4.3.3 Некоторые примеры, 4.3.4 Прямая линия

Пусть $Y_{i} = \beta_{0}+\beta_{1} x_{i 1}+\cdots +\beta_{p-1} x_{i, p-1}+\varepsilon_{i}, i = 1,2, \ldots , n$, где $\varepsilon_{i}$ независимы и распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$. Докажите, что $F$-статистика для проверки гипотезы $H: \beta_{q} = \beta_{q+1} = \cdots = \beta_{p-1} = 0(0 < q \leq p-1)$ не изменяется, если из каждого $Y_{i}$ вычесть константу $c$.

Пусть $Y_{i} = \beta_{0}+\beta_{1} x_{i}+\varepsilon_{i},(i = 1,2, \ldots , n)$, где $\varepsilon_{i}$ независимы и распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$.

Считая, что $\bar{x} = 0$, выведите $F$-статистику для проверки гипотезы $H$ : $\beta_{0} = \beta_{1}$ в упражнении № 2 выше. Покажите, что она эквивалентна некоторому $t$-критерию.

Пусть

и

где $\varepsilon_{i}(i = 1,2,3)$ независимы и распределены как $N\left(0, \sigma^{2}\right)$. Выведите $F$-статистику для проверки гипотезы $H: \theta_{1} = 2 \theta_{2}$.

Дано $\mathbf{Y} = \theta +\varepsilon$, где $\varepsilon \sim N_{4}\left(\mathbf{0}, \sigma^{2} \mathbf{I}_{4}\right)$ и $\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}+\theta_{4} = 0$, покажите, что $F$-статистика для проверки $H: \theta_{1} = \theta_{3}$ равна