_{j} = 1$, если $E_{j}$ неверно, и 0 в противном случае.

Докажите, что $(1-\alpha / k)^{k} > 1-\alpha \quad (k > 1)$.

Предположим, что $X, Y$ и $Z$ — случайные величины, а $a(\cdot )$ и $b(\cdot )$ — функции. Определим

Докажите, что

Для предсказателя $\widehat{Y} = \widehat{\beta }_{0}+\widehat{\beta }_{1} x_{1}+\cdots +\widehat{\beta }_{p-1} x_{p-1}$ покажите, что $\widehat{Y}$ имеет минимальную дисперсию $\sigma^{2} / n$ в точке $x_{j} = \bar{x}_{. j}(j = 1,2, \ldots , p-1)$. Указание: рассмотрите модель

Обобщите рассуждение, приведённое в разделе 5.4, а именно покажите, что добавление нескольких регрессоров в регрессионную модель не может уменьшить дисперсию предсказания $\widehat{Y}$.

Пусть $Y_{i} = \beta_{0}+\beta_{1} x_{i}+\varepsilon_{i}(i = 1,2, \ldots , n)$, где $\varepsilon_{i}$ независимо распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$. Постройте набор множественных доверительных интервалов для всех линейных комбинаций $a_{0} \beta_{0}+a_{1} \beta_{1}$ ($a_{0}, a_{1}$ не равны нулю одновременно) так, чтобы общая доверительная вероятность для набора составляла $100(1-\alpha ) \%$.

При построении одновременных доверительных интервалов для всех $\mathbf{x}^{T} \mathbf{\beta }$ объясните, почему выбор $x_{0} \equiv 1$ не влияет на теорию. Какие изменения теории потребуются, если $\beta_{0} = 0$?