Банк задач по математике

Задача 3m.1

Выведите уравнения (3.60) и (3.61).

?

Задача 3m.2

Используя неинформативное априорное распределение для $\theta$ , покажите, что условная апостериорная плотность $f(\beta \mid \mathbf{y}, \sigma )$ является многомерной нормальной. Отсюда выведите, что апостериорное среднее $\mathbf{\beta }$ равно $\widehat{\mathbf{\beta }}$ .

?

Задача 3m.3

(a)(b)(c)(d)

Предположим, что мы используем неинформативное априорное распределение для $\mathbf{\theta }$ .

?

(a)

Если $v = \sigma^{2}$ , покажите, что $f(v) \propto 1 / v$ .

(b)

Получите выражение, пропорциональное $f(\mathbf{\beta }, v \mid \mathbf{y})$ .

(c)

Используя (3.62), проинтегрируйте по $\beta$ , чтобы получить

f(v \mid \mathbf{y}) \propto v^{-(\nu / 2+1)} \exp \left(-\frac{a}{v}\right)

где $\nu = n-p$ и $a = \left\| \mathbf{y}-\mathbf{X} \widehat{\mathbf{\beta }}\right\|^{2} / 2$ .

(d)

Найдите апостериорное среднее $v$ .

3.12 Байесовское оценивание