4.1 Введение, 4.2 Критерий отношения правдоподобия, 4.3 F-критерий: 4.3.1 Мотивировка, 4.3.2 Вывод

Докажите, что $\mathrm{RSS}_{H}-\mathrm{RSS} \geq 0$.

Если $H: \mathbf{A} \mathbf{\beta } = \mathbf{c}$ верна, покажите, что $F$ можно выразить в виде

Если $\widehat{\lambda }_{H}$ — оценка наименьших квадратов множителя Лагранжа, связанного с ограничениями $\mathbf{A} \mathbf{\beta } = \mathrm{c}$ (ср. раздел 3.8), покажите, что

(Эта идея используется для построения тестов на основе множителей Лагранжа.)

Предположим, что мы хотим проверить $\mathbf{A} \mathbf{\beta } = \mathbf{0}$, где $\mathbf{A}$ имеет размер $q \times p$ и ранг $q$. Предположим, что последние $q$ столбцов $\mathbf{A}$, скажем $\mathbf{A}_{2}$, линейно независимы, так что $\mathbf{A} = \left(\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}\right)$, где $\mathbf{A}_{2}$ — невырожденная матрица. Выразив $\mathbf{\beta }_{2}$ через $\beta_{1}$, найдите матрицу $\mathbf{X}_{A}$ такую, что при $H$ линейная модель принимает вид $\mathbb {E}\left[\mathbf{Y}\right] = \mathbf{X}_{A} \mathbf{\gamma }$. Докажите, что $\mathbf{X}_{A}$ имеет полный ранг.

Рассмотрим модель полного ранга с $\mathbf{X} \mathbf{\beta } = \left(\mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2}\right)\left(\mathbf{\beta }_{1}^{T}, \mathbf{\beta }_{2}^{T}\right)^{T}$, где $\mathbf{X}_{2}$ имеет размер $n \times q$.